Μια απλή κυματοσυνάρτηση

by Ανδρέας Βαλαδάκης12/04/202512/04/2025

Γιατί μας ενδιαφέρει: Τα γενικά χαρακτηριστικά των κυματοσυναρτήσεων αποκαλύπτονται με ένα απλό παράδειγμα.

Στο Σχήμα φαίνεται η γραφική παράταση μιας υποθετικής κυματοσυνάρτησης, τη χρονική στιγμή $t$ . Ο τύπος της συνάρτησης είναι:

$\Psi = 0$ , για $x\leq 0$ , για $x = L/2$ και $x \geq L$
$\Psi =\Psi_0$ , για $0<x < L/2$
$\Psi = -\Psi_0 /2$ , για $L/2<x<L$

Aπό αυτή προκύπτει η πιθανότητα, τη χρονική στιγμή $t$ , να ανιχνευθεί ένα σωματίδιο στη θέση $x$ . Να αποδείξετε ότι:

(α) Η πιθανότητα να ανιχνευθεί ένα σωματίδιο σε μια θέση στο διάστημα $0 \leq x \leq L/2$ είναι $\Pi_1 = \Psi^2_0\, \frac{L}{2}$

(β) Η πιθανότητα να ανιχνευθεί ένα σωματίδιο σε μια θέση στο διάστημα $L/2 \leq x \leq L$ είναι $\Pi_2 =\Psi^2_0\, \frac{L}{8}$ .

(γ) $\Psi_0 = \sqrt{\frac{8}{5L}}$ .

Η απαντήσεις υπάρχουν εδώ: Μια απλή κυματοσυνάρτηση – Πρότυπα Θέματα Φυσικής

11 Σχόλια

Inline Feedbacks

Όλα τα σχόλια

Αρχισυντάκτης

Ανδρέας Ριζόπουλος

12/04/2025 2:56 ΜΜ

Καλησπέρα Ανδρέα. Πολύ διαφωτιστική για τους μαθητές – και για μας – η ανάρτηση, που κυματοσυνάρτηση ακούνε αλλά κυματοσυνάρτηση δε βλέπουν. Για ένα σωματίδιο παγιδευμένο σε συγκεκριμένο χώρο, η κυματοσυνάρτηση είναι πραγματική και όχι μιγαδική, οπότε το παράδειγμά σου έχει φυσικό περιεχόμενο.
Θα έλεγα ότι καλύτερα να βάλεις απόλυτο στη λύση, γιατί όπως γράφεις “το τετράγωνο του μέτρου…” Εδώ βέβαια είναι πραγματική συνάρτηση οπότε δεν χρειάζεται.
Επίσης στο γ ερώτημα το αλγεβρικό άθροισμα πρέπει να είναι από -άπειρο μέχρι +άπειρο, οπότε για καλύτερη εξήγηση ίσως να προταθεί

Καλό Πάσχα.

Τελευταία διόρθωση10 ημέρες πριν από Ανδρέας Ριζόπουλος

Συγγραφέας

Ανδρέας Βαλαδάκης

12/04/2025 7:11 ΜΜ

Ανδρέα σε ευχαριστώ πολύ για το σχόλιο.

Πρόθεσή μου ήταν να αποφύγω τον όρο “το τετράγωνο του μέτρου της κυματοσυνάρτησης”. Μήπως κάπου μου διέφυγε;

Το σύμβολο Σ το χρησιμοποιώ με την έννοια του αθροίσματος και όχι της (μαθηματικής) σειράς. Σε αυτό το πλαίσιο, επειδή η συνάρτηση είναι εντοπισμένη, δεν χρειάζεται η έννοια του απείρου. Έτσι, ακόμη και μαθητές που δεν έχουν διδαχθεί τις συγκεκριμένες έννοιες, μπορούν να παρακολουθήσουν την αντίστοιχη διαδικασία.

Μιλτιάδης Νίκας

12/04/2025 8:58 ΜΜ

Καλησπέρα σας.
Μήπως η ασυνέχεια της κυματοσυνάρτησης στο L/2 έχει ανεπιθύμητες επιπτώσεις στις φυσικές ιδιότητες του σώματος που περιγράφει? Συνήθως στα διαφορα προβλήματα η μαθηματική συνέχεια επιβάλλεται.

Συγγραφέας

Ανδρέας Βαλαδάκης

12/04/2025 9:51 ΜΜ

Μιλτιάδη σε ευχαριστώ πολύ για το σχόλιό σου.

Όπως αναφέρεται στην εκφώνηση, η κυματοσυνάρτηση είναι υποθετική. Εξυπηρετεί περιορισμένους διδακτικούς στόχους, στο πλαίσιο της λυκειακής Φυσικής: την αποσαφήνιση των γενικών χαρακτηριστικών των κυματοσυναρτήσεων, μέσω ενός απλού παραδείγματος.
Αν κατά τη διδασκαλία της εγερθούν ερωτήματα, όπως αυτά που θέτεις, τότε θα εξυπηρετήσει έναν επιπλέον στόχο: η συζήτηση να επεκταθεί και σε θέματα που δεν καλύπτονται από το εν λόγω παράδειγμα.

Μιλτιάδης Νίκας

13/04/2025 1:15 ΠΜ

Ανδρέα στο καθαρά μαθηματικό επίπεδο ένας μαθητής της θεωρητικής μπορεί να ρωτήσει: Αφού η ψ(x) δεν είναι παραγωγίσιμη στο L/2 δεν επαληθεύει την εξίσωση του Schrodinger. Επομένως μπορεί η ψ(x) να παίζει το ρόλο κυματοσυνάρτησης; Θα ήταν χρήσιμο να μας διαφωτίσει κάποιος σε αυτά τα ζητήματα.

Συγγραφέας

Ανδρέας Βαλαδάκης

13/04/2025 5:26 ΠΜ

Μίλτο καλημέρα.

Θεμιτό ερώτημα από μαθητές του Θετικού Προσανατολισμού. Επανέρχεται συχνά, ήδη από την Α’ Λυκείου, όπως ενδεικτικά φαίνεται στο πρόβλημα της Εικόνας (από το σχολικό βιβλίο της Α’ Λυκείου).

Στην πραγματικότητα πρόκειται για προσέγγιση συνεχούς και παραγωγίσιμης συνάρτησης: Έστω μια συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση. Όταν σε μια πολύ στενή περιοχή του πεδίου ορισμού της η συνάρτηση μεταβάλλεται πολύ απότομα, μπορούμε πρακτικά να αγνοήσουμε αυτή την περιοχή.

Στο πλαίσιο της λυκειακής Φυσικής νομίζω ότι το όφελος από μια τέτοια εύλογη προσέγγιση είναι μεγαλύτερο από την απώλεια της μαθηματικής ορθότητας.

Τελευταία διόρθωση10 ημέρες πριν από admin

Γεώργιος Βουμβάκης

14/04/2025 7:56 ΠΜ

Γειά σου Ανδρέα και Μιλτιάδη. Το θέμα είναι ενδιαφέρον. Οι υποψήφιοι των επιστημών υγείας μπορούν να υπολογίζουν πιθανότητες εύρεσης του σωματίου σε διάφορες περιοχές στην περίπτωση που η κυματοσυνάρτηση είναι σταθερή κατά διαστήματα όπως στο θέμα τούτης της δημοσίευσης. Από αυστηρή μαθηματική προσέγγιση όμως η κυματοσυνάρτηση πρέπει να είναι συνεχής συνάρτηση σε όλα τα σημεία. Η απαίτηση να είναι συνεχής στις συνοριακές θέσεις ασυνέχειας του δυναμικού, όπως για παράδειγμα στα προβλήματα με τα πηγάδια δυναμικού, είναι ο ένας από τους δύο παράγοντες που μας οδηγεί στο να υπολογίσουμε τις σταθερές ολοκλήρωσης που προκύπτουν από τη λύση της- διαφορικής – εξίσωσης του Schrodinger. Πρόκειται για τις συνοριακές συνθήκες συνέχειας της κυματοσυναρτησης. Ο άλλος είναι η συνθήκη κανονικοποίησης. Σε κάποιες περιπτώσεις και σε συνδυασμό με την εύρεση των ιδιοτιμών της ενέργειας, εξετάζουμε και τη συνέχεια της 1ης παραγώγου της κυματοσυναρτησης. Στις διαφορικές εξισώσεις της κλασσικής φυσικής που προκύπτουν από το 2ο Νόμο του Νεύτωνα, οι σταθερές ολοκλήρωσης υπολογίζονται από τη γνώση των αρχικών συνθηκών για τη θέση και τη ταχύτητα. Το που βρίσκεται το σώμα τη στιγμή t=0 και τι ταχύτητα έχει. Στη κβαντομηχανική λόγω της Αρχής της Αβεβαιότητας δεν μπορούμε να γνωρίζουμε με ακρίβεια ταυτόχρονα θέση και ταχύτητα.

Τελευταία διόρθωση9 ημέρες πριν από Γεώργιος Βουμβάκης

Συγγραφέας

Ανδρέας Βαλαδάκης

14/04/2025 1:41 ΜΜ

Γιώργο χρήσιμο το σχόλιό σου: αποσαφηνίζει ακόμη περισσότερο το ζήτημα.

Μιλτιάδης Νίκας

14/04/2025 11:09 ΜΜ

Ανδρέα και Γιώργο σας ευχαριστώ για τις διευκρινήσεις. Ίσως κάποιες βιβλιογραφικές αναφορές να βοηθούσαν για περαιτέρω εμβάθυνση. Για παράδειγμα τι σημαίνει ο όρος ιδιοτιμή? Κάτι θυμίζει από τα φοιτητικά μας χρόνια…
Μια σκέψη για τη φυσική εκμετάλλευση της περίεργης οντότητας που λέγεται κυματοσυνάρτηση. Αν την ομαλοποιήσουμε καθώς προτείνει ο Ανδρέας, ώστε να είναι παραγωγίσιμη, τότε μέσω της εξίσωσης Schrodinger θα μπορούσε να υπολογιστεί η δυναμική ενέργεια και κατ’ επέκταση η πραγματική δύναμη που δέχεται ένα σωμάτιο ολικής ενέργειας Ε. Αλλά αυτά μάλλον είναι για μαθητές μιας άλλης εποχής…

Συγγραφέας

Ανδρέας Βαλαδάκης

15/04/2025 8:07 ΠΜ

Μιλτιάδη καλημέρα.

Εύστοχη η παρατήρησή σου: Με τη βοήθεια της κυματοσυνάρτησης “μέσω της εξίσωσης Schrodinger θα μπορούσε να υπολογιστεί η δυναμική ενέργεια και κατ’ επέκταση η πραγματική δύναμη που δέχεται ένα σωμάτιο ολικής ενέργειας Ε.” Θα πρέπει βεβαίως να λάβουμε υπόψη μας και τις συνοριακές συνθήκες του συγκεκριμένου προβλήματος, όπως αναφέρει και ο Γιώργος Βουμβάκης στο σχόλιό του.

Βιβλιογραφικά θα πρότεινα μία από τις πρόσφατες εκδόσεις του Halliday-Resnick-Walker. Δεν εξαντλούν το θέμα αλλά παρουσιάζουν με απλή μαθηματική γλώσσα τα πιο σημαντικά θέματα. (Αυτή η άποψή μου είναι ανεξάρτητη από το γεγονός ότι συμμετείχα στην μετάφρασή τους. Απλώς μου δόθηκε η ευκαιρία να δω τα πράγματα με μεγαλύτερη προσοχή.)

Μετά την πρώτη εκτενή εξοικείωση θα πρότεινα την απολαυστική Κβαντομηχανική του Στέφανου Τραχανά καθώς και τις διαλέξεις του στο Mathesis.

Τελευταία διόρθωση8 ημέρες πριν από Ανδρέας Βαλαδάκης

Γεώργιος Βουμβάκης

15/04/2025 10:06 ΠΜ

Καλημέρα Ανδρέα και Μιλτιάδη. Για τις ιδιοτιμές ενέργειας : Η ενέργεια είναι κβαντισμένο μέγεθος. Οι τιμές της είναι συνάρτηση του φυσικού αριθμού n=1,2,3,…. του κύριου κβαντικού αριθμού . Οι τιμές της ενέργειας για τις διάφορες τιμές του n, ονομάζονται ιδιοτιμές της ενέργειας. Για κάθε τιμή του n υπάρχει και μια κυματοσυνάρτηση που αντιστοιχεί σε αυτή την ιδιοτιμή ενέργειας δηλαδή σε αυτή την ενεργειακή κατάσταση και ονομάζεται ιδιοσυνάρτηση.

wpDiscuz