Όλα τα παραπάνω με μια προϋπόθεση:
Οι σπείρες κινούνται σε συγχρονισμό και δεν διαδίδονται περίεργα κύματα στο ελατήριο. Ας δούμε ένα εξαιρετικό βίντεο από το ΕΚΦΕ Λευκάδας.
Παίζει σε αργή κίνηση και επαληθεύει την υπόθεση.
Καλησπέρα Γιάννη,
Αν το ελατήριο έχει ένα άκρο ακίνητο, το άλλο ελεύθερο και ταλαντώνεται, πώς είναι δυνατόν να εποφύγουμε τα “περίεργα” στάσιμα κύματα;
Στο βίντεο τα πράγματα είναι διαφορετικά, το ελατήριο συσπειρώνεται μέχρι οι σπείρες του να έρθουν σε επαφή μεταξύ τους και όταν ολοκληρωθεί η διαδικασία εκτελεί όλο μαζί ελεύθερη πτώση.
Για να θέσω καλύτερα τι εννοώ:
Αν επιμηκύνω το ελατήριο και το αφήσω ελεύθερο, αρχικά το προφίλ των ταχυτήτων των σπειρών θα είναι γραμμικό. Αλλά στο ελατήριο θα διαδοθούν διαταραχές και θα εγκατασταθεί ένα σύστημα στασίμων κυμάτων. Τότε το προφίλ ταχύτητας θα πάψει να είναι γραμμικό, και το m/3 ως ενεργός μάζα δεν θα ισχύει.
Καλησπέρα Στάθη.
Αν το ΕΚΦΕ Λευκάδας γύριζε βίντεο με στερεωμένο το ένα άκρο πιστεύω πως θα βλέπαμε πάλι συγχρονισμένες κινήσεις.
Το ιδιαίτερα μαλακό αυτό ελατήριο οδηγεί σε μικρές ταχύτητες διάδοσης των κυμάτων. Ίσως μικρότερες από την ταχύτητα κίνησης του άκρου.
Γιάννη αν m η μάζα του ελατηρίου και L το μήκος του, τότε η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι sqrt(k/m)L, όπου k η σκληρότητα. Για μικρά πλάτη, ώστε οι σπείρες να μην χτυπάνε η μία την άλλη, η ταχύτητα στο άκρο θα είναι μικρότερη από την ταχύτητα διάδοσης.
Αλλά δεν νομίζω αυτό να παίζει ρόλο. Ακόμη και αν η ταχύτητα διάδοσης είναι μικρότερη του άκρου, μόλις το κύμα ανακλαστεί στο ακλόνητο άκρο του ελατηρίου και αρχίζει να δημιουργείται στάσιμο, το γραμμικό προφίλ χαλάει. Όπως το βρίσκω στην βιβιλιογραφία, σε ελεύθερο ελατήριο η ενεργός μάζα προσεγγίζει το m/2.
Το m/3 θα ισχύει αν δέσουμε στο ελεύθερο άκρο μάζα αρκετά μεγαλύτερη από την μάζα του ελατηρίου.
Γιάννη τα link αναφέρονται όλα (δεν μπορώ να ανοίξω το τρίτο) σε έχον μάζα ελατήριο με άλλη μάζα στην άκρη του (load). Δηλαδή σε σύστημα μαζικού ελατηρίου με φορτίο στο ελεύθερο άκρο.
Αν το η μάζα του φορτίου M είναι αρκετά μεγαλύτερη από την μάζα m του ελατηρίου (m/M<<1), ισχύει το m/3.
Στον αντίποδα, όσο ο λόγος m/M μεγαλώνει, προσεγγίζεται το m/2.
Δες εδώ:
[1] Bowen, J., M., Slinky Oscillations and the notion of Effective Mass, American Journal of Physics, 50, 12 (1984).
[2] Fox, J., G., Mahanty J., The Effective Mass of An Oscillating Spring, American Journal of Physics, 38, 98 (1970).
Επίσης κάτι περίεργο μου φαίνεται:
-Ένα ελατήριο μόνο του δεν είναι σαν ένα ελατήριο με μάζα δεμένη στην άκρη του;
Το μισό ελατήριο δεν σέρνει το άλλο μισό;
Το ένα τρίτο του ελατηρίου δεν σέρνει τα άλλα δύο τρίτα;
Γιατί το τελευταίο βίντεο δείχνει συγχρονισμένες κινήσεις στο κοντό ελατήριο;
Ακόμα για να γίνει στάσιμο με το ένα άκρο ακίνητο πρέπει στο ελεύθερο να γίνει κοιλία. Θα συμβεί αυτό σε τυχαίο ελατήριο;
Αν δεν γίνει στάσιμο, οι ταλαντώσεις μιας σπείρας συγκρίνονται με την κίνησή της λόγω ταλάντωσης;
Δηλαδή η ταλάντωση της επιβάλει να κινηθεί κατά 10 πόντους και το κύμα ίσως κατά 1 χιλιοστό.
Επίσης δεν βλέπω λάθος στην απόδειξη που έγραψα. Αν βλέπεις το εντοπίζεις και εξηγείς γιατί είναι λάθος.
Όχι βέβαια Στάθη.
Φυσικά η τείνουσα δύναμη δεν είναι k.L. Είναι k.x.
Δηλαδή αν έχω ένα ελατήριο 2 μέτρα και το τεντώσω 10 πόντους η δύναμη δεν είναι k.2 αλλά k.0,1. Είκοσι φορές μικρότερη.
Γιάννη εννοώ αυτό,
Διόρθωση: σε οριζόντιο ελατήριο (αν και σε κατακόρυφο τελικά προκύπτει ακριβώς η ίδια εξίσωση).
Όσον αφορά το “-Ένα ελατήριο μόνο του δεν είναι σαν ένα ελατήριο με μάζα δεμένη στην άκρη του; Το μισό ελατήριο δεν σέρνει το άλλο μισό;” Όχι δεν είναι το ίδιο, γιατί το ελατήριο είναι δυναμικό σύστημα το οποίο παραμορφώνεται. Η μάζα -υλικό σημείο, όχι.
Επίσης Γιάννη, όσον αφορά την ταχύτητα διάδοσης: σε μία χορδή οι τάσεις είναι παντού ίδιες, ισχύει το ίδιο στο ελατήριο; Η δύναμη σε ένα επιμηκυμένο ελατήριο χωρίς ταχύτητα θα είναι μέγιστη στο ελεύθερο άκρο (μέγιστη παραμόρφωση) και θα γίνεται σχεδόν μηδέν στο ακλόνητο άκρο (μηδαμινή παραμόρφωση). Είναι δυνατόν να αλλάζει η ταχύτητα, αναλόγως με την τείνουσα δύναμη στο ελεύθερο άκρο την t=0;
by 
Όλα τα παραπάνω με μια προϋπόθεση:
Οι σπείρες κινούνται σε συγχρονισμό και δεν διαδίδονται περίεργα κύματα στο ελατήριο.
Ας δούμε ένα εξαιρετικό βίντεο από το ΕΚΦΕ Λευκάδας.
Παίζει σε αργή κίνηση και επαληθεύει την υπόθεση.
Καλησπέρα Γιάννη,
Αν το ελατήριο έχει ένα άκρο ακίνητο, το άλλο ελεύθερο και ταλαντώνεται, πώς είναι δυνατόν να εποφύγουμε τα “περίεργα” στάσιμα κύματα;
Στο βίντεο τα πράγματα είναι διαφορετικά, το ελατήριο συσπειρώνεται μέχρι οι σπείρες του να έρθουν σε επαφή μεταξύ τους και όταν ολοκληρωθεί η διαδικασία εκτελεί όλο μαζί ελεύθερη πτώση.
Για να θέσω καλύτερα τι εννοώ:
Αν επιμηκύνω το ελατήριο και το αφήσω ελεύθερο, αρχικά το προφίλ των ταχυτήτων των σπειρών θα είναι γραμμικό. Αλλά στο ελατήριο θα διαδοθούν διαταραχές και θα εγκατασταθεί ένα σύστημα στασίμων κυμάτων. Τότε το προφίλ ταχύτητας θα πάψει να είναι γραμμικό, και το m/3 ως ενεργός μάζα δεν θα ισχύει.
Καλησπέρα Στάθη.
Αν το ΕΚΦΕ Λευκάδας γύριζε βίντεο με στερεωμένο το ένα άκρο πιστεύω πως θα βλέπαμε πάλι συγχρονισμένες κινήσεις.
Το ιδιαίτερα μαλακό αυτό ελατήριο οδηγεί σε μικρές ταχύτητες διάδοσης των κυμάτων. Ίσως μικρότερες από την ταχύτητα κίνησης του άκρου.
Δυστυχώς δεν έχω το παιχνίδι μια και οι γιοι μεγάλωσαν αρκετά.
Θα γύριζα βιντεάκι.
Το μόνο που μπορώ να κάνω είναι να στείλω αυτό:
Βλέπουμε έναν συγχρονισμό στις κινήσεις και όχι διαφορετικές φάσεις στις ταλαντώσεις.
Γιάννη αν m η μάζα του ελατηρίου και L το μήκος του, τότε η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι sqrt(k/m)L, όπου k η σκληρότητα. Για μικρά πλάτη, ώστε οι σπείρες να μην χτυπάνε η μία την άλλη, η ταχύτητα στο άκρο θα είναι μικρότερη από την ταχύτητα διάδοσης.
Αλλά δεν νομίζω αυτό να παίζει ρόλο. Ακόμη και αν η ταχύτητα διάδοσης είναι μικρότερη του άκρου, μόλις το κύμα ανακλαστεί στο ακλόνητο άκρο του ελατηρίου και αρχίζει να δημιουργείται στάσιμο, το γραμμικό προφίλ χαλάει. Όπως το βρίσκω στην βιβιλιογραφία, σε ελεύθερο ελατήριο η ενεργός μάζα προσεγγίζει το m/2.
Το m/3 θα ισχύει αν δέσουμε στο ελεύθερο άκρο μάζα αρκετά μεγαλύτερη από την μάζα του ελατηρίου.
Στάθη βρίσκω στη Βικιπάιδεια:
Από κολλέγιο Σαν Ματέο: (αναφέρει στη μέση περίπου το 1/3).
Άρθρο:
Πάλι το ένα τρίτο:
Ένα βίντεο που δείχνει στο τέλος συντονισμένη κίνηση:
Η προσομοίωση που έστειλα προηγουμένως.
Δυστυχώς δεν έχω το παιχνίδι να το βιντεοσκοπήσω.
Επίσης γράφεις έναν τύπο για την ταχύτητα διάδοσης.
Μήπως στη θέση του k πρέπει να μπει η τείνουσα δύναμη;
Γιάννη τα link αναφέρονται όλα (δεν μπορώ να ανοίξω το τρίτο) σε έχον μάζα ελατήριο με άλλη μάζα στην άκρη του (load). Δηλαδή σε σύστημα μαζικού ελατηρίου με φορτίο στο ελεύθερο άκρο.
Αν το η μάζα του φορτίου M είναι αρκετά μεγαλύτερη από την μάζα m του ελατηρίου (m/M<<1), ισχύει το m/3.
Στον αντίποδα, όσο ο λόγος m/M μεγαλώνει, προσεγγίζεται το m/2.
Δες εδώ:
[1] Bowen, J., M., Slinky Oscillations and the notion of Effective Mass, American Journal of Physics, 50, 12 (1984).
[2] Fox, J., G., Mahanty J., The Effective Mass of An Oscillating Spring, American Journal of Physics, 38, 98 (1970).
Από την παραπομπή [2] το παρακάτω διάγραμμα:
Tώρα είδα το σχόλιο για τον τύπο sqrt(k/m)L. Δεν βλέπω λάθος, διαστατικά βγαίνει ταχύτητα (κυκλική συχνότητα επί μήκος).
Στάθη η ταχύτητα διάδοσης:
Σωστά Γιάννη, αλλά F=kL και μ=m/L, οπότε καταλήγουμε στον ίδιο τύπο.
Επίσης κάτι περίεργο μου φαίνεται:
-Ένα ελατήριο μόνο του δεν είναι σαν ένα ελατήριο με μάζα δεμένη στην άκρη του;
Το μισό ελατήριο δεν σέρνει το άλλο μισό;
Το ένα τρίτο του ελατηρίου δεν σέρνει τα άλλα δύο τρίτα;
Γιατί το τελευταίο βίντεο δείχνει συγχρονισμένες κινήσεις στο κοντό ελατήριο;
Ακόμα για να γίνει στάσιμο με το ένα άκρο ακίνητο πρέπει στο ελεύθερο να γίνει κοιλία. Θα συμβεί αυτό σε τυχαίο ελατήριο;
Αν δεν γίνει στάσιμο, οι ταλαντώσεις μιας σπείρας συγκρίνονται με την κίνησή της λόγω ταλάντωσης;
Δηλαδή η ταλάντωση της επιβάλει να κινηθεί κατά 10 πόντους και το κύμα ίσως κατά 1 χιλιοστό.
Επίσης δεν βλέπω λάθος στην απόδειξη που έγραψα. Αν βλέπεις το εντοπίζεις και εξηγείς γιατί είναι λάθος.
Όχι βέβαια Στάθη.
Φυσικά η τείνουσα δύναμη δεν είναι k.L. Είναι k.x.
Δηλαδή αν έχω ένα ελατήριο 2 μέτρα και το τεντώσω 10 πόντους η δύναμη δεν είναι k.2 αλλά k.0,1. Είκοσι φορές μικρότερη.
Γιάννη εννοώ αυτό,
Διόρθωση: σε οριζόντιο ελατήριο (αν και σε κατακόρυφο τελικά προκύπτει ακριβώς η ίδια εξίσωση).
Όσον αφορά το “-Ένα ελατήριο μόνο του δεν είναι σαν ένα ελατήριο με μάζα δεμένη στην άκρη του; Το μισό ελατήριο δεν σέρνει το άλλο μισό;”
Όχι δεν είναι το ίδιο, γιατί το ελατήριο είναι δυναμικό σύστημα το οποίο παραμορφώνεται. Η μάζα -υλικό σημείο, όχι.
Επίσης Γιάννη, όσον αφορά την ταχύτητα διάδοσης: σε μία χορδή οι τάσεις είναι παντού ίδιες, ισχύει το ίδιο στο ελατήριο; Η δύναμη σε ένα επιμηκυμένο ελατήριο χωρίς ταχύτητα θα είναι μέγιστη στο ελεύθερο άκρο (μέγιστη παραμόρφωση) και θα γίνεται σχεδόν μηδέν στο ακλόνητο άκρο (μηδαμινή παραμόρφωση). Είναι δυνατόν να αλλάζει η ταχύτητα, αναλόγως με την τείνουσα δύναμη στο ελεύθερο άκρο την t=0;