by 
Μία σφαίρα Σ1 και μάζας m1 κινείται χωρίς να περιστρέφεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγμή, συγκρούεται ελαστικά αλλά όχι κεντρικά με μία άλλη λεία σφαίρα Σ2 και μάζας m2, η οποία ήταν αρχικά ακίνητη.
Εάν οι ταχύτητες των σφαιρών αμέσως μετά την κρούση σχηματίζουν την ίδια γωνία θ με την αρχική διεύθυνση κίνησης της σφαίρας Σ1, να υπολογίσετε το λόγο των μαζών των σφαιρών m1/m2.
Η συνέχεια εδώ.
Γεια σου Μίλτο, πολύ όμορφη ανάρτηση! Το ότι δεν μπορεί η γωνία θ να είναι μεγαλύτερη των 60⁰ φαίνεται στην γραφική αλλά προκύπτει και από την σχέση
m₁/m₂ = 4συν²θ – 1, όμως m₁/m₂ ≥ 0 (τείνει με μηδέν όταν m₂ πολύ μεγαλύτερο του m₁). Από τις 2 τελευταίες σχέσεις προκύπτει 4συν²θ – 1 ≥ 0 ⇒ συν²θ ≥ 1/4 ⇒
συνθ ≥ 1/2 δεκτή, άρα θ ≤ 60⁰ ή
συνθ ≤ – 1/2 απορρίπτεται λόγω Α.Δ.Ο. αφού θ ≥ 120⁰.
Ο ίδιος περιορισμός στην τιμή των γωνιών εμφανίζεται και στο φαινόμενο της σκέδασης Compton όταν η γωνία σκέδασης φ του φωτονίου είναι ίση με την γωνία ανάκρουσης θ του ηλεκτρονίου.
Η απόδειξη αυτού που ανέφερα.
Καλησπέρα .
Μίλτο ενδιαφέρουσα η άσκηση σου , οι πλάγιες κρούσεις μπορουν να δώσουν αρκετά καλά θέματα.
Παύλο είδα και τη δική σου ανάλυση. Εκτιμώ ότι πρέπει να προσεχθει λίγο το θέμα των άκρων . Αφου θελουμε μη κεντρικη κρουση θα πρέπει Θ>0 , επίσης (m1/m2)>0 γιατι η ισότητα με το μηδεν έχει ως αποτέλεσμα η m2 να παραμείνει ακίνητη κάτι το οποίο είναι μη συμβατο με την εκφωνηση.
Επομένως το πεδίο ορισμου για την γωνία Θ είναι 0<Θ<60 και 0<2Θ<120
τότε το πεδιο τιμων για το λόγο m1/m2 θα είναι : 0< m1/m2 < 3
Ανεβάζω μια διαφορετικη λύση που οδηγει σε γραφικη παρασταση ευθειας που είναι πιο εύκολα διαχειρίσιμη …
Γεια σου Κώστα. Έχεις δίκιο για τα όρια δεν εκμεταλλεύτηκα το δεδομένο της μη κεντρικής κρούσης, σε ευχαριστώ για την παρατήρηση. Πολύ ωραία η διερεύνηση που έκανες , να είσαι καλά!
Καλό απόγευμα Μίλτο και σε ευχαριστούμε για το ωραίο θέμα που ανέβασες!
Η αξία του επιβεβαιώνεται από την άμεση αντίδραση Παύλου και Κώστα ( γεια σας παιδιά) να πρσθέσουν εναλλακτικές αποδείξεις…
Γεια σας παιδιά. Ωραίο θέμα Μίλτο και ενδιαφέρουσες οι προσεγγίσεις του Παύλου και του Κώστα.
Ζύγιση με μοιρογνωμόνιο! Ανατρεπτική! Τέτοιες θέλουμε!
Χαιρετώ όλη την παρέα. Παύλο, Κώστα, Διονύση, Αποστόλη και Ανδρέα, σας ευχαριστώ για το σχολιασμό και τις επεκτάσεις και τις διαφορετικές προσεγγίσεις!
Ναι και από το σχόλιό μου στη λύση προσπαθώ να μιλήσω για όριο όταν θ -> 0 και όχι για τιμή, θεωρώντας θ>0 ώστε να μην είναι κεντρική. Δίνει πολύ καθαρά ο Κώστας το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης:
“Επομένως το πεδίο ορισμου για την γωνία Θ είναι 0<Θ<60 και 0<2Θ<120
τότε το πεδιο τιμων για το λόγο m1/m2 θα είναι : 0< m1/m2 < 3“
Επίσης, εάν κάποιος χρησιμοποιήσει την ταυτότητα συν2θ = 2συν^2 θ -1, οι δύο σχέσεις είναι ταυτόσημες.
Ανδρέα δεν θα τη χαρακτήριζα “ανατρεπτική”, αλλά χαίρομαι που σου άρεσε!
Γεια σου Μίλτο, πολύ ωραίο το θεμα σου-αφορμή και οι επεκτάεις του Παύλου και του Κώστα.
Το αποτέλεσμα μια πλούσια βαθειά ματιά στο φαινόμενο.
Καλημέρα Άρη. Ευχαριστώ για το σχολιασμό, να είσαι καλά!
Οι επεκτάσεις, οι διαφορετικές προσεγγίσεις και οι συνεργασίες σίγουρα χαρακτηρίζουν το δίκτυο!
Πολύ καλή μελέτη, μου άρεσε η διερεύνηση που κάνεις.
Καλησπέρα Θανάση. Ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια. Χαρά μου να αξιοποιηθεί κιόλας!