by Ας δούμε δύο παραδείγματα που ένα φορτισμένο σωματίδιο κινείται σε χώρο που συνυπάρχουν δύο πεδία, ένα ΟΗΠ και ένα ΟΜΠ.
Παράδειγμα 1ο :
Σε μια περιοχή έχουμε ένα ομογενές ηλεκτρικό έντασης Ε και ένα ομογενές μαγνητικό έντασης Β, με παράλληλες δυναμικές γραμμές, όπως στο σχήμα.
Ένα θετικά φορτισμένο σωματίδιο εκτοξεύεται με ταχύτητα υο από ένα σημείο εντός του σύνθετου πεδίου, κάθετα στις δυναμικές γραμμές.
i) Ισχύει η αρχή της επαλληλίας;
ii) Να μελετηθεί η κίνηση του σωματιδίου.
Παράδειγμα 2ο:
Έχουμε τη διάταξη «επιλογέα ταχυτήτων», του σχήματος (σχολικό βιβλίο).
i) Ισχύει η αρχή της επαλληλίας;
ii) Αν δεν ισχύει η εξίσωση του επιλογέα υ=Ε/Β, αλλά υ=2Ε/Β, να μελετηθεί η κίνηση του σωματιδίου.
Τι απαντήσεις δίνετε συνάδελφοι;
Η αρχή της επαλληλίας και το σύνθετο πεδίο
Συμφωνούσα μαζί μου πριν ο Ανδρέας με κάνει να καταλάβω τι ακριβώς λέει η Αρχή της Ανεξαρτησίας των Κινήσεων με το κυκλοειδές της μαθήτριας.
Έκτοτε διαχωρίζω ανεξαρτησία εξισώσεων, υπέρθεση (άλλη σοβαρή ιστορία) και ανεξαρτησία κινήσεων.
Γράφω κάτι τώρα που φοβάμαι πως δεν θα ολοκληρώσω σήμερα.
Κάτι απλό.
Μια και δεν θα ολοκληρώσω σήμερα, ας δούμε τα εισαγωγικά και τα δύο πρώτα προβλήματα:
Ισχύει η Αρχή Ανεξαρτησίας των Κινήσεων;
Ποιο περιεχόμενο έχει;
Άρη έχουμε τρία διαφορετικά πράγματα.
Την υπέρθεση που φυσικά απαιτεί γραμμικότητα. Π.χ. υπέρθεση σημάτων.
Την ανεξαρτησία των εξισώσεων που δίνουν τις συντεταγμένες x,y,z. Την έχουμε αν η x συντεταγμένη υπολογίζεται από Δ.Ε. στην οποία υπάρχει μόνο το x, η y συντεταγμένη υπολογίζεται από Δ.Ε. στην οποία υπάρχει μόνο το y και η z συντεταγμένη υπολογίζεται από Δ.Ε. στην οποία υπάρχει μόνο το z.
Την Αρχή Ανεξαρτησίας των Κινήσεων που ισχύει σε κάθε περίπτωση γιατί δεν σχετίζεται με τη Δυναμική και τις Δ.Ε. Είναι προϊόν της Γεωμετρίας και το μόνο που απαιτείται είναι να έχουμε Ευκλείδιο χώρο. Δηλαδή δεν ισχύει για μεγάλες μετακινήσεις πάνω στη γη.
Ο καθηγητής Δρυς θίγει τη δεύτερη περίπτωση που δεν είναι η Αρχή Ανεξαρτησίας των κινήσεων.
Γιάννη αυτό που είπα είναι άλλο η αρχή ανεξαρτησίας και άλλο υπέρθεση.
Το ένα δεν θέλει γραμμικότητα το άλλο θέλει. Η μορφή των ΔΕ καθορίζει τι θα συμβεί.
Βεβαίως ο Δρυς μιλά για επαλληλία όχι για την αρχή ανεξαρτησίας.
Ας δούμε αύριο την συνέχεια.
Γιάννη καλημέρα
Εννοείς ότι δύο κινήσεις μπορεί να είναι ανεξάρτητες, αλλά όχι επάλληλες γιατί αν αλλάξουμε την σειρά τέλεση τους, αλλάζει η τροχιά (σκέφτομαι για παράδειγμα δύο διαδοχικές κινήσεις πάνω σε μια σφαίρα ή δύο στροφές ενός στερεού);
Καλημέρα συνάδελφοι και καλο ΣΚ.
Ανεξαρτησία εξισώσεων κίνησης, υπέρθεση ή επαλληλία και ανεξαρτησία κινήσεων.
Νομίζω ότι είναι ευκαιρία να ξεκαθαρίσουμε τους όρους.
Πάνω στο ζήτημα που συζητάτε Γιάννη και Άρη, μια παλιότερη τοποθέτηση του Νίκου Σταματόπουλου ΕΔΩ.
Να προσθέσω ακόμη την τελική τοποθέτηση του Ανδρέα, στο “είπεν ο κύριος“, αφού βρίσκεται στα σχόλια που ακολούθησαν και συνήθως κάποιος αναγνώστης, δεν φτάνει μέχρι εκεί…
Καλημέρα παιδιά.
Στάθη εννοώ πως η Αρχή ισχύει πάντοτε όταν ο χώρος είναι Ευκλείδιος. Δεν ισχύει για κίνηση πάνω σε σφαίρα.
Διονύση το άρθρο του Νίκου γράφτηκε πριν τον προβληματισμό που έθεσε ο Ανδρέας.
Πίστευα τα ίδια που γράφει και είχα γράψει τα ίδια. Τώρα όχι.
Κατάλαβα τι συμβαίνει όταν ο Ανδρέας έβαλε την ερώτηση με τη μαθήτρια και έφτιαξα την προσομοίωση με το κυκλοειδές.
Μέχρι τότε όλοι μας ταυτίζαμε την κίνηση με το φαινόμενο. Φαινόμενο=> Δ.Ε=> εξισώσεις θέσης.
Η Κινηματική δεν ενδιαφέρεται για δυνάμεις και διαφορικές εξισώσεις.
Εντοπίζαμε το “λάθος” με τον δορυφόρο, που όμως ήταν λάθος δικό μας και όχι της Αρχής.
Το λάθος αυτό εντοπίζει ο Ανδρέας στο κείμενο που παραθέτεις.
Εν κατακλείδι πιστεύω πως η Αρχή ισχύει σε κάθε περίπτωση Ευκλείδιου χώρου.
Υ,Γ.
Γράφω τώρα για το κυκλοειδές του τρίτου προβλήματος που έθεσες.
Στο συμπληρωμένο κείμενο φαίνεται η λύση του τρίτου προβλήματος με το κυκλοειδές.
Το βρίσκετε και εδώ:
Θα συμπληρωθεί και άλλο.
Συνεπώς Γιάννη, βρήκες στο παράδειγμα 2 δύο κινήσεις (την κυκλική και του πιτσιρικά) που συνδυαστικά δίνουν τον κυκλοειδή τροχιά. Εγώ νόμιζα ότι οι Διονύσης ήθελε να εξετάσουμε αν η αρχή της επαλληλίας ισχύει για τους άξονες x ,y, z.
Οι προτάσεις:
1. Ανεξάρτητα από την αρχική ταχύτητα, η κίνηση στο επίπεδο xy (το επίπεδο των Ε και υ στο σχήμα της ανάρτησης), είναι ανεξάρτητη από την κίνηση στον άξονα z (τον άξονα του Β στο σχήμα της ανάρτησης)
2. Για τις δύο παραπάνω κινήσεις ισχύει η αρχή της επαλληλίας
είναι σωστές ή λάθος;
Στάθη ίσως ο Διονύσης αυτό εννοούσε.
Είδες ότι παρενέβαλλα κείμενα με σχήματα και εξισώσεις στα οποία θίγω το μη ανεξάρτητον των εξισώσεων.
Έτσι στο πρώτο πρόβλημα οι εξισώσεις x, y είναι ανεξάρτητες από το z αλλά η x εξίσωση περιέχει το y και η y εξίσωση περιέχει το x.
Έτσι η κίνηση στο στο επίπεδο xy (το επίπεδο των Ε και υ στο σχήμα της ανάρτησης), είναι ανεξάρτητη από την κίνηση στον άξονα z (τον άξονα του Β στο σχήμα της ανάρτησης)
Όμως έδειξα περίπτωση που αν εκτελέσει πρώτα τη x και μετά τις y και z θα βγει λάθος θέση.
Νομίζω πως απαντώ στην πρώτη σου ερώτηση. Πάω στη δεύτερη.
2. Για τις δύο παραπάνω κινήσεις ισχύει η αρχή της επαλληλίας;
Ποια είναι η αρχή της επαλληλίας και τι λέει;
Είναι αυτή που μιλάει για ανεξάρτητες εξισώσεις;
Είναι αυτή που μιλάει για γραμμικές εξισώσεις;
Είναι η Αρχή της Ανεξαρτησίας των Κινήσεων;
Αν είναι η τελευταία τότε ισχύει πάντοτε αν ο χώρος είναι Ευκλείδιος και οι μετατοπίσεις παριστάνονται από διανύσματα. Οπότε ισχύει και για τις παραπάνω κινήσεις.
Η σωστή εφαρμογή της Αρχής είναι δικό μας θέμα και η λανθασμένη εφαρμογή δεν εκθέτει την Αρχή, ούτε την καθιστά φράση με περιορισμένη ισχύ ή με ισχύ υπό προϋποθέσεις.
Να κάνω ένα σχήμα και να δώσω μια ακόμα κακή εφαρμογή.
Θέλει ένας να βρει ψεγάδια στην Αρχή Ανεξαρτησίας των Κινήσεων.
Δένει ένα σώμα με ένα σπάγκο και αυτό περιστρέφεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο περί το Ο:
-Που θα βρίσκεται μετά από μία περίοδο;
-Πάλι στο Β.
-Κάνω το εξής: Κόβω τον σπάγκο στη θέση Β και το αφήνω να κινηθεί για μία περίοδο. Πηγαίνει στο Γ που απέχει από το Β μια περιφέρεια. Μετά το ακινητοποιώ και το ξαναδένω με σπάγκο. Μένει ακίνητο στο Γ και δεν ξαναγυρίζει στο Β.
-Και λοιπόν τι έγινε;
-Είδες που δεν ισχύει η Αρχή της Ανεξαρτησίας των Κινήσεων;
Το παραπάνω μοιάζει αστείο ή παρωδία, όμως ανάλογο λάθος κάναμε στον δορυφόρο και αναφωνούσαμε:
-Είδες που δεν ισχύει η Αρχή της Ανεξαρτησίας των Κινήσεων;
Καταλαβαίνουμε ότι μπορεί να πάει στο Γ και να επιστρέψει στο Β μέσω μιας κυκλοειδούς κίνησης.
Διότι ο παρατηρητής που τον βλέπει να κάνει ευθύγραμμη κίνηση (αντί κυκλικής) είναι εκείνος που κινείται πάνω σε κυκλοειδές.
Η Κινηματική δεν ξεχωρίζει την παραπάνω κίνηση από την κίνηση του δορυφόρου.
Αδιαφορεί παγερά για το ότι η βαρυτική έλξη είναι δύναμη πεδίου ενώ η τάση του σπάγκου δεν είναι.
Αδιαφορεί για τον 2ο νόμο και τις Δ.Ε. που προκύπτουν από αυτόν.
Πρέπει να δούμε προσεκτικά αυτό το “Κάνει δύο κινήσεις”.
Περίφραση είναι που γίνεται κατανοητή ως “Κινούμαι σε κινούμενο όχημα”.
Για παράδειγμα, κάνω κύκλους γύρω από το κατάρτι ενός πλοίου.
Φυσικά ένας συνεπιβάτης βλέπει να κάνω κύκλους. Ένας ψαράς σε ακίνητη βάρκα βλέπει:
Ουσιαστικά την μία κίνηση (την ευθύγραμμη και ομαλή) την κάνει ο συνεπιβάτης-παρατηρητής και την άλλη εγώ ως προς τον συνεπιβάτη. Η σύνθεσή τους είναι η κίνησή μου ως προς τον ψαρά.
Τι σημαίνει “Κάνω δύο ταλαντώσεις ταυτόχρονα”;
Σημαίνει μήπως ότι δέχομαι δύο δυνάμεις, την -k1.x και την -k2.x ;
Φυσικά όχι.
Σημαίνει ότι ταλαντώνομαι μέσα σε ταλαντευόμενο όχημα. Δηλαδή ο συνεπιβάτης μου με βλέπει να κάνω ταλάντωση και εσύ βλέπεις τον συνεπιβάτη μου να κάνει ταλάντωση.
Τι βλέπεις εμένα να κάνω;
Άλλοτε ταλάντωση.
Άλλοτε διακρότημα.
Άλλοτε έλλειψη.
Άλλοτε σχήμα Λισαζού.
Πως τα βρίσκω αυτά;
Φυσικά όχι σημειώνοντας δυνάμεις και λύνοντας διαφορικές εξισώσεις.