by 
Τα βιβλία Φυσικής (σχολικά, εξωσχολικά ή πανεπιστημιακά) αναφέρουν δύο ορισμούς της συντηρητικής δύναμης. Όπως εξηγώ στο έγγραφο που ακολουθεί, οι δύο ορισμοί δεν συμφωνούν μεταξύ τους και επιβάλλεται κατά τη γνώμη μου να γίνει σχετική διόρθωση.
ΟΙ ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ Η ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ
Γεια σου Στάθη. Αναγκάζομαι να ξαναπαρουσιάσω ολοκληρωμένο το συλλογισμό μου: Σύμφωνα με τα πλέον έγκυρα Πανεπιστημιακά συγγράμματα (Ι. Χατζηδημητρίου, Kibble – Berkshire) αναγκαία και ικανή συνθήκη για να προέρχεται μια δύναμη από δυναμική ενέργεια ( F=-gradU) είναι να είναι μηδέν ο στροβιλισμός της ( rotF=0). Αν είναι F=-gradU τότε το έργο της F κατά μήκος κλειστής διαδρομής είναι μηδέν ( δείτε τη παράγραφο 2.7 του Χατζηδημητρίου σε προηγούμενο σχόλιό μου όπου το αποδεικνύει). Σύμφωνα όμως με την απόδειξη του Γιάννη Φιορεντίνου στο σχετικό παράδειγμα του D’ Alembert αν και ο στροβιλισμός της F είναι μηδέν αποδεικνύει ότι το έργο της F κατά μήκος της κλειστής διαδρομής του μοναδιαίου κύκλου με κέντρο το σημείο (0,0) δεν είναι μηδέν αλλά 2π! Τι συμβαίνει; Το παράδειγμα αυτό καταρρίπτει αυτές τις συνθήκες; Οι συγγραφείς αυτών των βιβλίων δεν γνώριζαν το παράδειγμα D, Alemmbert ;
Ο Γιάννης Κυριακόπουλος μου ζητάει επίμονα να του πω:
« Ακριβώς Γιώργο για μην κουράζουμε τους αναγνώστες της συζήτησης περιμένω να μου πεις:
Ο D’ Alembert έκανε λάθος!
ή
-Ο D’ Alembert έχει δίκιο!
Αν θέλεις να αποφύγεις χαρακτηρισμούς πες:
-Το πεδίο του D’ Alembert είναι συντηρητικό.
ή
-Το πεδίο του D’ Alembert δεν είναι συντηρητικό.»
Επιπλέον μου ζητάει:
«Το θέμα είναι πολύ απλό:
Πιάνεις μολύβι και υπολογίζεις το curl του πεδίου του D’ Alembert. Πρέπει να βγει μηδέν αν δεν κάνεις κάποιο λάθος.Υπολογίζεις την τιμή του επικαμπύλιου στον μοναδιαίο κύκλο. Αν δεν γίνει λάθος θα βγει 2π και όχι μηδέν.Χαρακτηρίζεις το πεδίο του D’ Alembert ως συντηρητικό ή ως μη συντηρητικό. Αν δεν κάνουμε αυτό θυμίζουμε τους ήρωες της γκραβούρας του Μπεζουόλι:»
Οφείλω έστω και καθυστερημένα – λόγω της ιδιαιτερότητας του θέματος και προσωπικών υποχρεώσεων- μια απάντηση. Στις αποδείξεις του Γιάννη Φιορεντίνου όλα τα βρίσκω σωστά με εξαίρεση τα όρια της ολοκλήρωσης ( από 0 έως 2π) στο τέλος. Γιατί; Υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των σημείων του μοναδιαίου κύκλου και των διατεταγμένων ζευγών (x,y) για τα οποία ισχύει x⌃2+y⌃2=1 (1) . Σε κάθε σημείο του μοναδιαίου κύκλου αντιστοιχεί και ένα διατεταγμένο ζεύγος (x,y) για το οποίο ισχύει η (1) και αντίστροφα. Στον μοναδιαίο κύκλο είναι x=συνt και y=ημt. Θα πρέπει σε κάθε τιμή του t να αντιστοιχεί ένα μόνο σημείο του μοναδιαίου κύκλου και αντίστροφα. Για να συμβαίνει αυτό θα πρέπει 0≤t<2π , t⋴[0,2π) και όχι 0≤t≤2π όπως αναφέρει ο Γιάννης Φιορεντίνος. Γιατί; Διότι αν το t έπαιρνε και τη τιμή t=2π τότε το σημείο (x,y)=(ημt, συνt)= (0,1) θα αντιστοιχούσε σε δύο τιμές του t: Την t=0 και την t=2π: Για να είναι ο μοναδιαίος κύκλος μια κλειστή διαδρομή πρέπει τα όρια ολοκλήρωσης να είναι από t1 έως t1 , όπου t1 μια τυχαία τιμή του t . Τότε το έργο της «F του D’ Alembert» κατά μήκος μιας κλειστής διαδρομής επί του μοναδιαίου κύκλου είναι ίσο με μηδέν! Σε πλήρη συμφωνία με τα εν λόγω βιβλία! Συνεπώς «το πεδίο του D’ Alembert» προέρχεται από δυναμική ενέργεια. Σύμφωνα με τον παραπάνω συλλογισμό η αντίφαση που αναδείχθηκε σε αυτήν εδώ τη δημοσίευση αίρεται και το εν λόγω παράδειγμα δεν καταρρίπτει την αναγκαία και ικανή συνθήκη, αλλά την επιβεβαιώνει! Και επειδή έγινε πολύς λόγος περί συνεκτικότητας , σύμφωνα με τον Ι. Χατζηδημητρίου η πρόταση που απαιτεί την επιπλέον προϋπόθεση της συνεκτικότητας του τόπου είναι η εξής: «Αν το έργο της F κατά μήκος τυχούσας κλειστής διαδρομής σε συνεκτικό τόπο είναι μηδέν , η δύναμη F προέρχεται από δυναμικό». Δείτε τη παράγραφο 2.7 .
Γιώργο εξακολουθώ να μην το καταλαβαίνω, κάτι χάνω.
Το t στις παραμετρικές σου εξισώσεις έχει διαστάσεις γωνίας, η δική μου θ. Μόλις έδειξα παραπάνω γιατί το κλειστό “εργο” δεν είναι μηδέν.
Γράψε σε παρακαλώ τον υπολογισμό, στην συγκεκριμένη περίπτωση D’ Alembert, που δίνει έργο μηδέν σε κλειστή διαδρομή. Ποια είναι η δυναμική ενέργεια για παράδειγμα, χρησιμοποιείς;
Στάθη, η βασική διαφωνία μου είναι ότι το σημείο (1,0) αντιστοιχεί σε ΜΙΑ ΜΟΝΟ τιμή του t ή του θ αν θέλεις. Την τιμή t=0 . Αυτό ισχύει για κάθε σημείο του μοναδιαίου κύκλου. Οπότε όταν ένα κινούμενο υλικό σημείο περάσει για 2η φορά από αυτό το σημείο η τιμή του t είναι πάλι μηδέν και όχι 2π. Γιατί το t καθορίζει μονοσήμαντα τις συντεταγμένες x και y των διαφόρων σημείων του μοναδιαίου κύκλου (x=cos(t), y=sin(t)).
Στάθη αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος για τη δυναμική ενέργεια ισχύει:U=arctan(y/x)-arctan(x/y) .
Στον υπολογισμό που έκανα δεν χρησιμοποίησα γωνία και έβγαλα πάλι 2π. Δεν βλέπω λάθος στον υπολογισμό.
Γιώργο δεν ολοκληρώνεις σε κλειστή διαδρομή, δεν υπολογίζεις κυκλοφορία. Βάζεις το ίδιο άνω και κάτω άκρο ολοκλήρωσης. Έτσι όλα τα ολοκληρώματα βγαίνουν μηδέν.
Στάθη εφόσον το επικαμπυλιο ολοκλήρωμα καταλήγει να είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής t της f(t)=1 στη προκειμένη περίπτωση και δεν καταλήγει εκβιαστικά αλλά με λογικά βήματα δεν καταλαβαίνω που είναι το πρόβλημα. Άλλωστε με το Γιάννη Φιορεντινο που κανείς μέχρι τώρα δεν διαφωνούσε τα ίδια ακριβώς βήματα κάνουμε.Απλως αυτός ολοκληρώνει τη μοναδιαία συνάρτηση από μηδέν έως 2π Μήπως αυτός ο λογικός μετασχηματισμός του επικαμπυλιου ολοκληρώματος υποδηλώνει ακριβώς το γεγονός ότι αυτή η δύναμη προέρχεται από δυναμική ενέργεια σύμφωνα και με την πολυαναφερθεισα αναγκαία και ικανή συνθήκη;.
Δηλαδή:
Ας υπολογίσουμε το μήκος κύκλου ακτίνας R:
Γιώργο ο Γιάννης Φιορεντίνος ολοκληρώνει πάνω στον μοναδιαίο κύκλο, στην κλειστή διαδρομή από το σημείο Α1(r=1,θ=0) έως το σημείο Α2(r=1,θ=2π). Χωρικά τα δύο σημεία συμπίπτουν στις καρτεσιανές συντεταγμένες (x=1,y=0). Εξού και τα άκρα ολοκλήρωσής του 0 και 2π.
Εσύ δεν ολοκληρώνεις σε μία διαδρομή. Βρίσκεσαι συνεχώς στο τυχαίο σημείο Β(r=1,θ=t1). Εξού και το ίδιο άκρο ολοκλήρωσης t1. Αν όριζες κλειστή διαδρομή εκκινώντας από το Β θα κατέλειγες στο σημείο Β'(r=1,θ=t1+2π) με τις ίδιες καρτεσιανές συντεταγμένες.
Καλησπέρα σε όλους.
Γιώργο καλησπέρα. Συμφωνώ με τα τα γραφόμενα του Γιάννη και του Στάθη!
Αν πάρουμε για κλειστή διαδρομή το μοναδιαίο κύκλο με κέντρο το (0,0) και ξεκινήσουμε από το σημείο (1,0) με φορά π.χ. αντίθετη της φοράς των δεικτών του ρολογιού, πρέπει να καταλήξουμε επίσης στο (1,0) (κλειστή διαδρομή). Το σημείο είναι το ίδιο! Όμως με την παραμετροποίηση που κάνουμε στο (1,0) αντιστοιχούν οι χρονικές στιγμές 0 (αρχή της διαδρομής) και 2π (τέλος της διαδρομής).
Αν παρ’ όλα αυτά εξακολουθείς να διαφωνείς κάνε το εξής: Πάρε σαν άνω όριο του ολοκληρώματος το 2π-ε. Στη συνέχεια βρες το ολοκλήρωμα. Ακολούθως πάρε το όριο του ολοκληρώματος για ε να τείνει στο μηδέν.
Μια διορθωση στο προηγούμενο σχόλιό μου. Η αναφορά σε “χρονική στιγμή” ήταν ατυχής! Η παράμετρος t αντιστοιχεί σε γωνία (rad) και όχι χρόνο!
Στάθη, Γιάννη Κ. , Γιάννη Φ. . Είναι λογική η σκέψη σας. Αυτό με προβληματίζει. Θα το ξαναδώ. Σκέφτομαι πως είναι δυνατο τόσο έγκυρα Πανεπιστημιακά συγγράμματα να χαρακτηρίζουν τη συνθήκη αυτή αναγκαία και ικανή χωρίς καμμία προϋπόθεση και να μην ισχύει σε κάθε περίπτωση … Καλό σας βράδυ.
Καλό βράδυ Γιώργο.
Γιώργο το… παρακάνουμε και εμείς στην λεπτομέρεια. Επίσης καλό βράδυ.