by Ένα σώμα βάλλεται οριζόντια από ύψος H με ταχύτητα uο. Εάν u1 η ταχύτητα που έχει στον κατακόρυφο άξονα κάποια στιγμή και u2 η ταχύτητα που έχει στον κατακόρυφο άξονα όταν φθάνει στο έδαφος . Τότε να αποδείξετε πως ο λόγος της Κινητικής πρός την Δυναμική Ενέργεια την στιγμή αυτή είναι (uo2 + u12 ) /(u2-u1)(u2+u1) . Ως επίπεδο μηδενικής Δυναμικής Ενέργειας θεωρείστε το έδαφος .
Λύση
Κ/U = (1/2 mu2)/mg(H-y)=m(uo2 + u12)/ 2mg(0,5gt22 -0,5gt12)= (uo2 + u12) /g2 (t22-t12)
To γινόμενο gt ισούται με την ταχύτητα στον κατακόρυφο άξονα . Συνεπώς προκύπτει :K/U = (uo2 + u12) / (uo2 + u12) / (u22-u12)= (uo2 + u12 ) /(u2-u1)(u2+u1)
Καλημέρα και χρόνια πολλά.
Μια και έχεις συστηθεί και μάθαμε ότι ασχολείσαι με τη διδασκαλία
και της φυσικής, ήθελα να τονίσω σχετικά με το καλό θέμα, δύο ελλείψεις
σαφήνειας ή αλλιώς δύο ασάφειες…
i) δεν προσδιορίζεις σαφώς τη στιγμή …Βέβαια από τα “συμφραζόμενα” …βγαίνει, επειδή στην εκφώνηση αναφέρεται η έκφραση “κάποια στιγμή” για την περίπτωση της ταχύτητας υ1 ,οπότε ας αφαιρέσω τον προσδιορισμό ασάφεια.
ii) η δυναμική ενέργεια είναι μη μετρήσιμη αν δεν προσδιοριστεί η “στάθμη αναφοράς” δηλαδή η στάθμη όπου U=0. Εν προκειμένω θεωρείς το έδαφος και πρέπει να αναφερθεί στην εκφώνηση.
Να είσαι καλά
Καλημέρα σας ! Ευχαριστώ για τις επισημάνσεις ! Σχετικά με την πρώτη σας παρατήρηση προφανώς και δεν πρόκειται για ασάφεια γιατί αναφέρω κάποια στιγμή όποτε προφανώς και εννοώ δεδομένη . Όσον αφορά την δεύτερη επισήμανση ,ναι πράγματι το επίπεδο όπου το U=0 είναι το έδαφος και μιας και το επισημάνατε θα το προσθέσω στην εκφώνηση.
Καλησπέρα και χρόνια πολλα, εαν μου επιτρεπετε, δυναμικη ενεργεια βαρυτικου πεδιου ειναι μηδεν στο απειρο, στην πραξη όμως μας ενδιαφερει η μεταβολη δυναμικης ενεργειας αναμεσα σε δυο θεσεις, για χαρη ευκολιας βαζουμε μηδεν τη δυναμικη ενεργεια στην κατωτερη θεση, αυτο δημιουργει ομως παρεξηγησεις καλο θα ειναι τα παιδια να μην θεωρουν μηδενικη δυναμικη βαρυτικη ενεργεια σε σημείο εντος πεδιου
Καλημέρα Τόνια. Επειδή δεν πήρα κάποια απάντηση ΕΔΩ, μέχρι αυτή τη στιγμή τουλάχιστον, το ξαναγράφω. ” με ταχύτητα μέτρου u0 ”
Επίσης το σύστημα αξόνων, πρέπει να προσδιορίζεται σαφώς ή με κατάλληλο σχήμα ή λεκτικά. Η βολή έχει άλλες εξισώσεις αν η αρχή Ο του συστήματος βρίσκεται στο σημείο βολής ή κάπου αλλού π.χ. στο έδαφος.
Θανάση καλημέρα. Για κινήσεις κοντά στην επιφάνεια της Γης, το βαρυτικό πεδίο θεωρείται ομογενές. Μπορούμε να ορίσουμε οποιοδήποτε οριζόντιο επίπεδο ως επίπεδο αναφοράς, όχι απαραίτητα το άπειρο. Σε κινήσεις στο ανομοιoγενές – όπως και πραγματικά είναι – βαρυτικό πεδίο, οι σχέσεις του βιβλίου έχουν αποδειχτεί με μηδενικό δυναμικό εκτός πεδίου, κάτι που και πάλι είναι σχετικό. Ας πούμε μπορούμε σε εκτοξεύσεις διαστημοπλοίων με σκοπό τη διαφυγή πό το βαρυτικό πεδίο να θεωρήσουμε μηδενικό δυναμικό στην επιφάνεια της σφαίρας Hill.
Κύριε Ριζοπουλε επειδή πιθανόν δεν το προσέξατε, έκανα την διόρθωση που μου είπατε στο πρώτο άρθρο. Όσον αφορά στο σχόλιο σας προφανώς και ήταν λάθος στην πληκτρολόγηση και δεν θεωρώ να υπήρχε κάποιο μπέρδεμα αφού άλλωστε αναφέρεται και ο όρος ταχύτητα.Οσον αφορά στα σχήματα , δυστυχώς είμαι νέο μέλος και δεν γνωρίζω πώς να δημιουργώ γραφήματα σχήματα κτλπ
Καλημέρα σε όλους και χρόνια πολλά.
Αθανάσιος Παπαδημητρίου
24/04/2025 1:25 ΜΜ
Καλησπέρα και χρόνια πολλα, εαν μου επιτρεπετε, δυναμικη ενεργεια βαρυτικου πεδιου ειναι μηδεν στο απειρο, στην πραξη όμως μας ενδιαφερει η μεταβολη δυναμικης ενεργειας αναμεσα σε δυο θεσεις, για χαρη ευκολιας βαζουμε μηδεν τη δυναμικη ενεργεια στην κατωτερη θεση, αυτο δημιουργει ομως παρεξηγησεις καλο θα ειναι τα παιδια να μην θεωρουν μηδενικη δυναμικη βαρυτικη ενεργεια σε σημείο εντος πεδιου
Πολύ αξιόλογη παρατήρηση με την οποία συμφωνώ.
Όμως για την επίλυση προβλημάτων αναγκαστικά θα θεωρούμε μηδέν την ενέργεια στο κατώτερο σημείο, αρκεί να τονίζονται τα προηγούμενα.
Ανδρέας Ριζόπουλος
25/04/2025 10:59 ΠΜ
Θανάση καλημέρα. Για κινήσεις κοντά στην επιφάνεια της Γης, το βαρυτικό πεδίο θεωρείται ομογενές.
Ανδρέα νομίζω ότι και αυτό θέλει προσοχή στη διατύπωση.
Αν στείλουμε πύραυλο σε ύψος 2m από τη μια άκρη της της Σαχάρα ως την άλλη η κίνηση είναι κοντά στην επιφάνεια της γης αλλά ΟΧΙ σε ομογενές πεδίο
Καλησπερα σε ολους, ανεξαρτητα εαν το πεδιο θεωρηθει ομογενες (που δεν ειναι) λεω οτι καλο ειναι να εξηγουμε στα παιδια τι σημαινει το “θεωρω επιπεδο αναφορας με U=0” . (κατι που προσωπικα δεν το προτιμω, αυτο που κανουμε ειναι οτι υπολογιζουμε διαφορα /μεταβολη δυναμικης ενεργειας αναμεσα σε δυο θεσεις που μας βολευει να “θετουμε” την ενεργεια σε μια θεση μηδεν.
Επιμενω η βαρυτικη δυναμικη ενεργεια συστηματος δυο μαζων ειναι μηδεν στο απειρο
Καλησπέρα σε όλους και χρόνια πολλά. Αθανάσιε τυπικά έχεις δίκιο. Όμως πρέπει να λαμβάνουμε υπόψη και το ακροατήριο στο οποίο απευθυνόμαστε. Αν μιλάμε σε μαθητές Α Λυκείου, μπορούμε να βάλουμε λίγο νερό στο κρασί μας, γιατί αν μιλήσουμε για σύστημα σωμάτων και για μηδενισμό της δυναμικής ενέργειας αλληλεπίδρασης στο άπειρο μάλλον τους χάσαμε…
Αν απευθυνόμαστε σε μαθητές της Β που έχουν διδαχτεί συστήματα σωμάτων και βαρυτικό πεδίο, εκεί το πράγμα αλλάζει.
Στη συγκεκριμένη άσκηση πρέπει βέβαια να οριστεί το επίπεδο αναφοράς, όπως λέει ο Παντελής.
Βασίλη καλησπέρα.
Στο παράδειγμα με τη Σαχάρα:
Η Σαχάρα εκτείνεται περίπου 5.000 χιλιόμετρα σε μήκος.
Aφού το ύψος είναι πάρα πολύ μικρό (2m) σε σύγκριση με την ακτίνα της Γης (~6.371 km), η μεταβολή της βαρυτικής έντασης λόγω ύψους είναι αμελητέα.
Η καμπυλότητα της Γης σε μεγάλες αποστάσεις προκαλεί μικρές αλλαγές στη διεύθυνση του διανύσματος g αλλά για πρακτικούς υπολογισμούς στη φυσική λυκείου, αυτές οι διαφορές παραλείπονται.
Ας το δούμε και αριθμητικά για την περίπτωση που τοποθετήσουμε δορυφόρο σε αυτό το ύψος.
Μπορεί να υπάρχει σημαντική αλλαγή στη διεύθυνση της έντασης, περίπου θ=s/R κάπου 45 μοίρες, αλλά δε μας ενδιαφέρει.
Ανδρέα, καλησπερα , δεν καταλαβαινω τι σχεση εχει η θεωρηση του πεδιου ως ομογενες με το να διδασκουμε στα παιδια οτι η σχεση mgh δινει δυναμικη ενεργεια (που ειναι λαθος και σε ομογενες πεδιο) και οχι τη μεταβολη της.
Αποστολη η προσεγγιση στη διδασκαλια μιας εννοιας και μαλιστα τοσο δυσκολης οσο της δυναμικης ειναι θεμα του καθε δασκαλου. Προσωπικα προτιμω να μην κανω καμια εκπτωση στην παρουσιαση των εννοιων, αλλα αυτο ειναι προσωπικη προτιμηση.
Μια ιστορια, ενας καθηγητης στο πανεπιστημιο που ειχε γραφειο στον 4ο οροφο , εξεταζε προφορικα ζητωντας απο τους φοιτητες του να ανεβουν στο παραθυρο του γραφειου του και να πηδηξουν. Οσοι αρνουνταν τους εκοβε, μαντεψτε ποιος περασε το μαθημα.
Αν σε καποιο σημειο του γήινου βαρυτικου πεδιου θεωρησεις U=0, και αφησεις ενα σωμα εκει προφανως θα κινηθει, η αυξηση της κινητικης ενεργειας απο τη μειωση ποιας ενεργειας προεκυψε; ρωταει ο μαθητής
Καλο βράδυ, η προσεγγιση της εννοιας της ενεργειας παντα με προβληματιζε.
Καλημέρα Αθανάσιε. Συμφωνώ ότι η έννοια της δυναμικής ενέργειας είναι από τις πιο δύσκολες στη διδασκαλία. Στο ερώτημα σου: “Αν σε καποιο σημειο του γήινου βαρυτικου πεδιου θεωρησεις U=0, και αφησεις ενα σωμα εκει προφανως θα κινηθει, η αυξηση της κινητικης ενεργειας απο τη μειωση ποιας ενεργειας προεκυψε; ρωταει ο μαθητής”, θα απαντούσα στο μαθητή ως εξής: Κάτω από το επίπεδο αναφοράς η U θα είναι αρνητική, επομένως μειώθηκε και αυξήθηκε η κινητική ενέργεια. Θα του τόνιζα επίσης ότι αυτό που έχει μετρήσιμο ενδιαφέρον είναι η μεταβολή της U που συνδέεται με το έργο του βάρους και όχι οι απόλυτες τιμές της και θα του υπενθύμιζα ότι WB = – ΔUβαρ. Όταν φτάνει η στιγμή να διδάξω τη δυναμική ενέργεια σε μαθητές Α Λυκείου, ξεκινώ με το εξής σενάριο: Θέλουμε να μετρήσουμε το ύψος του Βασίλη, που βρίσκεται στον πρώτο όροφο ενός κτηρίου. Ο Γιώργος παίρνει το μέτρο, βάζει την αρχή του στα πόδια του Βασίλη και κοιτά την ένδειξη στην κορυφή του κεφαλιού του. Διαβάζει 1,8 μέτρα. Η Μαρία κατεβαίνει στο ισόγειο, μετρά την απόσταση του κεφαλιού και των ποδιών του Βασίλη από το ισόγειο, αφαιρεί τις τιμές και βρίσκει 1,8 μέτρα. Ο Γιώργος και η Μαρία δεν συμφωνούν ως προς τις επιμέρους μετρήσεις τους, διότι έγιναν από διαφορετικό επίπεδο αναφοράς, συμφωνούν όμως ότι το ύψος του Βασίλη είναι 1,8 μέτρα. Το επόμενο σενάριο: ένα σώμα βάρους 10Ν αφήνεται από ύψος 1m από το έδαφος. Το αδιαμφισβήτητο γεγονός είναι ότι το έργο του βάρους είναι 10J (όπως το αδιαμφισβήτητο γεγονός είναι ότι ο Βασίλης έχει ύψος 1,8 μέτρα), επομένως η βαρυτική δυναμική ενέργεια του σώματος μειώθηκε κατά 10J κατά την πτώση του και αυτό είναι που μας ενδιαφέρει.
Καλημερα Αποστολε “Θα του τόνιζα επίσης ότι αυτό που έχει μετρήσιμο ενδιαφέρον είναι η μεταβολή της U που συνδέεται με το έργο του βάρους και όχι οι απόλυτες τιμές της και θα του υπενθύμιζα ότι WB = – ΔUβαρ”
Σε αυτο ακριβως συμφωνουμε (καλο το παραδειγμα με το υψος του μαθητη)
Καλημέρα Αποστόλη , καλημέρα Θανάση (μου επιτρέπεις πιστεύω την ονομαστική προσφώνηση)
Αν ο μαθητής ήταν της Α΄ θα απαντούσα όπως ο Αποστόλης +αλληλεπίδραση…
Αν ο μαθητής ήταν της Β΄ θα τον ρωτούσα αντί απάντησης…”έμαθες ότι δυό σώματα σε άπειρη μεταξύ τους απόσταση έχουν U=0 και πιστεύω έχεις καταλάβει το γιατί (μη αλληλεπίδραση) .Αν αφήσεις το ένα σώμα ελεύθερο αφού το φέρεις οριακά εντός του πεδίου του άλλου (ή αν αφήσεις ελεύθερα και τα δυο) τι θα συμβεί ενεργειακά; Ποιά ενέργεια μειώθηκε και αντίστοιχα αύξηθηκε η κινητική;
Τώρα επειδή μιλάμε στο θέμα της Τόνιας και μπορεί να εισπράξει …αντιφάσεις για το θέμα που πράγματι ”προβληματίζει” και να μπερδευτεί ας γνωρίζει :
το αναφερθέν ήδη,…οι μεταβολές ΔU είναι ανεξάρτητες “στάθμης αναφοράς” και
η σχέση mgh εκφράζει την ενέργεια που μέσω του έργου της δύναμης F=W (μορφή μεταφοράς ενέργειας -Κουμαράς στο ”Προπατορικά αμαρτήματα βιβλίων φυσικής”) μεταφέρθηκε στο σώμα και …”αποθηκεύτηκε” ως δυναμική. Δηλαδή στη σχέση mgh να ορίζεται το h …από -έως.
Θυμήθηκα την έκδοση 1997 του σχολικού Α΄λυκείου των Δαπόντε -Κασσέτα !
Καλό Σαββατοκύριακο
Καλησπερα Παντελή , νομιζω οτι λιγο πολυ συμφωνουμε ολοι. Το βιβλιο των Δαποντε Κασσετα το διδαξαμε δυο χρονιες , κριμα που αποσυρθηκε τοσο γρηγορα (νομιζω ηταν βιβλιο των πολυκλαδικων)
Καλο Σαββατοκύριακο