by 
Τέσσερα μικρά σώματα ΣΑ, ΣΒ, ΣΓ, ΣΔ εκτοξεύονται ταυτόχρονα από τα σημεία Α, Β, Γ, Δ ενός κύκλου ακτίνας d, με κατεύθυνση προς το κέντρο του K, με ταχύτητες ίσου μέτρου υ0. Το επίπεδο του κύκλου είναι κατακόρυφο και τα σώματα κινούνται με την επίδραση μόνο του βάρους τους. Η διάμετρος ΑΓ είναι κατακόρυφη και η διάμετρος ΒΔ είναι οριζόντια.
α) Ποιο είναι το είδος της κίνησης κάθε σώματος;
β) Θεωρείστε το σύστημα των αξόνων Χ΄Χ και Ψ΄Ψ΄ του σχήματος και γράψτε τις εξισώσεις κίνησης x = f(t) και y = f(t) κάθε σώματος, ως προς αυτό το σύστημα αξόνων.
γ) Να αποδειχθεί ότι όλα τα σώματα θα συναντηθούν στο ίδιο σημείο, την ίδια χρονική στιγμή.
δ) Αν δίνονται d = 4m, υ0 = 4m/s και g = 10m/s2, να κάνετε στο ίδιο σύστημα βαθμολογημένων αξόνων τη γραφική παράσταση y → t για τα 4 σώματα.
Η ιδέα από τον Γιάννη Πανανά ΕΔΩ. Γιάννη αν με διαβάσεις Καλή Χρονιά. Της έβαλα μερικά ερωτήματα και μια προσομοίωση στο τέλος, να γίνει πιο κατανοητή στους μαθητές. 👦
Καλό μεσημέρι Ανδρέα και καλή δύναμη στη νέα “χρονιά”.
Ωραίο θέμα για εξάσκηση στη γραφή εξισώσεων με συγκεκριμένο σύστημα χψ.
Το βλέπω και οριζοντιωμένο με τη δράση σταθερής δύναμης F στην κατ/νση του άξονα Ψ ή και του άξονα Χ ,…γιατί όχι.
[Στο γ) θεωρώ το …”την ίδια χρονική στιγμή”] , πλεονασμό μια και βάλλονται συγχρόνως ,χωρίς να βλάπτει εννοείται ενώ υπάρχουν περιπτώσεις που βλήματα μπορεί να βληθούν συγχρόνως αλλά να συναντηθούν …όχι την ίδια στιγμή.
Γεια σας παιδιά.
Η Αρχή Ανεξαρτησίας κινήσεων μας οδηγεί στο να κάνουν την πρώτη κίνηση και να συναντηθούν στο κέντρο. Μετά να πέσουν παρέα όσο πρέπει.
Αφού πέφτουν παρέα πάνε στο ίδιο σημείο.
Γειά σου Ανδρέα. Πολύ καλό θέμα , συγχαρητήρια!
Τα σώματα στον κατακόρυφο άξονα έχουν
y1+y2=2R=>
υοt-(1/2)gt²+(υοt+(1/2)gt²=2R=>
t=R/υο
Τα σώματα στον οριζόντιο άξονα κάνουν Ε.Ο.Κ.,άρα
x1=x2=υο•t=υο•(R/υο)=R
Άρα θα συναντηθούν σε σημείο του κατακόρυφου άξονα σε απόσταση από το Ο: y=(1/2)gt²=(1/2)g•R²/υο².
Καλησπέρα συνάδελφοι. Σας ευχαριστώ (ευχαριστώ και το Γιάννη Π., που έδωσε την αρχική μορφή της).
Παντελή μας έδωσες και ιδέες για παραλλαγή στην εκφώνηση. Το “ίδια χρονική στιγμή” το έβαλα γιατί οι θέσεις και ταχύτητες εδώ δίνουν ταυτόχρονη συνάντηση. Αν το σώμα ΣΑ ξεκινήσει π.χ. από το -d/2 θα συναντηθεί πρώτα με το ΣΓ έστω κάποια t1. Μετά το ΣΓ απομακρύνεται και το ΣΑ θα συναντήσει ταυτόχρονα τα ΣΒ και ΣΔ την t2.
Γιάννη ωραία σκέψη, που περιγράφει την αρχή της επαλληλίας.
Πρόδρομε δίνεις και μια άλλη προσέγγιση, ξεκινώντας από τον άξονα ψ. Με τα y1 και y2 εννοείς διαστήματα; Δηλαδή sA + sΓ = 2d; Το σημείο συνάντησης όμως μπορεί να είναι έξω από τον κύκλο. Στην εφαρμογή π.χ. που έδωσα η συνάντηση γίνεται στο (0m, 5m). Άρα η χρήση διαστημάτων δεν βολεύει. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις θέσεις που έχω και στη λύση, να θέσουμε yA = yΓ και η λύση σου πάει μια χαρά.
Καλημέρα Ανδρέα και καλή χρονιά.
Με τις επιπλέον ερωτήσεις σου το θέμα γίνεται καλύτερο διδακτικά.
Μπορεί βέβαια να προστεθεί και η γρήγορη λύση του Γιάννη ( Κυρ.) για να δουν
οι μαθητές μια όμορφη τεχνική και για να καταλάβουν ότι ο χρόνος απάντησης είναι σημαντική υπόθεση. Αυτό έδειξαν οι φετινές εξετάσεις.
Να είσαι καλά.
Καλησπέρα Γιάννη. Σε ευχαριστώ για την ιδέα της άσκησης και για το σχολιασμό. Όταν την είχα δει στην ανάρτησή σου τότε ως προτεινόμενη, μου άρεσε η συμμετρία στα δεδομένα και η δυνατότητα προσέγγισης του θέματος από μαθητές.
Καλή Χρονιά!