by 
Σε γραμμικό ελαστικό μέσο, διαδίδεται προς τα δεξιά, με ταχύτητα υδ = 10cm/s τετραγωνικός παλμός πλευράς α = 4cm, όπως στο σχήμα.
Η αρχή (μέτωπο) του παλμού, απέχει από τον τοίχο L = 20cm.
i) Βρείτε το σχήμα της χορδής τις χρονικές στιγμές
α) t1 = 2,1s
β) t2 = 2,3s
ii) Υπολογίστε επίσης τη μετατόπιση ενός υλικού σημείου Σ του μέσου, που βρίσκεται 3cm αριστερά του τοίχου, τις παραπάνω χρονικές στιγμές.
Καλημέρα Ανδρέα.
Πολύ καλή και αποκαλυπτική η περίπτωση του τετραγωγικού παλμού.
Σε ευχαριστούμε.
Καλησπέρα Διονύση. Σε ευχαριστώ. Το βιβλίο έχει ανάκλαση αρμονικού παλμού, αλλα τη χρονική στιγμή που έχει αντιστραφεί πλήρως. Ο τετραγωνικός παλμός έχει το πλεονέκτημα της εύκολης σχεδίασης σε ενδιάμεσες χρονικές στιγμές πριν την πλήρη αντιστροφή.
Να πούμε ότι δεν είναι μόνο μαθηματικός αυτός ο παλμός. Η γεννήτρια συχνοτήτων του εργαστηρίου έχει έξοδο για μεγάφωνο, όπου μπορούμε να επιλέξουμε τετραγωνικό αλλά και τριγωνικό κύμα. Το αυτί βέβαια δεν καταλαβαίνει κάποια διαφορά με τον ημιτονοειδή ίδιας συχνότητας.
Σκέφτηκα την άσκηση και με τριγωνικό παλμό αλλά για μαθητές μου φάνηκε βαρύ…
Καλημέρα Ανδρέα και καλή χρονιά.
Θίγεις ένα ευαίσθητο σημείο της ύλης που είναι απαραίτητο να διδαχθεί, προκειμένου να καλύψει ένα χώρο που οι υποψήφιοι αλλά και οι διδάσκοντες το προσπερνούν ως απίθανο να τεθεί σε εξετάσεις!
Όπως προανέφερες, ο αρμονικός παλμός έχει τη δυσκολία του να σχεδιαστεί στη χρονική διάρκεια της ανάκλασης του, ενώ ο τετραγωνικό ή ο τριγωνικές είναι πιο εύκολο.
Να είσαι καλά που αναδεικνύεις το θέμα!
Γεια σου Αντρέα.
Βρήκες έναν έξυπνο τρόπο (τετραγωνικός παλμός) να δουλέψουν και να καταλάβουν τα παιδιά το άλμα στη φάση κατά την ανάκλαση κύματος.
Μου άρεσε.
Καλησπέρα Πρόδρομε. Επίσης ευχές για καλή χρονιά. Χαίρομαι που το βρίσκεις χρήσιμο. Ήθελα να δώσω στους μαθητές μια συμβολή σε εξέλιξη για να δούνε τι αποτέλεσμα έχει στη μορφή του μέσου, αλλά να μπορεί να σχεδιαστεί σχετικά εύκολα. Ο τετραγωνικός παλμός είναι ιδανικός για κάτι τέτοιο. Και δε χρειάζεται μαθηματική επεξεργασία. Μπορεί να τεθεί και ως πολλαπλής επιλογής βάζοντας διάφορα σχήματα.
Καλησπέρα Άρη. Σε ευχαριστώ. Το έκανα στην τάξη και παρατήρησα ότι όλοι οι μαθητές κατάλαβαν το σκεπτικό.
Καλησπέρα Ανδρέα, εφόσον οι εμπειρότεροι από εμένα “προλαλήσαντες” επικροτούν, απλά καταθέτω και τη δική μου θέση ως μειοψηφούσα ….
Θεωρώ πως το γραμμικό ελαστικό μέσο και ο μαθηματικός τετραγωνικός παλμός είναι αταίριαστες έννοιες που δημιουργούν δυσκολίες στην κατανόηση.
Θεωρώντας ως αρχή του άξονα χ=0, τη θέση που βρίσκεται το μέτωπο του παλμού τη στιγμή t=0, τη στιγμή t=2,1s πώς θα δικαιολογήσουμε τη μορφή του γραμμικού ελαστικού μέσου στη θέση x=19cm; Τι θα μπορούσα να πω;
Από την αρχή επαλληλίας y=y1+y2, όπου y1=4cm και -4cm<=y2<=0
Άρα 0<=y<=4cm
Αυτό όμως πιο πολύ μπερδεύει παρά βοηθά στην κατανόηση του σχηματισμού
της μορφής του παλμού.
Ο τετραγωνικός παλμός είναι καθαρά μαθηματική έννοια. Η χρήση του σε γραμμικό ελαστικό μέσο, κατά τη γνώμη μου δημιουργεί “υπερφυσικά” μεγέθη, όπως τιμή
απομάκρυνσης 0<=y<=4cm μια ορισμένη χρονική στιγμή για δεδομένο στοιχειώδες
τμήμα της χορδής.
Γράφω το σχόλιο με κάθε επιφύλαξη, μήπως κάτι δεν καταλαβαίνω….
Καλημέρα Θοδωρή.
Διαβάζοντας το σχόλιό σου δυσκολεύτηκα να καταλάβω πού το πήγαινες…
Χρειάστηκε να πιάσω μολύβι για να δω σε ποιο σημείο αναφέρεσαι.
Νομίζω ότι δεν πρέπει να παίξουμε με την ασυνέχεια στο σημείο που φτάνει ο παλμός.
Στο ερώτημα για t=0 πόση είναι η απομάκρυνση στη θέση x=0, η απάντηση πρέπει να είναι 4cm, αφού θεωρούμε ότι ο παλμός έχει φτάσει στο σημείο x=0!
Αν αυτό το πούμε, τότε κανένα μπλέξιμο δεν θα υπάρξει για καμιά άλλη θέση.
Καλημέρα Διονύση, δεν έχω πρόθεση να ξύσω πληγές… αλλά
τη στιγμή t=2,1s δηλαδή 0,1s μετά την ανάκλαση του παλμού,
το σημείο της χορδής με τετμημένη x=19cm, δηλαδή 1cm πριν
τον τοίχο θα έχει απομάκρυνση που προκύπτει από την αρχή επαλληλίας y=y1+y2.
Αν συμφωνούμε μέχρι εδώ, τότε πρέπει να δούμε
ποια είναι τα y1, y2. Εφόσον y1=4cm, τότε πρέπει y2=-4cm.
Άρα y=0. Στο στιγμιότυπο και χωρίς να μιλάμε για ασυνέχεια, το σημείο
στη θέση αυτή έχει απομάκρυνση y=4cm.
Πώς προκύπτει αυτό;
Μόνο αν δεχθούμε y2=0, προκύπτει y=4cm, αλλά τότε γιατί να δεχθώ y1=4cm;;;;;;
Πιθανά υπάρχει κάτι που δεν κατανοώ, αλλά προσωπικά αδυνατώ
να γίνω πειστικός για το στιγμιότυπο τη στιγμή t=2,1s, πρώτα στον εαυτό μου
Καλημέρα και πάλι Θοδωρή.
Υποστηρίζεις δηλαδή ότι στο σχήμα:
Το σημείο στη θέση x=19cm είναι το σημείο Σ και όχι το σημείο Ρ.
Εγώ θα συμφωνήσω ότι αφού έχει φτάσει το ανακλώμενο κύμα στο σημείο αυτό, η απομάκρυνσή του είναι μηδενική.
Αν τώρα μείνουμε στο γενικότερο θέμα του κατακόρυφου τμήματος της χορδής, προφανώς τέτοιο τμήμα δεν μπορεί να υπάρξει, απλά αν κάποιος θέλει να προσεγγίσει τον παλμό αυτό, ένα πιο ρεαλιστικό σχήμα θα ήταν αυτό:
όπου σε άλλη θέση x είναι το σημείο Ρ και σε άλλη το σημείο Σ.
Καλημέρα και πάλι Διονύση, μόλις τελείωσα την webex “διδασκαλία”…..
Ναι, τώρα συμφωνούμε. Αυτό ακριβώς λέω. Το σημείο της χορδής στη θέση
x=19cm οφείλει να είναι το Σ και όχι το Ρ.
Αυτό που δυσκολεύομαι να πείσω τον εαυτό μου είναι τι ακριβώς είναι
το κατακόρυφο ΡΣ…. γι αυτό δεν αποδέχομαι τον τετραγωνικό παλμό
σε γραμμικό ελαστικό μέσο, παρά μόνο ως μαθηματικό παλμό ή ηλεκτρονικό
στην οθόνη ενός παλμογράφου…..
Αυτό όμως δεν με “νομιμοποιεί” να το εφαρμόσω ως παράδειγμα συμβολής
σε γραμμικό ελαστικό μέσο…. Είναι πέρα από τις παραδοχές μοντέλου
που μπορώ να δεχθώ….. κάτι σαν το κασελάκι που ανάρτησε ο Πρόδρομος….
Κάποιες σκέψεις ακόμα για τον τετραγωνικό παλμό σε γραμμικό ελαστικό μέσο,
με πιθανότητα λάθους, αλλά προς συζήτηση…
-Ο παλμός μεταφέρει ενέργεια
-Τα στοιχειώδη τμήματα της χορδής με απομάκρυνση y=4cm έχουν μηδενική
ταχύτητα, αλλά και μηδενική ελαστική παραμόρφωση, άρα δεν έχουν ενέργεια
-Το εκάστοτε σημείο που αρχίζει να κινείται έχει ταχύτητα, μέγιστη αρχικά,
η οποία μειώνεται καθώς επιβραδύνεται μέχρι να ακινητοποιηθεί. Άρα όλες
οι στοιχειώδεις μάζες του κατακόρυφου τμήματος της χορδής έχουν τόσο
κινητική, όσο και δυναμική ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης, αφού η όποια
παραμόρφωση εντοπίζεται στα κατακόρυφα τμήματα.
–Ανάλογα ισχύουν για το κατακόρυφο τμήμα στο πίσω μέρος του παλμού
-Αν τα παραπάνω είναι σωστά η μεταφερόμενη ενέργεια βρίσκεται στα κατακόρυφα τμήματα του παλμού και είναι ίδια, είτε το “μήκος” του παλμού είναι 4cm αρχικά, είτε 2cm τη στιγμή t=2,1s. Δηλαδή η ενέργεια διατηρείται
Πιθανά υπάρχει ο αντίλογος, ότι το κατακόρυφο τμήμα είναι γραφική αναγκαία
ασάφεια και δεν αντιστοιχεί σε γραμμικό μέσο. Ενέργεια έχουν μόνο τα στοιχειώδη
τμήματα που η χορδή σχηματίζει ορθή γωνία, εφόσον εκεί υπάρχει στοιχειώδης
ελαστική παραμόρφωση, άρα και στοιχειώδης δυναμική ενέργεια.
Η μεταφερόμενη ενέργεια αντιστοιχεί στις κινητικές των στοιχειωδών μαζών που ξεκινά και τερματίζει ο παλμός και στις δυναμικές στις δύο ορθές γωνίας.
Πάλι είναι ανεξάρτητη του “μήκους” του παλμού και διατηρείται.
Νομίζω πιο “κοντά” στο μοντέλο του αρμονικού κύματος που διδάσκουμε είναι
η πρώτη εκδοχή. Πάλι όμως είναι αρκετά ασαφές και χιλιόμετρα μακριά
από αυτό που θέλουμε να περάσουμε ως μεταφορά ενέργειας.
Τώρα κάποιος θα ρωτήσει, δηλαδή ο μύθος της διατήρησης της ενέργειας
ταλάντωσης, με μέγιστη δυναμική ελαστικής παραμόρφωσης στις κοιλίες
του στάσιμου (το λάθος) αντί για τους δεσμούς (το σωστό) πόσα χιλιόμετρα
μακριά είναι;;;;;
Εδώ η απάντηση είναι τόσο όσο η “απώτατη Θούλη” που μας θύμισε χθες ο Ραμαντάς και έτσι θυμήθηκα και εγώ τον αγαπημένο Θανάση Παπακωνσταντίνου
Καλησπέρα Θοδωρή.
Να σου πω την γνώμη μου στις εύλογες αντιρρήσεις σου στην συγκεκριμένη άσκηση.
Από άποψη φυσικής:
«Θεωρώ πως το γραμμικό ελαστικό μέσο και ο μαθηματικός τετραγωνικός παλμός είναι αταίριαστες έννοιες.»
……………………………………………
«δεν αποδέχομαι τον τετραγωνικό παλμό σε γραμμικό ελαστικό μέσο, παρά μόνο ως μαθηματικό παλμό ή ηλεκτρονικό στην οθόνη ενός παλμογράφου…»
Να συμφωνήσω με τα παραπάνω και να προσθέσω εγώ ότι ακόμη και σήματα τετραγωνικού παλμού παράγονται με την βοήθεια ειδικών ηλεκτρονικών διατάξεων.
Άρα για τους γνωρίζοντες (φυσικούς, μηχανικούς κλπ) και όχι για τα παιδιά που δεν το ξέρουν αλλά για να είμαστε πιο συνεπείς με την πραγματικότητα καλό θα ήταν να μιλά η άσκηση για ηλεκτρικό παλμό που διαδίδεται σε κενό χώρο και ανακλάται πλήρως από κατάλληλη ανακλαστική επιφάνεια.
Όσον αφορά το τι γίνεται στο σημείο x=19cm.
Στον μαθηματικό ορισμό για την συγκεκριμένη συνάρτηση και για τα σημεία ασυνέχειας βλέπουμε τι γράφει εδώ (κίτρινη επισήμανση).
https://en.wikipedia.org/wiki/Boxcar_function
In mathematics, a boxcar function is any function which is zero over the entire real line except for a single interval where it is equal to a constant, A.[1] The function is named after its graph’s resemblance to a boxcar, a type of railroad car. The boxcar function can be expressed in terms of the uniform distribution as
where f(a,b;x) is the uniform distribution of x for the interval [a, b]
file:///C:/Users/user/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.gif
is the Heaviside step function
. As with most such discontinuous functions
, there is a question of the value at the transition points. These values are probably best chosen for each individual application.
Και εδώ
https://www.csd.uoc.gr/~hy215b/Lectures/HY215b-SS19/HY215-SS19-Lec04.pdf
βλέπουμε μια εφαρμογή από στο μάθημα «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς» του πανεπιστημίου Κρήτης.
Κοίτα τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων από 0 έως 1 και από 1 έως +∞ για το σημείο t=1. Στο ένα τμήμα θεωρεί την τιμή x=1 και για το άλλο 1/e
Διδακτικά: Tα θετικά της ιδέα να πάρει τετραγωνικό παλμό ο Αντρέας εξακολουθώ να τα θεωρώ πολύ πιο σημαντικά από το ρωτήσει ένα παιδί τι γίνεται ακριβώς στο x=19cm
Νομίζω μπορεί κανείς να το αντιμετωπίσει όπως την ερώτηση τι ταχύτητα έχει το κινητό τις στιγμές 10s και 20s του βιβλίου της Α Λυκείου.
3. Όχημα κάνει ευθύγραμμη κίνηση και το διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου φαίνεται στην εικόνα.
Καλησπέρα συνάδελφοι. Θοδωρή σε ευχαριστώ για τη “συμβολή”σου. Ούτε καν μου πέρασαν από το μυαλό όλες αυτές οι σκέψεις και οι προβληματισμοί.
Η βασική ιδέα ξεκίνησε από το σχολικό, που βλέπουμε τετραγωνικούς παλμούς να συμβάλλουν σε γραμμικό ελαστικό μέσο.
Άρα δεν τίθεται θέμα νομιμότητας.
Όπως έγραψε και ο Άρης, στην Α΄ Λυκείου κάνουμε ασκήσεις με ακαριαίες αλλαγές ταχύτητας ή θέσης, που είναι απλά μοντέλα για να εισάγουμε τις διαδοχικές κινήσεις.
Δε νομίζω ότι με χτύπημα ή κάποια άλλη απότομη διέγερση μπορούμε να δημιουργήσουμε τετραγωνικό παλμό σε ελαστική χορδή.
Ηλεκτρικό σήμα μπορούμε και μάλιστα η ενέργεια που μεταφέρει βρίσκεται:
Τη χρονική στιγμή 2,1s:
Στο όριο των 3cm αριστερά του τοίχου, απλά φαντάστηκα το πάνω σημείο Σ αλλά έχεις δίκιο πρέπει να διευκρινιστεί.
Το θέμα πιστεύω ότι λύνεται αν κάνουμε το δεδομένο 3(-) cm. Δηλαδή οριακά πριν τα 3cm, οπότε η απομάκρυνση είναι +4cm.
Αν ζητήσουμε 3(+) cm από τον τοίχο, η απομάκρυνση είναι 0cm.
Θα προσθέσω σχετικά σχόλια στην ανάρτηση.
Πάντως την έδωσα στο τμήμα Υγείας στο σχολείο και οι καλοί μαθητές έβγαλαν τη λύση που έκανα, χωρίς ιδιαίτερο κόπο και μάλιστα έδωσαν απάντηση +4cm θεωρώντας αυτονόητο – που τελικά δεν είναι – το πάνω σημείο Σ.
Καλησπέρα Άρη, καλησπέρα Ανδρέα, ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας,
δεν διαφωνώ σε κάτι με όσα γράφετε, συνεχίζω να έχω επιφυλάξεις
ως προς τη σκοπιμότητα επιλογής τετραγωνικού παλμού σε γραμμικό ελαστικό μέσο.