by 
Τα σώματα Α και Β του σχήματος με μάζες αντίστοιχα mΑ = m και mΒ = 2m αντίστοιχα, συνδέονται με ελατήριο σταθεράς k και τοποθετούνται σε λεία οριζόντια επιφάνεια, με το Α εφαπτόμενο στον κατακόρυφο τοίχο. Ασκούμε οριζόντια δύναμη μέτρου F, που σπρώχνει το σώμα B προς τα αριστερά, με αποτέλεσμα το σύστημα να ισορροπεί και στο ελατήριο να έχει αποθηκευτεί ελαστική δυναμική ενέργεια U.
i) Το μέτρο της δύναμης F πρέπει να είναι
α) F = √(2kU) β) F = (1/2) √(2kU) γ) F = (3/2) √(2kU)
Τη χρονική στιγμή t0 = 0 καταργούμε ακαριαία τη δύναμη .
ii) Να εξηγήσετε γιατί η επαφή του σώματος Α με τον τοίχο χάνεται κάποια χρονική στιγμή t1 όταν το ελατήριο αποκτήσει το φυσικό μήκος του.
iii) Α) Η χρονική στιγμή t1 είναι
α) t1 = π√(2m/k) β) t1 = 0,5π√(2m/k) γ) t1 = π√(m/k)
Β) Η ταχύτητα του σώματος Β τη χρονική στιγμή t1 έχει μέτρο
α) υmax = √(U/2m) β) υmax = √(2U/m) γ) υmax = √(U/m)
iv) Να αποδείξετε ότι το ελατήριο αποκτά τη μέγιστη δυναμική ενέργειά του κάποια χρονική στιγμή t2, όταν τα μέτρα των ταχυτήτων των δυο σωμάτων εξισωθούν.
v) Η κοινή ταχύτητα που αποκτούν τα δύο σώματα τη χρονική στιγμή t2 έχει μέτρο
α) u = √U/m β) u = (2/3) √U/m γ) u = (3/2) √U/m
vi) Η μέγιστη ελαστική δυναμική ενέργεια U1 του ελατηρίου, μετά την απομάκρυνση του σώματος Α από τον τοίχο είναι:
α) U1 = U β) U1 = U/2 γ) U1 = U/3
Ανδρέα τέτοια είδους συστήματα παντα δημιουργουν ωραίους προβληματισμούς για το πως εξελίσσεται η κίνηση των σωματων. Βασικά εργαλεία η ΑΔΟ και η ΑΔΜΕ.
Πολύ διεξοδικές οι τοποθετήσεις των συναδέλφων σχετικά με το τι θα συμβεί στην κίνηση το σώματος Α .
Βρήκα χρόνο και έκανα μια μελετη του θεματος που δείχνει το εύρος τιμών των ταχυτήτων για το κάθε σώμα . Ειναι προφανες ότι καθε μας ερώτηση – σκέψη μπορούμε να κάνουμε χρήση της ΑΔΟ και της ΑΔΜΕ για να καταληξουμε σε κάποιο αποτελέσμα που είναι δυνατόν να συμβεί ή είναι αδύνατον.
Καλημέρα Κώστα. Σε ευχαριστώ για τη συμμετοχή. Η ανάλυσή σου εξαιρετική. Όταν το ελατήριο έχει ΔL = 0, βλέπουμε να προκύπτουν οι σχέσεις των ταχυτήτων της ελαστικής κρούσης, όπως είπε και ο Κωνσταντίνος.
Όταν το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος
Α΄φορά: υΑ = 0 και υΒ = υmax
Β΄φορά: υΑ = 4/3 υmax και υΒ = 1/3υmax
Γ΄φορά: υΑ = 0 και υΒ = υmax κ.λ.π.
Όταν το ελατήριο έχει τη μέγιστη επιμήκυνση
υΑ = υΒ = u = 2/3υmax
Καλησπέρα κ. Ριζόπουλε, πολύ ωραίο θέμα!
Κάποιες χρονικές εξισώσεις:
Και, κάποια διαγράμματα για ταχύτητες και μήκος ελατηρίου:
Καλημέρα Ανδρέα .
Θα έλεγα πως έχετε συνεννοηθεί με το Διονύση ως προς τη δομή των ερωτήσεων στα μοντέλα σας και ομολογώ τη θετική εκτίμησή μου!
Καλή βδομάδα
Ανδρέα θα συμφωνήσω και εγώ πως η άσκηση είναι εξαιρετική.
Μία παρατήρηση-ιδιοτροπία δική μου:
ii) Να εξηγήσετε γιατί η επαφή του σώματος Α με τον τοίχο χάνεται κάποια χρονική στιγμή t1
όταν το ελατήριο αποκτήσειτο φυσικό μήκος του.θα το έγραφα
ii) Να εξηγήσετε γιατί η επαφή του σώματος Α με τον τοίχο χάνεται αμέσως μετά την χρονική στιγμή t1 , κατά την οποία το ελατήριο αποκτά το φυσικό μήκος του.
Τη στιγμή που το ελατήριο αποκτά το φμ του, το Α έχει μηδενική ταχύτητα υ=0 και δέχεται ΣF=0, οπότε δεν αρχίζει να κινείται, κάτι που θα συμβεί την αμέσως επόμενη στιγμή όπου θα δεχτεί ΣF=Fελ και θα αποκτήσει επιτάχυνση μη μηδενική
Kαλημερα σε ολους. Θοδωρη δεν συμφωνω. Οταν ενα αρχικα ακινητο σωμα αρχιζει να κινειται,η εναρξη της κινησης ειναι ενα γεγονος το οποιο συμβαινει μια συγκεκριμενη χρονικη στιγμη.Αναγκαστικα την στιγμη αυτη πρεπει η ταχυτητα του σωματος να ειναι μηδεν! Γιατι; Διοτι αν δεν ηταν μηδεν τοτε μπορω να βρω μια αλλη μικροτερη χρονικη στιγμη τετοια ωστε η ταχυτητα επισης να μην ειναι μηδεν.Δεν υπαρχει αμεσως επομενη χρονικη στιγμη οπως λες. Αυτες οι εκφρασεις με το ” αμεσως επομενη ” χρησιμοποιουνται οταν ενα μεγεθος δεν οριζεται καποια χρονικη στιγμη,οπως πχ οταν κοβουμε ενα νημα ενος κρεμασμενου σωματος και θελουμε την επιταχυνση,η οποια την χρονικη στιγμη κοψιματος του νηματος δεν οριζεται.
Πως οριζεται η χρονικη στιγμη εναρξης της κινησης; Εγω για να ειναι σωστα αυτα που γραφω την οριζω ως εξης:
“Ενα αρχικα ακινητο σωμα αρχιζει να κινειται την χρονικη στιγμη t,αν υ=0 την χρονικη στιγμη t και αν υπαρχει ε>0 τετοιο ωστε υ οχι μηδεν.για καθε χρονικη στιγμη μεταξυ της t και της t+ε”
Εσυ πως την οριζεις: Xωρις μαθηματικα αν μας ρωτησει ενας μαθητης ακομα και Γυμνασιου τι σημαινει οτι ενα σωμα ξεκιναει να κινειται τι νομιζεις οτι πρεπει να πουμε;
Σχετικα με το χασιμο της επαφης,αυτη επισης ειναι ενα γεγονος το οποιο συμβαινει την ιδια χρονικη στιγμη με την εναρξη της κινησης δηλαδη την χρονικη στιγμη κατά την οποία το ελατήριο αποκτά το φυσικό μήκος του και οχι αμεσως μετα οπως λες.
Εχουμε κανει ολοκληρη συζητηση εδω με Κυριακόπουλο και Μητρόπουλο και Κουντούρη,η οποια αποτελει σεμιναριο λογικης κατα την γνωμη μου. H Audrey θέλει να ξέρει την επιτάχυνση.
Ένα σώμα αρχίζει να κινείται έχοντας υ=0 προφανώς, εφόσον όμως έχει επιτάχυνση
διάφορη από το μηδέν. Αυτό κατανοώ, αυτό διδάσκω.
Τη στιγμή που το ελατήριο αποκτά το φυσικό μήκος του δεν ασκείται δύναμη στον οριζόντιο άξονα. Μηδενική επιτάχυνση και για τα δύο σώματα.
Το Β έχει μέγιστη ταχύτητα γιατί μέχρι τότε εκτελούσε επιταχυνόμενη κίνηση,
το Α ήταν και παραμένει ακίνητο σε επαφή με τον τοίχο.
Αν η εξέταση του φαινομένου σταματούσε τη στιγμή αυτή (ξαφνικός θάνατος)
το σώμα δεν θα έχανε επαφή με τον τοίχο.
Επειδή όμως η εξέταση συνεχίζεται, η επαφή θα χαθεί την αμέσως επόμενη στιγμή.
Ξέχασα να σε καλημερίσω Κωνσταντίνε, επειδή βιάζομαι
Καλημέρα παιδιά.
Η συζήτηση δεν κατέληξε τότε, δεν θα καταλήξει και τώρα.
Αν δεν ορίζεται επιτάχυνση τη στιγμή μηδέν, δεν ορίζεται ούτε δύναμη. Δηλαδή δεν υπάρχει αλληλεπίδραση τη στιγμή μηδέν!!
Όταν ο ένας εννοεί με το “επαφή” την Γεωμετρική επαφή και ο άλλος την ύπαρξη δύναμης μεταξύ των σωμάτων, τα περιθώρια συνεννόησης στενεύουν.
Είναι σαν τα “κουράδια” από τη Βαβυλωνία του Δ. Βυζαντίου.
Γεια σου Γιάννη. Εδω μλαμε για κατι μαλλον πιο απλο. Πως οριζεται η χρονικη στιγμη κατα την οποια ξεκιναει να κινειται ενα σωμα? Την στιγμη αυτη πρεπει αναγκαστικα η ταχυτητα του να ειναι μηδεν λεω εγω. Και αυτο ισχυει και στην περιπτωση οπου η επιταχυνση του ειναι μηδεν. Εδωσα ορισμο πιο πανω σε σχολιο μου.Παρε το πιο κατω σχημα.Αν υποθεσουμε οτι η κρουση συμβαινει την χρονικη στιγμη μηδεν,τοτε ποια χρονικη στιγμη ξεκινανε να κινουνται τα σωματα? Και τα δυο την ιδια χρονικη στιγμη μηδεν λεω εγω. Αν καποιος υποστηριξει οτι το Β αρχιζει να κινειται λιγο αργοτερα μπορει να μου δωσει χρονικη στιγμη με νουμερο? Επομενη χρονικη στιγμη δεν υπαρχει.
Ο Θοδωρης απ οτι καταλαβα, αν δεις και το σχολιο του, ταυτισε την χρονικη στιγμη απωλειας επαφης,με την χρονικη στιγμη εναρξης της κινησεως και σε αυτο συμφωνω απολυτα μαζι του. Αρα η διαφωνια δεν βρισκεται στο τι εννοουμε με το “επαφη.” Αν δεις και το προτελευταιο του σχολιο στην εκτη σελιδα των σχολιων εδω:
Όχι δεν είναι οριζόντια βολή θα δεις οτι δεν διαφωνουμε στο τι ειναι επαφη. Η διαφωνια μας ειναι στο ποτε ειναι η εναρξη της κινησεως.
Eιναι καθαρα θεμα κινηματικης. Δεν εχει σχεση με δυναμεις. Το ειχαμε συζητησει μαζι και στην Όντρευ
Καλησπέρα Θοδωρή, Κωνσταντίνε, Γιάννη. Θοδωρή σε ευχαριστώ. Έθεσες μια λεπτομέρεια, που απάντησαν ο Κωνσταντίνος και ο Γιάννης. Τι σκέφτομαι:
Ένα σώμα έστω ότι κάνει ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση θετικής φοράς.
υ = αt
Για t = 0, υ = 0, δεν κινείται. Η t = 0 είναι η στιγμή που ξεκινά η αιτία που θα προκαλέσει κίνηση, αλλά το σώμα δεν έχει αποκτήσει ακόμη ταχύτητα.
Για οποιαδήποτε t > 0, υ > 0, έχει ήδη αρχίσει να κινείται.
Η έναρξη της κίνησης είναι οριακή κατάσταση. Όταν δηλαδή
lim [(t —> 0) υ(t)] > 0.
Συμφωνώ δηλαδή με το Θοδωρή.
Η κίνηση ξεκινά τη στιγμή όπου η ταχύτητα αποκτά μη μηδενική τιμή (υ ≠ 0)
Καλησπερα Ανδρεα. Αν υ=αt ,η μικροτερη χρονικη στιγμη στην οποια αναφερεσαι,κατα την οποια η ταχυτητα αποκταει μη μηδενικη τιμη,δεν υπαρχει. Η κινηση ξεκιναει την στιγμη μηδεν διοτι καθε αλλη χρονικη στιγμη,οσο κοντα στο μηδεν και να ειναι,το σωμα κινειται. Αυτη ειναι η μονη ορισμενη χρονικη στιγμη που ειναι λογικη απαντηση,αλλοιως το ερωτημα “πότε ξεκιναει η κινηση” δεν εχει νοημα.
Επισης την στιγμη που ξεκιναει το σωμα η επιταχυνση του ειναι μηδεν ,αυτο λενε τα Μαθηματικα.
Εν παση περιπτωσει αυτου του τυπου οι διαφωνιες οπως ειπε και ο Γιαννης δεν καταληγουν καπου,οσο και να συζηταμε δεν θα βγαλουμε ακρη.
Καλησπέρα παιδιά.
Θα διαφωνήσω και με τους δύο.
Με τον Ανδρέα διότι μηδενική ταχύτητα δεν σημαίνει ότι δεν κινείται.
Ένας ταλαντωτής κινείται συνεχώς, άσχετα αν κάποιες στιγμές έχει μηδενική ταχύτητα.
Με τον Κωνσταντίνο διότι η επιτάχυνση τη στιγμή μηδέν είναι ίση με το πηλίκο της δύναμης που δέχεται προς τη μάζα του. Έτσι θα καταλήγαμε στο ότι τη στιγμή μηδέν δεν ασκείται δύναμη, κάτι αυθαίρετο.
Καλησπερα Γιαννη. Αναφερομουνα σε ενα αρχικα για καποιο χρονικο διαστημα ακινητο σωμα το οποιο καποια στιγμη ξεκιναει να κινειται. Στον πραγματικο κοσμο και η επιταχυνση και η δυναμη την στιγμη που ξεκιναει ειναι μηδεν. Να σε ρωτησω. Πως οριζεις την κινηση?
Τι σημαινει Μαθηματικα οτι ενα σωμα κινειται? Θα πρεπει να δωσουμε τον ιδιο ορισμο για να μπορουμε να συζηταμε.
Ωραία.
Τη στιγμή μηδέν αφήνουμε να πέσει ένα σώμα. Τη στιγμή μηδέν δέχεται το βάρος του και κινείται με επιτάχυνση g.
Το σώμα κινείται στο χρονικό διάστημα που μεσολαβεί από τη στιγμή που το αφήσαμε ως τη στιγμή που ακινητοποιείται στο πάτωμα.
Ένα σώμα είναι στερεωμένο σε ελατήριο τεντωμένο και το κρατάμε.
Τη στιγμή μηδέν το αφήνουμε. Κινείται συνέχεια άσχετα αν κάποιες στιγμές μηδενίζεται η ταχύτητά του.