by Στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=400 N/m, του οποίου το πάνω άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο, είναι δεμένο σώμα (Σ1) μάζας m1 =1 kg. Το σώμα (Σ1) συνδέεται μέσω αβαρούς και μη εκτατού νήματος μήκους L=0,25m, με σώμα (Σ2) μάζας m2 =3 kg, το οποίο βρίσκεται κατακόρυφα κάτω από το (Σ1). Αρχικά τα δύο σώματα ισορροπούν με το νήμα τεντωμένο.
Κάποια στιγμή ασκείται στο (Σ1) κατακόρυφη δύναμη με φορά προς τα πάνω για πολύ μικρό χρονικό διάστημα. Η μετατόπιση των σωμάτων κατά τη διάρκεια εφαρμογής της δύναμης θεωρείται αμελητέα. Αμέσως μετά την παύση της δύναμης το νήμα παραμένει τεντωμένο, ενώ η ορμή του συστήματος των δύο σωμάτων έχει μεταβληθεί κατά Δp, με φορά προς τα πάνω.
Ως θετική θεωρούμε την κατακόρυφη φορά προς τα πάνω.
Α. Να εκφράσετε το μέτρο υο της κοινής ταχύτητας των δύο σωμάτων αμέσως μετά την παύση της δύναμης, σε συνάρτηση με τη μεταβολή της ορμής του συστήματος.
Β. Να αποδείξετε ότι, για όσο χρονικό διάστημα το νήμα παραμένει τεντωμένο, τα δύο σώματα εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα ω της ταλάντωσης.
Γ. Να υπολογίσετε τη μέγιστη δυνατή τιμή Δpmax της μεταβολής της ορμής του συστήματος, ώστε το νήμα να παραμένει τεντωμένο σε όλη τη διάρκεια της ταλάντωσης.
Για τη συνέχεια θεωρούμε ότι Δp= Δpmax και ως χρονική στιγμή (t=0) τη στιγμή αμέσως μετά την κατάργηση της δύναμης.
Δ. 1) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης x=x(t) των σωμάτων από τη θέση ισορροπίας τους.
2) Να υπολογίσετε την χρονική στιγμή t1 κατά την οποία το μέτρο της τάσης του νήματος είναι T1=15 N για πρώτη φορά
3) Να υπολογίσετε την ταχύτητα των σωμάτων τη χρονική στιγμή t1
Ακριβώς τη στιγμή κατά την οποία τα σώματα ακινητοποιούνται στιγμιαία για πρώτη φορά μετά τη χρονική στιγμή (t=0), το νήμα κόβεται ακαριαία.
Ε. Nα υπολογίσετε το έργο της τάσης του νήματος που ασκείται στο σώμα Σ2 από τη χρονική στιγμή t=0 μέχρι τη στιγμή της πρώτης στιγμιαίας ακινητοποίησης των σωμάτων.
ΣΤ. Μετά την κοπή του νήματος το σώμα Σ2 κινείται ελεύθερα, ενώ το Σ1 παραμένει συνδεδεμένο με το ελατήριο.
- Να αποδείξετε ότι το Σ1 εκτελεί νέα απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε το πλάτος A’ της ταλάντωσής του.
- Να υπολογίσετε την απόσταση (d) μεταξύ των σωμάτων Σ1 και Σ2 τη χρονική στιγμή Δt=π/20 s
μετά την κοπή του νήματος. Δίνονται: g=10 m/s2 , π2=10
Οι διαστάσεις των σωμάτων και οι αντιστάσεις του αέρα θεωρούνται αμελητέες.
Καλημερα Ανδρεα. Καλημερα σε ολους.Και εγω θα ελεγα οτι το συστημα των δυο σωματων εκτελει ΑΑΤ. Κανεις δεν θα μπερδευτει. Απαντω εδω και στην Φοιτητικη ομαδα,οτι κανεις δεν ειπε οτι η εκφωνηση δεν ειναι κατανοητη. Απολυτως κατανοητη ειναι.Ομως εγω θεωρω οτι το συστημα των δυο σωματων ως προς την κινηση αντιπροσωπευεται απο οποιοδηποτε γεωμετρικο σημειο του συστηματος και οτι καθε γεωμετρικο σημειο του συστηματος κανει ΑΑΤ. Δεν εχω δηλωσει ποτέ οτι η ορολογια ΑΑΤ πρεπει να χρησιμοποιειται μονο για υλικα σημεια.Μπορει να χρησιμοποιειται και για γεωμετρικα σημεια χωρις μαζα που δεν εχουν σχεση με την υλη.Αν στο αβαρες νημα κανουμε μια κουκιδα με εναν μαρκαδορο,τοτε αυτη η κουκιδα κανει ΑΑΤ. Αυτο λεει η θεωρια που διδασκονται τα παιδια στο σχολειο τους. Ομως εδω δεν ειναι αυτο το θεμα μας.Το θεμα μας ειναι οτι οταν καποιος δηλωνει κατι,πρεπει να ειναι συνεπης με αυτο που δηλωσε. Αρα στην παρουσα ασκηση με βαση τις δηλωσεις του Θοδωρη,δεν υπαρχει τιποτα που να κανει ΑΑΤ. Ουτε το συστημα κανει ΑΑΤ,ουτε το ενα σωμα κανει ΑΑΤ,ουτε το αλλο σωμα κανει ΑΑΤ,ουτε το κεντρο μαζας του συστηματος κανει ΑΑΤ. Αυτο που εγραψε οτι το κεντρο μαζας κανει ΑΑΤ, με βαση τις προηγουμενες δηλωσεις του, και αυτο λαθος ειναι.Το κεντρο μαζας δεν ειναι υλικο σημειο,δεν εχει μαζα,δεν εχει ενεργεια,δεν βρισκεται κατ αναγκην πανω σε ύλη.Ειναι εξ ορισμου γεωμετρικο σημειο.Το κεντρο μαζας ενος δαχτυλιδιου με μαζα,ειναι το κεντρο ενος κυκλου και δεν υπαρχουν δυναμικες εξισωσεις που να μπορουν να εφαρμοστουν πανω στο κεντρο ενος κυκλου.Δεν ειναι υλικο σημειο,ειναι γεωμετρικο σημειο.Το οτι οριζεται με βαση το τι θα συνεβαινε αν παιρναμε ολη την μαζα του συστηματος και την συμπυκνωναμε εκει,δεν το καθιστα υλικο σημειο.Αρα καποιος που λεει οτι το κεντρο μαζας εχει μαζα,δεν εχει καταλαβει καν τι ειναι το κεντρο μαζας.
Αν καποιος υποστηριζει (οπως και εσυ απ οτι εχω καταλαβει) οτι αναγκαια συνθηκη για να χαρακτηριστει μια κινηση ως ΑΑΤ,ειναι να ειναι κινηση υλικου σημειου με μαζα πανω στην οποια να ασκειται μια συνισταμενη δυναμη η οποια να προκυπτει απο καποιο δυναμικο,τοτε ειναι υποχρεωμενος να πει οτι στην παρουσα ασκηση δεν υπαρχει τιποτα που να κανει ΑΑΤ, και ο τιτλος ειναι αποτυχημενος. Ξαναλεω για να μην παρεξηγηθω,οτι εγω δεν διαφωνω ουτε με την εκφωνηση της ασκησεως,ουτε με την λυση της. Ελπιζω να εγινε κατανοητο οτι δεν συζηταω το γνωστο πολυσηζητημενο θεμα της ΑΑΤ. Συζηταω το θεμα της μαθηματικης συνεπειας και της δημιουργιας αντιφασεων,οταν καποιος ειναι απροσεκτος.Εσυ Ανδρεα,αλλα και αλλοι συναδελφοι τι λετε; Αν η ΑΑΤ δεν οριστει κινηματικα αλλα δυναμικα, και μονο για σημειακες μαζες,τοτε τo κεντρο μαζας ενος εκτεταμενου συστηματος μπορει να κανει ΑΑΤ;
Καλημέρα σε όλους.
Ο Κωνσταντίνος λέει κάτι σημαντικό.
Αν ένα υλικό σώμα βρίσκεται μέσα σε ένα πεδίο, πχ βαρυτικό, το διαχωρίζουμε σε άπειρα υλικά σημεία με την δική τους μάζα το καθένα, και κάθε υλικό σημείο δέχεται μια συντηρητική δύναμη από το πεδίο. Το άθροισμα όλων αυτών των δυνάμεων, δηλαδή η συνολική δύναμη που δέχεται το σώμα, είναι επίσης συντηρητική δύναμη.
Για ένα εκτεταμένο σώμα στην άκρη ιδανικού ελατηρίου τα παραπάνω δεν ισχύουν, ελαστική δύναμη από το ελατήριο δέχεται μόνον το σημείο πρόσδεσης. Τα υπόλοιπα σημεία δεν δέχονται δυνάμεις απευθείας από το πεδίο/ελατήριο. Αν λοιπόν η ΑΑΤ οριστεί δυναμικά, ο ορισμός ισχύει μόνον για το σημείο πρόσδεσης, άσχετα με το ότι σε άκαμπτο στερεό τα υπόλοιπα σημεία ακολουθούν την κίνηση του σημείου πρόσδεσης. Ακριβώς όπως και η σκιά και το κ.μ. αυτού του σώματος ακολουθούν την κίνηση του σώματος.
Το να λέμε ότι το σώμα και η σκιά ή το κ.μ. του εκτελούν ΑΑΤ, είναι τότε λάθος. Εκτός και αν ορίσουμε την ΑΑΤ καθαρά κινηματικά από τις εξισώσεις κίνησης, οπότε η αντίφαση αίρεται.
Επίσης το ότι αποδίδουμε δυναμική ενέργεια στο σώμα/κ.μ., όχι στην σκιά του, είναι ένα μαθηματικά ισοδύναμο πρόβλημα που δίνει σωστές απαντήσεις, ένα μοντέλο.
Δεν μπορώ να διαφωνήσω με τα παραπάνω.