by
Στο αρχείο που ακολουθεί εξετάζεται η διάδοση κυματικών διαταραχών σε ένα μηχανικό σύστημα το οποίο αποτελείται από μία οριζόντια χορδή και ένα πλήθος ιδανικών ελατηρίων, σε πυκνή διάταξη (επιπτώσεις της βαρύτητας στο σύστημα αγνοούνται). Στην περίπτωση αυτήν στον κατακόρυφο άξονα δρα ένα παραβολικό δυναμικό τύπου απλού αρμονικού ταλαντωτή, εκτός του δυναμικού που οφείλεται στις μικρές παραμορφώσεις της χορδής.
Αποδεικνύεται η κυματική εξίσωση με την σχέση διασποράς στην χορδή και εξετάζεται ενεργειακά η διάδοση ενός απλού τρέχοντος κύματος.
Δύο “animations” σχετικά με τις πυκνότητες ενέργειας
Καλημέρα Στάθη.
Χαίρομαι που σε βλέπω ξανά στην παρέα μας, μετά από καιρό, με μια πολύ όμορφη μελέτη, η οποία ξεκαθαρίζει τη διαφορετικότητα της χορδής από ένα σύστημα ελατηρίων και το ρόλο τους στη διάδοση ενός κύματος.
Αν δε, λάβουμε υπόψη ότι, με βάση το σχολικό βιβλίο, γίνεται μια στρέβλωση στα κύματα, αφού η ταλάντωση μιας στοιχειώδους μάζας της χορδής ονομάζεται ΑΑΤ και συνηθίζεται να διδάσκεται η ΑΔΕΤ!!! για την σύνδεση κινητικής και δυναμικής ενέργειας, τότε νομίζω ότι η παραπάνω μελέτη, μπορεί να πείσει και τον πιο δύσπιστο.
Στάθη σε ευχαριστούμε!
Καλημέρα Διονύση, σε ευχαριστώ πολύ.
Να συμπληρώσω τις εξής δύο παρατηρήσεις σχετικά με την συμπεριφορά του συστήματος στο όριο των μεγάλων και μικρών μηκών κύματος.
Μέσω του λόγου (34) παρατηρούμε ότι σε ένα σύστημα ελατηρίων -χορδής, στο οποίο η συχνότητα ταλάντωσης των ελατηρίων,ω0, είναι πολύ μεγαλύτερη της συχνότητας της εγκάρσιας ταλάντωσης της χορδής λόγω τάσεων, ck, η πυκνότητα ενέργειας λόγω της παραμόρφωσης της χορδής, είναι πολύ μικρότερη της πυκνότητας κινητικής ενέργειας, του συστήματος. Το σύστημα βρίσκεται στο όριο των μεγάλων μηκών κύματος, και στην δυναμική του ενέργεια κυριαρχεί ο όρος λόγω του παραβολικού δυναμικού των ελατηρίων, έναντι του όρου λόγω των τάσεων στην χορδή. Στην περίπτωση αυτήν μπορεί κατά προσέγγιση να θεωρηθεί ότι κάθε στοιχειώδης μάζα της χορδής εκτελεί μία κίνηση που προσομοιάζει στην απλή αρμονική ταλάντωση ενός υλικού σημείου στο άκρο ιδανικού ελατηρίου (δες τα ενεργειακά γραφήματα του σχήματος 5). Χρειάζεται όμως προσοχή στο ότι τώρα η διασπορά κυμάτων διαφορετικών μηκών κύματος είναι έντονη. Πράγματι η ταχύτητα διάδοσης, vk, εξαρτάται έντονα από το μήκος κύματος, με την ταχύτητα διάδοσης να αυξάνει απότομα για μικρές αυξήσεις του μήκους κύματος (βρισκόμαστε στο όριο των μικρών κυματαρίθμων στο γράφημα του σχήματος 3).
Στον αντίποδα στο όριο των μικρών μηκών κύματος, όπου ω0>>ck, στην δυναμική ενέργεια κυριαρχεί ο όρος των παραμορφώσεων της χορδής, έναντι του παραβολικού όρου των ελατηρίων, και ο λόγος (34) τείνει στην μονάδα. Το σύστημα προσεγγίζει μία ελεύθερη χορδή στην οποία διαδίδονται εγκάρσια κύματα μικρού πλάτους με μηδενική διασπορά, ήτοι σταθερή ταχύτητα διάδοσης c ανεξάρτητη του μήκους κύματος (βρισκόμαστε στο όριο των μεγάλων κυματαρίθμων στο γράφημα του σχήματος 3).
Συνεπώς το πρότυπο του ΑΑΤ, ακόμη και αν υιοθετηθεί ως προσέγγιση στην περίπτωση ω0>>ck, πρέπει να εγκαταληφθεί η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής του σχολικού βιβλίου (η σταθερή ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στην χορδή, ανεξάρτητα του μήκους κύματος).
Στάθη χαίρομαι για την επάνοδο.
Το διαβάζω.
Καλημέρα Στάθη .
Πολύ δυνατή και ποιοτική η επάνοδός σου, θέλει πολύ προσεκτικό διάβασμα.
Μια αρχική αίτηση. Μπορείς να δώσεις μια ζωγραφιά με τις δυνάμεις που δέχεται ένα τμήμα dx της χορδής;
Καλησπέρα σε όλους
Άρη και Γιάννη ευχαριστώ. Καθυστέρησα να απαντήσω αλλά από το πρωί μπήκα σπίτι πριν λίγο.
Άρη οι δυνάμεις σε ένα τμήμα της χορδής μεταξύ των σημείων “1” και “2”. Το ελατήριο έχει φυσικό μήκος στονω άξονα y=0 (άξονα x). Βάρος αμελητέο.
Γειά σου και πάλι Άρη.
Αν κατάλαβα καλά, διαφωνεις με το μεσαίο σκέλος της τριπλής ισότητας,
Διαφωνείς γενικά με όλη την παράσταση, ή με το πρόσημο;
Δεν καταλάβαινα το τ όπως και το d. Αν συμφωνούμε για το τ τότε πρέπει να θεωρήσω ότι το d (θy/θx) είναι η διαφορά θy/θx στις δυό άκρες της χορδής οπότε είναι η δεύτερη παράγωγος και είναι όλα σωστά.
Καλημέρα σας. Αν μου επιτρέπετε μια γνώμη επ’ αυτού καθώς καθορίζει όλη την εργασία του Στάθη. Και ως μια συμβολή στο να γίνει κατανοητό το πως προκύπτει η διαφορική εξίσωση που από τη λύση της θα οδηγηθούμε στα όποια συμπεράσματα. Στο σχήμα των σχολίων: Είναι Τ1,y = T1 ημφ , όμως Τ1=Τ2 =Τ ή τ (το μέτρο της δύναμης με το οποίο τείνεται η χορδή). Επειδή η γωνία φ είναι πολύ μικρή, είναι ημφ=φ=εφφ =θy/θx (όπου ίσον εννοούμε περίπου ίσον). Οπότε Τ1,y =T θy/θx. H συνέχεια στο χειρόγραφο συνημμένο. Στην τελευταία δημοσίευση μου εδώ προς το τέλος των σχολίων υπάρχει μια χειρόγραφη απόδειξη για την ενέργεια του παλμού από την ισχύ, που γίνεται αναφορά σε αυτά.
Καλημέρα Γιώργο, ακριβώς όπως τα γράφεις είναι.
Άρη καλημέρα,
στην σχέση (1) αρχικά, στο τελευταίο μέλος από λάθος στην πρηκτρολόγηση δεν υπήρχε το τ. Το διόρθωσα. Έχεις δίκιο σε ότι γράφεις, τ είναι το σταθερό μέτρο τάσης και d(θy/θx) είναι η διαφορά θy/θx στις δυό άκρες της χορδής (δεύτερη παράγωγος) της συνάρτησης y(x). Στο σχήμα των δυνάμεων που παρέθεσα, στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω άρα η δύναμη είναι αρνητική. Ίσως έπρεπε να αναλύσω περισσότερο τις δυνάμεις στην χορδή. Μετά τα σχόλιά σας όμως έγινε κατανοητό ποιες είναι και πως δρούν.
Το συμπέρασμα Στάθη είναι: Δεν διαβάζουμε πολύ Κυριακόπουλο και γινόμαστε μινιμαλιστές ΧΑ! ΧΑ!
Καλημέρα.
Μια ολοκληρωμένη απόδειξη της περί ής ο λόγος σχέσης, στο συνημμένο:
Καλησπέρα.
Δύο σύνδεσμοι με δυναμικά γραφήματα (…προσπαθώ να μεταφράσω το “animation”) που θα φανούν χρήσιμα στην κατανόηση των πυκνοτήτων ενέργειας.
Τρέχον κύμα
Στάσιμο κύμα