by .png)
Στη σχολική Φυσική του Λυκείου είναι χρήσιμο να κάνουμε μια καθαρή διάκριση ανάμεσα σε καταστατικές μεταβλητές και μεταβλητές μεταβολής/διαδρομής.
Καταστατικές μεταβλητές (ή συναρτήσεις κατάστασης) είναι μεγέθη των οποίων η τιμή καθορίζεται από την κατάσταση στην οποία βρίσκεται το σύστημα και όχι από το πώς έφτασε εκεί.
Στο επίπεδο του Λυκείου συναντάμε κυρίως:
- πίεση (p), όγκο (V), θερμοκρασία (T), ποσότητα ύλης (n) ως μεταβλητές που περιγράφουν τη θερμοδυναμική κατάσταση,
- εσωτερική ενέργεια (U),
- κινητική ενέργεια (K),
- δυναμική ενέργεια (U) όταν αυτή μπορεί να οριστεί,
- μηχανική ενέργεια (E=K+U)
Για δύο δεδομένες καταστάσεις Α και Β, π.χ: ΔUAB = UB – UA
η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας είναι ίδια ανεξάρτητα από τη διαδικασία Α→Β.
Αντίθετα, μεγέθη μεταβολής ή διαδρομής είναι εκείνα που δεν χαρακτηρίζουν μια κατάσταση του συστήματος αλλά χαρακτηρίζουν μια διαδικασία μεταξύ δύο καταστάσεων. Εξ αυτών διδάσκουμε το έργο W και τη θερμότητα Q.
Δεν έχει νόημα να πούμε «το σύστημα έχει έργο 20 J» ή «έχει θερμότητα 20 J». Έχει ενέργεια, αλλά ενέργεια μεταφέρεται μέσω έργου ή θερμότητας.
Σε αρκετές μορφές ενέργειας, η απόλυτη τιμή εξαρτάται από μια αυθαίρετη επιλογή επιπέδου αναφοράς. Γι’ αυτό στα φυσικά φαινόμενα συνήθως ενδιαφερόμαστε για τη μεταβολή της ενέργειας, η οποία δεν εξαρτάται από αυτή την επιλογή.
Άρα το φυσικό αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από τη «λογιστική» επιλογή του μηδενός.
ΠΡΟΣΟΧΗ
Δεν πρέπει να συνδέουμε γενικά την έννοια «καταστατική μεταβλητή» με την έννοια «αυθαίρετο επίπεδο αναφοράς».
Γιατί δεν ισχύει για όλες τις καταστατικές μεταβλητές. Η πίεση, ο όγκος και η θερμοκρασία είναι μεταβλητές κατάστασης, αλλά δεν τις αντιμετωπίζουμε όπως τη δυναμική ενέργεια.
Ακόμη και μεταξύ των ενεργειακών μεγεθών υπάρχουν λεπτές διαφορές.
Ανακεφαλαιωση
- Καταστατικό μέγεθος: η μεταβολή του μεταξύ Α και Β καθορίζεται από τις δύο καταστάσεις και όχι από τη διαδρομή: ΔE=EB – EA
- Επιλογή μηδενικού: για ορισμένα καταστατικά ενεργειακά μεγέθη, όπως η δυναμική ενέργεια, μπορούμε να επιλέξουμε αυθαίρετα πού θα θέσουμε (U=0). Επομένως ιδιαίτερη φυσική σημασία έχουν οι μεταβολές ΔUAB = UB – UA , η τιμή των οποίων δεν εξαρτάται από το επίπεδο μηδενικής τιμής του μεγέθους.
Αυτές είναι δύο διαφορετικές έννοιες που συχνά συμπίπτουν στα σχολικά παραδείγματα, και γι’ αυτό υπάρχει κίνδυνος να συγχωνευθούν στο μυαλό του μαθητή.
Προσωπικά θα απέφευγα το:
«Η δυναμική ενέργεια δεν έχει αξία, μόνο η μεταβολή της έχει.»
και θα προτιμούσα:
Η τιμή της δυναμικής ενέργειας αποκτά νόημα αφού δηλώσουμε το επίπεδο αναφοράς.
Η μεταβολή της, αντίθετα, δεν εξαρτάται από το ποιο επίπεδο αναφοράς επιλέξαμε.
Αυτή η διατύπωση κάνει κάτι πολύ σημαντικό: δεν απαξιώνει την τιμή. Το (U=50J) έχει απολύτως νόημα, εφόσον έχει συμφωνηθεί ποιο είναι το (U=0). Απλώς δεν είναι αναλλοίωτο ως προς την επιλογή αναφοράς.
Θοδωρή καλησπέρα.
Το κείμενο αναφέρει: “Ένα σώμα ή σύστημα έχει κινητική K, δυναμική U, οι οποίες αθροιζόμενες δίνουν τη μηχανική ενέργεια: E=K+U.”
Διαφωνώ: Ένα σώμα μόνο του δεν μπορεί να έχει δυναμική ενέργεια και να διατηρείται η μηχανική ενέργειά του, διότι δεν είναι απομονωμένο. Ασκείται πάνω του η διατηρητική δύναμη, που είναι εξωτερική.
Αγαπητέ Ανδρέα, ευχαριστώ για την επισήμανση. Σε ένα αυστηρότερο επίπεδο διατύπωσης, ασφαλώς η δυναμική ενέργεια συνδέεται με την αλληλεπίδραση και αποδίδεται στο αντίστοιχο σύστημα και όχι σε ένα απομονωμένο σώμα.
Ευτυχώς, όμως, το κείμενο απευθύνεται σε μαθητές Λυκείου και όχι σε επιτροπή οριστικοποίησης της ορολογίας της Κλασικής Μηχανικής. Γι’ αυτό χρησιμοποιεί τη συνήθη σχολική διατύπωση «η δυναμική ενέργεια του σώματος», με το σύστημα αναφοράς και την αντίστοιχη αλληλεπίδραση να θεωρούνται δεδομένα από τα συμφραζόμενα.
Άλλωστε, αν απαιτούσαμε σε κάθε σχολική αναφορά στη σχέση (U=mgh) να προηγείται η διευκρίνιση ότι πρόκειται για δυναμική ενέργεια του συστήματος σώμα–Γη και όχι ιδιότητα του απομονωμένου σώματος, θα κερδίζαμε ασφαλώς σε τυπική αυστηρότητα, όμως δεν είμαι καθόλου βέβαιος ότι θα κερδίζαμε και σε Φυσική μέσα στο μυαλό του μαθητή.
Το ουσιαστικό αντικείμενο του άρθρου είναι άλλο: η διάκριση ανάμεσα σε μέγεθος που χαρακτηρίζει μια κατάσταση, μεταβολή αυτού του μεγέθους και μέγεθος που χαρακτηρίζει τη διαδικασία μετάβασης.
Αν υπάρχει ένσταση πάνω σε αυτή τη διάκριση, αυτή θα είχε πραγματικό ενδιαφέρον να συζητηθεί.
Καλημερα Θοδωρη και Ανδρεα.Δεν εχω διαβασει ακομα την παρουσιαση.Απλως οταν την ανοιξα επεσε το ματι μου στην πανω δεξια εικονιτσα που λεει διαστημα s (μηκος τροχιας). Αυτα τα δυο,δηλαδη το μηκος τροχιας και το διανυομενο διαστημα,με βαση τον ορισμο της τροχιας που εχω υπ οψιν μου και που βλεπω παντου και στο σχολικο και αλλου,δεν ειναι το ιδιο πραγμα. Ολα τα βιβλια γραφουν οτι τροχια ειναι ο γεωμετρικος τοπος των θεσεων απο τις οποιες περναει ενα σημειακο σωμα καθως κινειται. Ή το συνολο των σημειων απο τα οποια περναει το κινητο. Η το ιχνος που αφηνει το κινητο καθως κινειται.Ή (Σχολικο Α Λυκειου) το συνολο των διαδοχικων θεσεων απο τις οποιες διερχεται το σωμα. ‘Η κλπ κλπ οπου ολα αυτα σημαινουν το ιδιο πραγμα. Δεν εχω υπ οψιν μου αλλον ορισμο ουτε εχω δει κατι αλλο σε σχολικο βιβλιο. Αν μου διαφευγει κατι πειτε μου.
Με βαση αυτον τον ορισμο λοιπον η τροχια ειναι μια καμπυλη και το μηκος της τροχιας ειναι το μηκος αυτης της καμπυλης. Καμπυλη με την γενικη της μαθηματικη εννοια,οπου και οι ευθειες καμπυλες ειναι. Αρα αν ενα σωμα κανει κυκλικη κινηση και εχει κανει 10 κυκλους,η τροχια ειναι ενας κυκλος διοτι τα σημεια απο τα οποια περασε αποτελουν ενα κυκλο,οχι 10 κυκλους και επομενως το μηκος της τροχιας ισουται με το μηκος του κυκλου.Δεν αλλαζει η τροχια καθως το σωμα γυρναει γυρω γυρω διοτι περναει απο τα ιδια σημεια. Το διανυομενο διαστημα ομως ειναι 10 φορες το μηκος του κυκλου. Στην ΑΑΤ αν το σωμα κανει μια πληρη ταλαντωση,το μηκος της τροχιας ειναι διπλασιο του πλατους,αφου η τροχια ειναι ενα ευθυγραμμο τμημα με μηκος το διπλασιο του πλατους,διοτι το συνολο των θεσεων απο τις οποιες περασε,αποτελουν αυτο το ευθυγραμμο τμημα,ενω το διανυομενο διαστημα ειναι τετραπλασιο του πλατους. Αυτα βεβαιως ειναι τελειως προφανη και συνεπη με τον ορισμο της τροχιας που διδασκεται στα σχολεια. Για να ειναι το μηκος τροχιας ισο με το διανυομενο διαστημα,θα πρεπει ο ορισμος της τροχιας να ειναι αλλος. Ποιος ειναι αυτος;
Οπως εχω πει και για την ΑΑΤ δεν εχουμε το δικαιωμα να διδασκουμε άλλους ορισμους απο αυτους του σχολικου και να βγαζουμε δικα μας. Απαγορευεται.
Θοδωρή καλημέρα.
Ο ισχυρισμός ότι ένα απομονωμένο σώμα μπορεί να έχει δυναμική ενέργεια” δεν είναι μια λιγότερο αυστηρή διατύπωση. Πρόκειται για λανθασμένο ισχυρισμό: όταν μελετάμε την κίνηση ενός σώματος στο οποίο ασκείται συντηρητική κίνηση, το σώμα δεν είναι απομονωμένο, διότι η δύναμη που ασκείται πάνω του είναι εξωτερική. Άρα δεν διατηρείται η μηχανική ενέργειά του.
Κατά τα άλλα συμφωνώ απολύτως με την άποψή σου ότι θα πρέπει να λάμβάνουμε υπόψη μας ότι απευθυνόμαστε σε μαθητές Λυκείου. Από αυτή την άποψη, από το κείμενο που παραθέτεις θα πρέπει να παραληφθούν τα ολοκληρώματα, διότι διδάσκονται στο 2ο τετράμηνο της Γ’ Λυκείου και μόνο στους μαθητές του Θετικού Προσανατολισμού, δηλαδή καθόλου στους μαθητές των Επιστημών Υγείας.
Τέλος σε ένα γενικό κείμενο όπως αυτό που παραθέτεις πάντα υπάρχει ο κίνδυνος μέσα από τις γενικεύσεις να υπάρξουν αστοχίες, όπως αυτή που ανάφερα στην αρχή.
Αγαπητέ Ανδρέα, ευχαριστώ για τη δεύτερη επισήμανση. Νομίζω μάλιστα ότι μας βοηθά να ξεκαθαρίσουμε τι ακριβώς συζητάμε.
Δεν ισχυρίστηκα ότι «ένα απομονωμένο σώμα έχει δυναμική ενέργεια».
Αν αυτή ήταν η διατύπωσή μου, πράγματι θα ήταν λανθασμένη και όχι απλώς λιγότερο αυστηρή.
Η φράση που σχολιάστηκε από εσένα, ήταν η συνήθης σχολική έκφραση ότι
«ένα σώμα έχει δυναμική ενέργεια», όπου η ύπαρξη της αλληλεπίδρασης
σώμα–Γη, σώμα–ελατήριο κ.ο.κ.— είναι προφανώς προϋπόθεση για να μιλάμε εξαρχής για δυναμική ενέργεια.
Συμφωνούμε λοιπόν ότι, αν το ζητούμενο ήταν ένα κείμενο αυστηρής θεμελίωσης της έννοιας της δυναμικής ενέργειας, θα έπρεπε να μιλάμε συστηματικά για την ενέργεια του αντίστοιχου συστήματος.
Το συγκεκριμένο κείμενο, όμως, επιχειρεί κάτι διαφορετικό: να βοηθήσει μαθητές να διακρίνουν το «τι χαρακτηρίζει μια κατάσταση», το «τι μεταβάλλεται μεταξύ δύο καταστάσεων» και το «τι αφορά τη διαδικασία μετάβασης».
Όσο για τα ολοκληρώματα, ευχαριστώ επίσης για τη φροντίδα ως προς την ύλη.
Υποθέτω πάντως ότι μπορούμε να δείξουμε σε έναν μαθητή το σύμβολο, εξηγώντας λεκτικά τι εκφράζει, χωρίς προηγουμένως να απαιτήσουμε πιστοποιητικό επιτυχούς φοίτησης στο δεύτερο τετράμηνο του Θετικού Προσανατολισμού.
Άλλο «δεν έχει διδαχθεί ακόμη ο μαθηματικός υπολογισμός του ολοκληρώματος»
και άλλο «δεν επιτρέπεται να δει μια φυσική σχέση που το περιέχει».
Αν υιοθετούσαμε το δεύτερο ως γενική διδακτική αρχή, φοβάμαι ότι θα έπρεπε να αποσύρουμε αρκετές εικόνες, γραφικές παραστάσεις και φυσικές ιδέες μέχρι να εξασφαλίσουμε ότι έχει προηγηθεί όλο το απαιτούμενο μαθηματικό οπλοστάσιο.
Σε κάθε περίπτωση, συμφωνώ απολύτως με την τελευταία σου παρατήρηση:
“κάθε γενίκευση ενέχει κίνδυνο αστοχίας“.
Γι’ αυτό και έχει ενδιαφέρον η κριτική, όταν μας βοηθά να διακρίνουμε ποια αστοχία επηρεάζει το κεντρικό φυσικό επιχείρημα και ποια αφορά τον βαθμό τυπικής αυστηρότητας μιας διατύπωσης.
Αν υπάρχει λοιπόν ένσταση στην κεντρική πρόταση του κειμένου —τη διάκριση κατάσταση – μεταβολή – διαδικασία και στις αναλογίες που επιχειρεί να αναδείξει— θα τη συζητήσω με πραγματικό ενδιαφέρον.
Νομίζω ότι εκεί βρίσκεται το ουσιαστικό θέμα της ανάρτησης.
Κωνσταντίνε, ευχαριστώ για την επισήμανση. Και για να σε απαλλάξω από την αγωνία μήπως χρειαστεί να αναζητήσουμε κάποιον νέο ορισμό της τροχιάς, δεν υπάρχει κανένας.
Ο ορισμός που παραθέτεις είναι αυτός που γνωρίζουμε όλοι και, με βάση αυτόν, η παρατήρησή σου είναι σωστή.
Η έκφραση «διάστημα (s) (μήκος τροχιάς)» στην εικόνα είναι ατυχής.
Το διανυόμενο διάστημα είναι το συνολικό μήκος της διαδρομής που διένυσε το κινητό και, όταν η ίδια γεωμετρική τροχιά διατρέχεται περισσότερες από μία φορές, προφανώς δεν ταυτίζεται με το μήκος της τροχιάς ως γεωμετρικού τόπου.
Τα παραδείγματα των δέκα κύκλων και της ΑΑΤ που δίνεις το δείχνουν απολύτως καθαρά. Θα προσπαθήσω να διορθωθεί λοιπόν σε «διανυόμενο διάστημα (s)».
Χαίρομαι μάλιστα που μια μικρή λεζάντα μιας συνοδευτικής εικόνας άντεξε σε τόσο εξονυχιστικό έλεγχο πριν ακόμη διαβαστεί η παρουσίαση. Είναι μια χρήσιμη υπενθύμιση ότι ακόμη και το περιφερειακό υλικό μιας ανάρτησης οφείλει να είναι προσεγμένο.
Θα μου επιτρέψεις μόνο μια μικρή επιφύλαξη για το «δεν έχουμε το δικαίωμα» και ιδίως για το «απαγορεύεται». Στη διδασκαλία της Φυσικής ασφαλώς οφείλουμε να σεβόμαστε τους επιστημονικούς ορισμούς και τη σχολική ορολογία. Δεν γνωρίζω, ωστόσο, κάποια απαγορευτική διάταξη που να μετατρέπει μια ατυχή λεζάντα σε απόπειρα εισαγωγής προσωπικού ορισμού στη Φυσική. Αν υπάρχει, ευχαρίστως να μου την υποδείξεις ώστε, εκτός από τη διόρθωση της εικόνας, να αποκαταστήσουμε και τη νομιμότητα.
Θοδωρή καλημέρα
Δηλώνεις ότι θα απέφευγες τη φράση: «Η δυναμική ενέργεια δεν έχει αξία, μόνο η μεταβολή της έχει.». Ωστόσο δεν υπάρχει άσκηση Φυσικής, που αφορά φυσικό φαινόμενο, στο οποίο να μην εμφανίζεται η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας.
Δηλώνεις επίσης ότι αντί για την προηγούμενη φράση θα προτιμούσες τη φράση: “Η τιμή της δυναμικής ενέργειας αποκτά νόημα αφού δηλώσουμε το επίπεδο αναφοράς.” Όμως αυτή φράση δεν αφορά τα φυσικά φαινόμενα. Αφορά δικό μας ορισμό που μας διευκολύνει στο να υπολογίζουμε τις μεταβολές της δυναμικής ενέργειας, που μόνο αυτές αναγνωρίζει η Φύση.
Συνεπώς η δεύτερη φράση απλώς μας εξυπηρετεί στο να εφαρμόζουμε την πρώτη. Δηλαδή δεν τίθεται θέμα προτίμησης. Διότι χωρίς τη δεύτερη μπορούμε να κάνουμε Φυσική. Χωρίς την πρώτη ποτέ.
Αγαπητέ Ανδρέα, φοβάμαι ότι για να καταλήξουμε σε διαφωνία χρειάστηκε αυτή τη φορά να μου αποδοθεί μια θέση που δεν διατύπωσα.
Δεν έγραψα πουθενά ότι “μπορούμε να κάνουμε Φυσική χωρίς τις μεταβολές της δυναμικής ενέργειας”.
Ούτε, βέβαια, ότι η απόλυτη τιμή της είναι φυσικά σημαντικότερη από τη μεταβολή της. Αν είχα γράψει κάτι τέτοιο, η απάντησή σου θα ήταν απολύτως εύστοχη.
Αυτό που έγραψα είναι πολύ συγκεκριμένο και, κυρίως, διδακτικό:
θα απέφευγα να λέω στον μαθητή ότι «η τιμή της δυναμικής ενέργειας δεν έχει αξία».
Και θα το απέφευγα επειδή είναι άλλο πράγμα να πω:
«η τιμή της (U) εξαρτάται από την επιλογή του μηδενικού, ενώ η ΔU όχι»
και άλλο:
«η τιμή της (U) δεν έχει αξία».
Το πρώτο εξηγεί στον μαθητή τη Φυσική. Το δεύτερο την αντικαθιστά με ένα σύνθημα.
Φυσικά συμφωνούμε ότι η επιλογή (U=0) είναι συμβατική και ότι τα φυσικά αποτελέσματα δεν εξαρτώνται από αυτήν. Αυτό ακριβώς γράφει το κείμενο.
Το ενδιαφέρον είναι ότι από αυτή τη σωστή διαπίστωση δεν προκύπτει πως η τιμή της (U), αφού έχει οριστεί το μηδέν αναφοράς, είναι άνευ νοήματος. Προκύπτει ότι είναι εξαρτώμενη από σύμβαση. Πρόκειται για διαφορετικές προτάσεις.
Όσο για τη διατύπωση ότι «μόνο τις μεταβολές αναγνωρίζει η Φύση», ομολογώ ότι είναι γοητευτική.
Δεν είμαι όμως βέβαιος ότι έχουμε τρόπο να ρωτήσουμε τη Φύση ποια από τα μεγέθη που χρησιμοποιούμε αναγνωρίζει και ποια απλώς ανέχεται για τη δική μας υπολογιστική διευκόλυνση.
Προτιμώ την πεζότερη διατύπωση: οι προβλέψεις για τα συγκεκριμένα φαινόμενα είναι ανεξάρτητες από την αυθαίρετη επιλογή του μηδενός της δυναμικής ενέργειας.
Λιγότερο ποιητική, ίσως, αλλά περισσότερο ελέγξιμη.
Επομένως δεν βλέπω πού ακριβώς βρίσκεται η αντίθεση που παρουσιάζεις ως «συνεπώς». Η πρόταση:
«η (ΔU) έχει φυσική σημασία ανεξάρτητη από την επιλογή του μηδενός»
και η πρόταση
«η (U) αποκτά συγκεκριμένη αριθμητική τιμή αφού ορίσουμε το μηδέν αναφοράς»
είναι ταυτόχρονα αληθείς.
Η δεύτερη δεν αναιρεί την πρώτη και η πρώτη δεν καθιστά λανθασμένη τη δεύτερη.
Ίσως λοιπόν, μετά από τρεις γύρους, ανακαλύπτουμε το ευχάριστο ενδεχόμενο να συμφωνούμε στη Φυσική και να διαφωνούμε κυρίως στο αν πρέπει να λέμε στον μαθητή ότι κάτι «δεν έχει αξία».
Εκεί πράγματι επιμένω: προτιμώ να του εξηγήσω ποια αξία έχει, ποια δεν έχει και γιατί.
Θοδωρή μόνο δύο φράσεις δικές σου σχολίασα. Αυτές που φαίνονται στο προηγούμενο μήνυμά μου μέσα σε εισαγωγικά. Τα υπόλοιπα που αναφέρεις προφανώς το κάνεις αστειευόμενος. Να ‘σαι καλά!
Αγαπητέ Ανδρέα, καθόλου δεν αστειεύομαι.
Αν ως «αστείο» εννοείς ότι η πρόταση «η τιμή της δυναμικής ενέργειας εξαρτάται από την επιλογή του μηδενός, ενώ η μεταβολή της όχι» θα μου επιτρέψεις να διαφωνήσω ως προς το “αστείο”
Να ’σαι καλά κι εσύ!
Η πρότασή σου “«η τιμή της δυναμικής ενέργειας εξαρτάται από την επιλογή του μηδενός, ενώ η μεταβολή της όχι»” είναι σωστή.
Το αστείο είναι ότι αυτή η πρόταση είναι άσχετη με τη δήλωσή σου:
“Προσωπικά θα απέφευγα το: «Η δυναμική ενέργεια δεν έχει αξία, μόνο η μεταβολή της έχει.»”
για την οποία σχολίασα ότι δεν υπάρχει άσκηση Φυσικής, που αφορά φυσικό φαινόμενο, στο οποίο να μην εμφανίζεται η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας. Κι εσύ θέλεις να την αποφύγεις!
Καλησπέρα Θοδωρή.Αυτη την περίοδο ασχολουμε με τα μεγέθη.Στη διάκριση τους ασχολήθηκα με την διάκριση τους σε καταστατικη ιδιότητα και μέγεθος διαδρομής.Τα πανεπιστημιακά βιβλία αναφέρουν την καταστατική ιδιότητα ως καταστατική μεταβλητή η συνάρτηση μεταβλητής και όχι καταστατικό μέγεθος.Αυτο με απασχόλησε.Επισης κάποια στιγμή τα παιδιά πρέπει να μάθουν για τα εκτατικα μεγέθη και εντατικη ιδιότητα .Τα παιδιά της Α Γυμνασίου ασχολούνται με την πυκνότητα υλικού -ουσιας- και τη θερμοκρασία.ΥΓ Θα επανέλθω με νέα ανάρτηση τι σημαίνει μέγεθος και τι σημάνει μέτρηση.Το λάθος που κάνουμε όλα αυτά τα χρόνια.
Γεια σου Γιώργο, θα περιμένουμε με ενδιαφέρον
Γιώργο, βάλε και εσύ μία φωτογραφία….είναι καλό να έχουμε μία εικόνα των “συνομιλητών”….
Η βαρυτική δυναμικη ενεργεια συστηματός σωματος -Γης (ή αλλου ουρανιου σωματος) σε ένα σημειο είναι και μεγεθός διαστηματός .Υπολογίζεται πάντα ως προς ένα αυθαίρετο επίπεδο αναφοράς (π.χ. το πάτωμα ή το έδαφος) .Μηδεν βαρυτική δυναμικη ενεργεια δεν σημαίνει ότι δεν εχουμε βαρυτική δυναμική ενεργεια . Αν αλλαξουμε το επιπεδο αναφορας υπαρχει τιμή. Ο λογός των τιμων της δεν εχει φυσικη σημασια . Αν αλλαξουμε το επιπεδο αναφορας ο λογός είναι διαφορετικός Δεν μπορουμε να πούμε ότι η βαρυτική δυναμική ενεργεια σε ένα σημειο είναι διπλασια της αλλης Μόνο η διαφορά της δυναμικής ενέργειας έχει φυσικό νόημα (και φυσικά οχι η προσθεση) Οσο ζω μαθαινω