Γενικευμένα ισοζύγια στη μονοδιάστατη περίπτωση

ότι λάθη εντόπισα μέχρι εδώ κατάφερα να τα διορθώσω και ανανέωσα και το αρχείο αλλά πάντα μπορεί να διαφύγει κάτι (ειδικά όταν πρόκειται για συμπεράσματα) … δεν είναι η ανάλυση (ή καλύτερα σύνοψη) για συζήτηση στην τάξη είναι περισσότερο μία προσπάθεια συμπαγοποίησης κάποιων διάσπαρτων συμπεράσματων που συζητώνται γύρω από αυτό το θέμα υπό μορφή σχολιαζόμενων παραδειγμάτων … για όποιον ας πούμε θα ήθελε να έχει μία συμμαζεμένη εποπτεία του θέματος

Διονύση Μάργαρη δεν κατάλαβα ακριβώς που είναι η διαφωνία (την πρόταση που αναφέρεις την απέρριψα κι εγώ ως μη λογική και τρανό παράδειγμα είναι ο αρμονικός ταλαντωτής) … οι ισοδύναμες μορφές του νόμου του Νεύτωνα βασίζονται στο ότι: (α) είτε ότι η ταχύτητα μπορεί να γραφτεί ως συνάρτηση του χρόνου άμεσα v(t), (β) είτε έμμεσα ως v = v(x(t)) … δεν μου φαίνεται ότι υπάρχει καμία άλλη περίπτωση που να μπορεί να αντιμετωπιστεί με την Νευτώνεια προσέγγιση

δεν είναι αυθαίρετο να ορίζεις, χωρίς καμιά εξήγηση δυναμική ενέργεια σε μια δύναμη που ονομάζεις σταθερή, χωρίς να την αποδίδεις σε κάποιο πεδίο;

αν και η ερώτηση αναφέρεται σε σταθερή δύναμη … τι είδους πεδιακή προσέγγιση υπάρχει στον νόμο του Hooke ή ποια είναι η πηγή του πεδίου σε αυτή την περίπτωση; … η έννοια του πεδίου είναι χρήσιμη όταν θέλουμε να περιγράψουμε αλληλεπιδράσεις που δεν μπορούν να ιδωθούν ως σημειακές (ή εντοπισμένες) αλλά πρέπει να ιδωθούν ως “διάχυτες” σε όλο τον χώρο (ή ορθότερα απεντοπισμένες σε μικρότερο ή μεγαλύτερο βαθμό ανάλογα με την εμβέλεια του πεδίου) … στο σύστημα σώματος ελατηρίου αυτό που συμβαίνει είναι ότι αν παραμορφωθεί ελαστικώς το ελατήριο είναι δυνατόν το σύστημα να αποθηκεύσει μεταφερόμενη προς αυτό ενέργεια “έκτασης” τετραγωνικά ανάλογης της παραμόρφωσης του ελατηρίου … στην περίπτωση της σταθερής δύναμης η εισαγωγή αντίστοιχου όρου θα μπορούσε να εκφράζει την περίπτωση όπου ένα σώμα μπορεί να αποθηκεύσει μεταφερόμενη προς αυτό ενέργεια (ή να απωλέσει αφαιρούμενη από αυτό ενέργεια) “έκτασης” ανάλογης της διανυόμενης απόστασης

Καλημέρα Διονύση,

λοιπόν ως προς αυτό

“Καμιά δύναμη, η οποία δεν οφείλεται σε κάποιο πεδίο δύναμης, όπως οι τρεις παραπάνω περιπτώσεις, δεν μπορεί να συνδεθεί με δυναμική ενέργεια, αφού δεν έχει μηχανισμό αποθήκευσης και ξανά απόδοσης της ενέργειας αυτής.”

sounds ok αλλά ως ορισμός είναι αλληλένδετος με πεδία δυνάμεων … στο ενεργειακό ισοζύγιο που αναδύεται από τις νευτώνειες εξισώσεις ο όρος δίπλα στον κινητικό όρο περιγράφει κάποιας μορφής ενέργεια (σίγουρα φέρει διαστάσεις Joules) on top of the kinetic energy ενός σώματος … ας πάρουμε μια μεταβολή της κατάστασης του σώματος έτσι ώστε ΔΚ + Δ(αφηρημένου ενεργειακού όρου) = 0 (αφού c = σταθερή) τότε αν η Δ(αφηρημένου ενεργειακού όρου) εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική κατάσταση του σώματος ο αφηρημένος ενεργειακός όρος μπορεί να ιδωθεί ως “γενικευμένη δυναμική ενέργεια”, αν όμως εξαρτάται και από την ακριβή μετάβαση μεταξύ αρχικής και τελικής κατάστασης τότε ο αφηρημένος ενεργειακός όρος μπορεί να ιδωθεί ως “γενικευμένο έργο” (αυτή η οπτική γωνία είναι driven από την εισαγωγή των καταστατικών και μη-καταστατικών μεγεθών στον τομέα της θερμοδυναμικής)

ενώ ως προς αυτό

Γνωστή περίπτωση, όπου για λόγους γενίκευσης μπορούμε να μιλάμε, ότι το σώμα βρίσκεται σε ένα πεδίο δύναμης F=-Dx και το ελατήριο απλά «υλοποιεί» αυτό το πεδίο δύναμης.

Δεν μου φαίνεται λογική η σύνδεση του ελατηρίου με πεδία δυνάμεων γιατί ένα τέτοιο πεδίο δυνάμεων έχει περίεργα χαρακτηριστικά όπως (α) αν φέρω ένα test particle στο υποτιθέμενο αυτό πεδίο αυτό δεν δέχεται καμία επίδραση παρά μόνο πάνω στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου (δεν ισχύει κάτι τέτοιο με το πεδίο βαρύτητας ή το ηλεκτροστατικό πεδίο … το test particle υφίσταται δύναμη τοποθετούμενο σε οιαδήποτε θέση ως προς την πηγή του πεδίου) και (β) αυτό το υποτιθέμενο πεδίο δυνάμεων μπορεί να υφίσταται ή όχι ανάλογα με αν το ελατήριο είναι επιμηκυμένο/συσπειρωμένο ή όχι, ενώ το ελατήριο υφίσταται πάντοτε ως οντότητα (το ηλεκτροστατικό πεδίο ενός σημειακού φορτίου από τη στιγμή που δημιουργήθηκε το φορτίο υπάρχει εις το διηνεκές και παντού στον χώρο)

Τώρα αν υπάρχει κάποια αφηρημένη σημειακή πηγή που δημιουργεί στον χώρο γύρω της πεδίο που έχει την ιδιότητα ότι αν θέσω σε τυχαία θέση μέσα στο πεδίο test particle τότε αυτό δέχεται δύναμη ίση προς k*x είναι άλλο πράμα … όμως αυτό το πεδίο έχει το περίεργο (ή αφύσικο;) χαρακτηριστικό ότι αποκλίνει συναρτήσει της απόστασης από την πηγή αντί να μηδενίζεται (σε άπειρη απόσταση από την πηγή), αυτό είναι σε πλήρη αντίθεση με τις συνοριακές συνθήκες που θεωρούμε για τα πεδία σημειακών πηγών γενικότερα

Στο τελικό αρχείο έχει γίνει επέκταση της μελέτης σε δύο ακόμη περιπτώσεις οι οποίες όμως δεν είναι και ιδιαίτερα διαφωτιστικές εκτός εξαιρετικών περιπτώσεων … η χειρότερη περίπτωση είναι η 7η η οποία δεν αντιμετωπίζεται καν με κάποια από τις συμβατικές μεθόδους λόγω του μη-γραμμικού χαρακτήρα της δ.ε. κίνησης … όταν ο χειρισμοί δεν οδηγούν σε κάτι που να μοιάζει με ισοζύγιο ενέργειας ή ορμής οδηγούν σε μια πεπλεγμένη σχέση ταχύτητας-χρόνου ή ταχύτητας-θέσης …