Στερεό σώμα, μαγνητικό πεδίο

Θεωρούμε την διάταξη του σχήματος, σε κατάσταση ισορροπίας, σε κατακόρυφο επίπεδο. Στη θέση Α του κεκλιμένου επιπέδου ισορροπεί ομογενής κυκλική στεφάνη μάζας m=3kg, ακτίνας r=0,1m. Το κεκλιμένο επίπεδο, γωνίας κλίσεως θ, (ημθ=0,6 , συνθ=0,8) στην βάση του συνδέεται με κατακόρυφο ημικύκλιο ακτίνας R=1m. Η στεφάνη στο άνω της άκρο συνδέεται με οριζόντιο αβαρές μη εκτατό νήμα 2 (σταθερού μήκους) με τροχαλία μάζας Μ=5kg εσωτερικής ακτίνας r_τροχ=0,2m, εξωτερικής ακτίνας R_τροχ=0,5m. Η τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο της. Γύρω από την τροχαλία έχουμε τυλίξει αρκετές φορές αβαρές μη εκτατό νήμα 1, το οποίο συνδέεται με την μεταλλική ράβδο ΚΛ στο μέσον αυτής. Η μεταλλική ράβδος ΚΛ ισορροπεί σε οριζόντια θέση, έχει μήκος l=1m και μάζα m=0,5kg, είναι σε επαφή με κατακόρυφους αγωγούς Mx, Ny, που απέχουν απόσταση l=1m. Το πηνίο φέρει 1000 σπείρες/m, διαρρέεται από συνεχές ρεύμα εντάσεως Ι, ενώ στο κέντρο του το μέτρο της εντάσεως του μαγνητικού πεδίου είναι Β_πην = 4π 10^-3 Tesla. Στον χώρο abcd υπάρχει οριζόντιο ομογενές μαγνητικό πεδίο εντάσεως Β.  

Α.  Βρείτε την ένταση του μαγνητικού πεδίου Β, φορά, μέτρο.

Κάποια στιγμή (t₀=0) αφαιρούμε το νήμα 2 ενώ ταυτόχρονα ανοίγουμε τον διακόπτη δ, οπότε η στεφάνη κατέρχεται επί του κεκλιμένου επιπέδου κυλιόμενη (δεν ολισθαίνει), ενώ η ράβδος κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω ενώ είναι συνεχώς σε επαφή με τους αγωγούς Mx, Ny και η τροχαλία περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της έχοντας σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α_{γων,τροχ} = 10/3 rad/s².  

Β.  Εξηγείστε γιατί φορτίζεται η κατερχόμενη ράβδος ΚΛ. Εκφράστε την τάση V_ΛΚ στα άκρα της, συναρτήσει του χρόνου, εάν η ένταση του μαγνητικού πεδίου έχει μέτρο Β=0,1Τ. 

Γ.  Τη χρονική στιγμή t₀=0 η στεφάνη αρχίζει να κατέρχεται κυλιόμενη επί του κεκλιμένου επιπέδου με γωνιακή επιτάχυνση α_{γων,στεφ} = 30 rad/s². Τη χρονική στιγμή t₁=1s φθάνει στο σημείο Ε. Βρείτε την ταχύτητα του ανώτερου σημείου της στεφάνης ως προς την οριζόντιο τη στιγμή t₁ καθώς και την επιτάχυνση του σημείου επαφής της στεφάνης με το κεκλιμένο επίπεδο, σημείο Ε.                                               

Δ.  Η στεφάνη κυλίεται (δεν ολισθαίνει) κινούμενη στο κεκλιμένο επίπεδο, διέρχεται από την θέση Γ, ανέρχεται κυλιόμενη στο ημικύκλιο και διέρχεται από την ανώτατη Δ του ημικυκλίου τη χρονική στιγμή t₂  έχοντας ταχύτητα μέτρου υ_Δ=3m/s.  Να βρείτε :

   i)  την δύναμη που δέχεται από το ημικύκλιο καθώς διέρχεται από το σημείο Δ 

  ii)  την ταχύτητά της και την γωνιακή της ταχύτητα (διεύθυνση, φορά, μέτρο) μετά από 0,2 s. Πόσες στροφές κάνει σε Δt=0,2 s; 

 iii)  την στροφορμή της στεφάνης λόγω μεταφορικής κίνησης (όχι περιστροφικής), ως προς το άκρο Δ του ημικυκλίου τη στιγμή t₂ + 0,2s.

Δίνονται : μαγνητική διαπερατότητα του κενού  μ_ο = 4π 10^-7 Ν/Α²,  επιτάχυνση βαρύτητας  g = 10 m/s²      

μία λύση : στερεό σώμα – μαγνητικό πεδίο