by 
Οι σφαίρες Α, Β αρχικά ισορροπούν. Η σφαίρα Α στο κάτω άκρο ελατηρίου σταθεράς k, η σφαίρα Β στο κάτω άκρο αβαρούς μη εκτατού νήματος. Οι σφαίρες θεωρούνται υλικά σημεία και απέχουν το ίδιο από το οριζόντιο έδαφος. Κόβουμε ταυτόχρονα τα δύο νήματα. Ποια σφαίρα θα φθάσει πρώτη στο έδαφος, αν υποθέσουμε:
i) ιδανικό ελατήριο, δηλαδή ελατήριο αμελητέας μάζας
ii) Ένα ελατήριο Slinky μη αμελητέας μάζας
To ελατήριο Slinky όταν αφεθεί κατακόρυφο σε ένα τραπέζι, οι σπείρες του εφάπτονται
Οι αντιστάσεις από τον αέρα θεωρούνται αμελητέες.
Μαθηματική μελέτη με τη βοήθεια της ΑΙ
Καλημέρα Θοδωρή, καλημέρα σε όλους.
Πρόδρομε πού βρίσκεσαι, σε είχαμε χάσει καιρό τώρα…
Διαβάζοντας το διάλογο όπως εξελίχθηκε, νομίζω ότι η διαφωνία οφείλεται στην εκφώνηση.
Ο Θοδωρής και ο Στάθης μιλάνε για το ελατήριο Slinky, ο Κωνσταντίνος και ο Πρόδρομος για ένα ελατήριο με μάζα.
Έτσι και οι δύο ομάδες έχουν δίκιο!!!
Προτείνω στην εκφώνηση Θοδωρή να δοθεί:
ii) Ένα ελατήριο Slinky μη αμελητέας μάζας.
Καλημέρα Διονύση, Καλημέρα σε όλους.
Διονύση είμαι στην Αθήνα εδώ και 10 μέρες, μετά το χωριό που πήγα για άλλες 10.
Η επέμβαση σου …σώζει τον διάλογο! Το slinky δεν είναι ελατήριο με μάζα, άρα δεν μπορούμε να μιλάμε για σταθερά k.
Η θεώρηση μου καθώς και ρου Κωνσταντίνου είναι για ελατήριο με μάζα που μπορεί και να συσπειρώνεται..
Να είσαι πάντα καλά.
Kαλημερα Διονυση,καλημερα σε ολους. Και εγω οπως και ο Προδρομος και ο Γιαννης θεωρησα οτι το ελατηριο μπορει να συσπειρωνεται και να ασκει δυναμεις προς τα εξω. Το slinky δεν το καταλαβα νομιζα οτι εννοουσε kinky.
Καλημέρα σε όλους, Διονύση νομίζω πως είναι σαφές ότι η περίπτωση (ii) αναφέρεται σε ελατήριο τύπου Slinky
” ii) ελατήριο μη αμελητέας μάζας, όπως ένα Slinky”
Εξάλλου υπήρχε από την αρχή η αναφορά “Ελατήριο Slinky”
Για να μην θεωρηθώ δογματικός θα το αλλάξω
Πρόδρομε, συμφωνώ ότι το Slinky δεν μπορεί να αντιμετωπιστεί δυναμικά σαν το σχολικό αβαρές ελατήριο, είναι ξεκάθαρο και από τον διαχωρισμό σε (i) , (ii)
Δεν συμφωνώ όμως ότι επειδή έχει κατανεμημένη μάζα δεν μπορούμε να μιλάμε για σταθερά k.
Η ύπαρξη μάζας και η ελαστική σταθερά είναι ανεξάρτητες ιδιότητες.
Για ένα Slinky μπορούμε, στην περιοχή γραμμικής συμπεριφοράς, να ορίσουμε αποτελεσματική σταθερά k=F/ΔLk.
Εκεί που η απλή περιγραφή μόνο μέσω της k δεν αρκεί είναι στη μεταβατική δυναμική μετά την απελευθέρωση: επειδή η μάζα είναι κατανεμημένη, η τάση και η παραμόρφωση εξαρτώνται από θέση και χρόνο και η διαταραχή διαδίδεται με πεπερασμένη ταχύτητα.
Κωνσταντίνε, επειδή τα αγγλικά μου δεν είναι πολύ καλά, μήπως μπορείς να μεταφράσεις τη λέξη Kinky;
Εκτιμώ πως δεν χρειάζεται καμία αλλαγή. Όποιος διάβασε την προτεινόμενη απάντηση, είδε να γράφει ό,τι:
“Κρατάμε ένα Slinky κατακόρυφα από το πάνω άκρο του. Το ελατήριο είναι τεντωμένο λόγω του βάρους του. Όταν αφήσουμε ξαφνικά το πάνω άκρο, το κάτω άκρο για κάποιο χρονικό διάστημα παραμένει σχεδόν ακίνητο, ενώ το πάνω μέρος πέφτει και το ελατήριο τείνει να συσταλεί προς το φυσικό μήκος του , από πάνω προς τα κάτω. Ο λόγος είναι ότι η μεταβολή της τάσης δεν μεταδίδεται ακαριαία κατά μήκος ενός πραγματικού ελατηρίου. Διαδίδεται ως μηχανική διαταραχή με πεπερασμένη ταχύτητα. Μέχρι να φτάσει αυτή η διαταραχή στο κάτω άκρο, εκεί εξακολουθεί περίπου να υπάρχει η αρχική τάση που εξισορροπούσε το βάρος του κατώτερου τμήματος….”
” Δεχόμαστε ότι η δύναμη του ελατηρίου στο Α παραμένει διαρκώς προς τα πάνω, ώστε α<g…..”
“Στην περίπτωση ενός ελατηρίου Slinky, με τη συμπεριφορά που περιγράψαμε, αναμένουμε να φθάσει πρώτο το Β.”
Ζήτησα όμως και μία “τρίτη” γνώμη:
Εκτιμώ πως δεν υπάρχει δυνατότητα παρανόησης. Συμφωνείς;
“Ναι, με αυτή τη διατύπωση συμφωνώ ότι έχεις θωρακίσει αρκετά καλά το συμπέρασμα και δεν ισχυρίζεσαι γενικά ότι «για κάθε ελατήριο με μάζα φτάνει πρώτο το Β»…”
Αναλυτικότερη απάντηση
ΥΓ: Χθες βράδυ, είδα τελικά την Οδύσσεια… Κινείται στην ίδια “λογική” του “Oppenheimer”…. οι τύψεις του ευφυούς απέναντι στα αποτελέσματα της ιδέας του…
Τελικό αποτύπωμα; Ισοπαλία 3-3 , δηλαδή το βλέπεις με σχετικό ενδιαφέρον, φεύγεις νιώθοντας πως τελικά ήταν “αμερικανιά”…. θετικό αποτύπωμα η ενσυναίσθηση και η αυτοκριτική
Θοδωρη ειναι παραλογο να επιμενεις οτι δεν υπαρχει δυνατοτητα παρανοησης οταν Προδρομος,Γιαννης και εγω καταλαβαμε άλλο.Πρεπει να γραψεις οτι εχεις ενα ελατηριο που δεν συσπειρωνεται με τιποτα αλλα μονο τεντωνει,ή οπως εγραψε ο Σταθης οτι στο φυσικό του μήκος, αν το αφήσουμε πάνω σε ένα τραπέζι, έχει τις σπείρες του κολλημένες. ή να γραψεις “δινεται ενα slinky ελατηριο και αμεσως να το ορισεις διοτι ο αλλος δεν ειναι υποχρεωμενος να το ξερει.Αυτα που εννοεις δεν προκυπτουν πουθενα απο την εκφωνηση.
Καλησπέρα Θοδωρή, καλησπέρα σε όλους.
Παρακάτω δίνω μία εκτίμηση των χαρακτηριστικών χρόνων που εμπλέκονται στο ερώτημα της ανάρτησης, για ένα ελατήριο μάζας (όχι…kinky, κανονικό Κωνσταντίνε -δεν μπορώ να βάλω φατσούλα με τίποτα)
Οι συντελεστές χn για κάθε κανονικό τρόπο ταλάντωσης προκύπτουν μέσω της παρακάτω γραφικής παράστασης (σημεία τομής του λόγου m/M με το γράφημα).
Καλησπέρα Στάθη και συγχαρητήρια για τη λύση! Όπως το είπα από το πρώτο σχόλιό μου, για ελατήριο με μάζα και σταθερά k , δεν μπορούμε να πούμε ότι η Β θα φτάσει πιο γρήγορα στο έδαφος.
Να είσαι καλά και καλό βράδυ.
Στάθη ευχαριστώ για την παρουσίαση, κατατοπιστικότατη.
Είναι δυνατόν όμως να ζητούσε κάτι τέτοιο μία ανάρτηση που απευθύνεται
κυρίως σε μαθητές;;;;;
Για να μην χαλάσω το χατίρι του Πρόδρομου έκανα την αλλαγή στην εκφώνηση
που πρότεινε ο Διονύσης και για τον Κωνσταντίνο που κατάλαβε Kinky έβαλα
και μία φωτογραφία του slinky…
Κωνσταντίνε περιμένω τη μετάφραση του Kinky….
Kαλημερα Θοδωρη. Ουτε εγω ηξερα τι ακριβως ειναι το Kinky,το θυμομουνα απο τα παλια τα χρονια που σπουδαζα στην Αγγλια και οι φιλες μου μου λεγανε “you are a kinky boy”. Eκανα google και βρηκα συνωνυμα του kinky : https://www.merriam-webster.com/thesaurus/kinky
Καλημέρα Θοδωρή.
Έγραψα ότι έγραψα επειδή η ανάρτηση είναι στο forum. Δεν απευθύνομαι σε μαθητές και στην σχολική ύλη, προφανώς.
Εξάλλου η ερώτηση της ανάρτησης δεν μπορεί να απευθύνεται σε μαθητές, γιατί εμπλέκει θεωρία που δεν ξέρουν και ελατήριο τελείως διαφορετικό από το ιδανικό που ξέρουν.
Επιπλέον, το έγραψα και σε προηγούμενο σχόλιο, αν δεν έχεις δει το slinky, δεν πάει το μυαλό σου στην λύση (εγώ δεν θα το έβρισκα), άρα καλά έκανες το χατήρι του Πρόδρομου και το έβαλες στην εκφώνηση, όπως πρότεινε ο Διονύσης.
Αν ήθελες η ανάρτηση να απευθυνεται κυρίως σε μαθητές (εκτός του πλαισίου των εξετάσεων), κατά την γνώμη μου, πρώτα έπρεπε να τους δείξεις ένα βίντεο και μετά να ακολουθήσει συζήτηση για το φαινόμενο.
Καλημέρα σε όλους.
Βλέποντας το πείραμα του Στάθη Λεβέτα, παρατηρώ ότι μέχρι τη στιγμή που το slinky αποσυσπειρώνεται, το σφαιρίδιο μετακινείται ελάχιστα προς τα κάτω.
Ακολουθεί μια περίπου πλαστική κρούση με το σφαιρίδιο και το συσσωμάτωμα αρχίζει να κινείται με κοινή ταχύτητα.
Επειδή το κέντρο μάζας του συστήματος είναι πιο ψηλά από ότι στο δεύτερο πείραμα που το σφαιρίδιο κρέμεται από το νήμα, κάνει ελεύθερη πτώση το Κ.μ. τους, άρα θα φτάσει αργότερα γιατί πέφτει από πιο ψηλά. Αυτά όσον αφορά την αρχική θεώρηση του Θοδωρή που έχουμε έχουμε όχι ελατήριο με μάζα και σφαιρίδιο, αλλά το slinky και το σφαιρίδιο.
Φυσικά αν είχαμε ελατήριο σταθεράς k και μάζας m, δεν μπορούμε να πούμε σίγουρα ότι το Β σφαιρίδιο θα φτάσει γρηγορότερα από το Α, κι ας έχουμε το Κ.μ. του συστήματος πιο ψηλά από το Β. Όπως έγραψε ο Στάθης με τη μελέτη του για το χρονικό διάστημα μετάδοσης της διέγερσης από το ελατήριο στο σφαιρίδιο, έχουμε κάτι σαν στάσιμο κύμα στο ελατήριο και επίσης άμεση αλληλεπιδραση του με το σφαιρίδιο, με αυτό να κάνει σύνθετη κίνηση λόγω της βαρύτητας και της ταλαντωσης.
Αυτά και καλό Σαββατοκύριακο.
Πρόδρομε καλημέρα. Συμφωνώ μαζί σας για την περίπτωση κλασσικού ελατηρίου.
Μπράβο Στάθη, το ..ξετίναξες !
Βλέπουμε ότι στην περίπτωση που έχουμε ελατήριο με μάζα, αρκετοί παράγοντες υπεισέρχονται για την απάντησή μας ως προς το ποιό σώμα θα φτάσει γρηγορότερα στο έδαφος.
Στην περίπτωση του slinky με τη σφαίρα η Β θα φτάσει πιο γρήγορα όπως το εξήγησα παραπάνω.
Καλό ΣΚ.