by 
Στην Εικόνα φαίνονται οι τροχιές δύο σωμάτων: Η πάνω τροχιά αντιστοιχεί στην κίνηση ενός σώματος που έχει εκτοξευθεί οριζόντια και κινείται χωρίς την επίδραση του αέρα. Η κάτω τροχιά αντιστοιχεί στην κίνηση ενός σώματος που ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω σε δύο διαδοχικά πλάγια επίπεδα και εφάπτεται συνεχώς σε αυτά. Είναι σαφές από την Εικόνα ότι όσο μικρότερο είναι το μήκος της καμπύλης, τόσο μικρότερη θα είναι η διαφορά μεταξύ των δύο τροχιών. Να αποδείξετε ότι το χρονικό διάστημα κατά μήκος του πλάγιου επιπέδου ΑΒ είναι πάντα μεγαλύτερο από το χρονικό διάστημα κατά την αντίστοιχη κίνηση της οριζόντιας βολής, ανεξάρτητα από το πόσο λίγο διαφέρουν το μήκη των τροχιών.
Η απάντηση υπάρχει εδώ:
Η οριζόντια βολή δεν μπορεί να προσεγγιστεί με όλο και πιο μικρά πλάγια επίπεδα
Αφορμή για αυτή την ανάρτηση ήταν η ανάρτηση του Θοδωρή Παπασγουρίδη που υπάρχει εδώ: Οριζόντια βολή-Μήκος τροχιάς – Υλικό Φυσικής – Χημείας
Ανδρέα, ευχαριστώ για την κοινοποίηση της ανάρτησής μου.
Ο υπολογισμός που κάνεις για τους χρόνους κίνησης πάνω στα διαδοχικά πλάγια επίπεδα είναι σωστός. Αποδεικνύεις ότι ένα σώμα που ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω σε πλάγια επίπεδα, με επιτάχυνση gημθ, δεν έχει τον ίδιο χρόνο κίνησης με ένα σώμα που εκτελεί οριζόντια βολή.
So what ;;;;
Αυτό είναι ένα αποτέλεσμα αυτονόητο. Πρόκειται για δύο διαφορετικά δυναμικά προβλήματα, με διαφορετικές δυνάμεις και διαφορετικές επιταχύνσεις. Δεν θα περίμενε κανείς να έχουν τον ίδιο χρονικό αποτέλεσμα.
Το πρόβλημα είναι ότι αυτό δεν έχει καμία σχέση με όσα υπολογίστηκαν στη δική μου προσέγγιση.
Εκεί δεν θεωρήθηκε ποτέ ότι το βλήμα κινείται πάνω σε διαδοχικά πλάγια επίπεδα.
Δεν αποδόθηκε στις χορδές δύναμη, επιτάχυνση ή χρόνος κίνησης.
Οι χορδές χρησιμοποιήθηκαν αποκλειστικά ως γεωμετρικά ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν διαδοχικά πραγματικά σημεία της παραβολικής τροχιάς, ώστε να εκτιμηθεί το μήκος της.
Με άλλα λόγια, το ερώτημα ήταν:
«Μπορούμε να προσεγγίσουμε το μήκος της παραβολής με εγγεγραμμένη τεθλασμένη;»
και η απάντησή σου αφορά το εντελώς διαφορετικό:
«Ένα σώμα που ολισθαίνει σε πλάγια επίπεδα έχει ίδιο χρόνο κίνησης με το βλήμα;»
Στο δεύτερο απαντάς σωστά «όχι».
Μόνο που κανείς δεν είχε ισχυριστεί το αντίθετο.
Η ανάρτησή σου δεν αναιρεί την προσέγγιση που έγινε.
Απαντά σε διαφορετικό ερώτημα.
Ο αριθμητικός έλεγχος μάλιστα είναι σαφής: με τέσσερις μόνο χορδές παίρνουμε
L(τεθλασμένης)=104,3m ενώ το ακριβές μήκος της παραβολής είναι 104,65m
Άρα η μέθοδος κάνει ακριβώς αυτό για το οποίο χρησιμοποιήθηκε: δίνει εξαιρετικά καλή λυκειακή εκτίμηση του μήκους της τροχιάς χωρίς ολοκληρώματα.
Aπέδειξες ότι η κίνηση πάνω σε πλάγια επίπεδα δεν είναι οριζόντια βολή. Σύμφωνοι.
Αυτό όμως είναι κάτι που ούτε αμφισβητήθηκε, ούτε χρησιμοποιήθηκε στην προτεινόμενη μέθοδο.
Σε κάθε περίπτωση, καλό είναι να κρίνουμε μια μέθοδο γι’ αυτό που πράγματι κάνει και όχι για ένα διαφορετικό φυσικό μοντέλο που κανείς δεν πρότεινε.
Το πρώτο είναι Μηχανική. Το δεύτερο είναι Γεωμετρία.
Και η απόδειξη του πρώτου δεν αποτελεί αναίρεση του δεύτερου.
Θοδωρή συμφωνώ με την άποψή σου ότι καλό είναι να κρίνουμε αυτό που έχει γράψει κάποιος και όχι αυτό που νομίζουμε ότι έγραψε. Εσύ ωστόσο μου καταλογίζεις κάτι που δεν έκανα: Δεν έκρινα την ανάρτησή σου. Έκανα αυτό που περιγράφεις αναλυτικά στο σχόλιό σου: Συμπλήρωσα τη γεωμετρική σου περιγραφή με τη φυσική.
Ζητώ συγγνώμη από τους αναγνώστες αν αναγκάζομαι να ανεβάσω το ίδιο σχόλιο σε δύο διαφορετικά post αλλά οφείλω να το κάνω για πολλούς λόγους
Ανδρέα, χαίρομαι που τώρα διευκρινίζεις ότι δεν έκρινε η παρέμβασή σου τη γεωμετρική προσέγγιση και ότι απλώς θέλησες να τη «συμπληρώσεις με τη φυσική».
Μόνο που αυτό δεν είναι καθόλου αυτό που έγραφε το αρχικό σου σχόλιο:
«Θοδωρή, η οριζόντια βολή δεν μπορεί να προσεγγιστεί με διαδοχικά πλάγια επίπεδα, όσο μικρά κι αν γίνουν. Περισσότερα εδώ.»
Δεν έγραψες «μια συμπληρωματική φυσική παρατήρηση», ούτε «προσοχή, αν θεωρήσουμε ότι οι χορδές είναι πραγματικά πλάγια επίπεδα…».
Έγραψες ότι η οριζόντια βολή δεν μπορεί να προσεγγιστεί έτσι και παρέπεμψες σε ολόκληρη ανάρτηση που υποτίθεται ότι αιτιολογεί αυτή την ένσταση.
Υπάρχει όμως ένα μικρό πρόβλημα: κανείς δεν είχε προσεγγίσει την κίνηση της οριζόντιας βολής με διαδοχικά πλάγια επίπεδα.
Είχα προσεγγίσει το μήκος μιας παραβολικής καμπύλης με το μήκος μιας εγγεγραμμένης τεθλασμένης.
Οι χορδές ήταν γεωμετρικά τμήματα. Δεν μετατράπηκαν ποτέ σε υλικά πλάγια επίπεδα, δεν τοποθετήθηκε πάνω τους σώμα, δκαι δεν επιχειρήθηκε να υπολογιστεί μέσω αυτών ο χρόνος της οριζόντιας βολής.
Εσύ πήρες αυτές τις γεωμετρικές χορδές, τις μετέτρεψες σε πραγματικά πλάγια επίπεδα, έβαλες ένα δεύτερο σώμα να ολισθαίνει πάνω τους και απέδειξες —σωστά— ότι η κίνησή του δεν έχει τον ίδιο χρόνο με την οριζόντια βολή.
Δηλαδή απέδειξες το απολύτως αναμενόμενο: δύο διαφορετικά δυναμικά προβλήματα δεν περιγράφουν την ίδια κίνηση.
Μόνο που αυτό δεν «συμπληρώνει με τη φυσική» τον υπολογισμό που έγινε.
Απαντά σε ένα άλλο πρόβλημα, το οποίο δημιουργήθηκε εκ των υστέρων και δεν τέθηκε ποτέ.
Γι’ αυτό η σημερινή διευκρίνιση ότι «δεν έκρινα την ανάρτησή σου» με ξαφνιάζει.
Διότι τότε προς τι το αρχικό «η οριζόντια βολή δεν μπορεί να προσεγγιστεί…»;
Ποιον ακριβώς ισχυρισμό διόρθωνε;
Αν από την αρχή ήθελες απλώς να επισημάνεις ότι αν κάποιος αντικαθιστούσε τη βολή με πραγματική ολίσθηση πάνω σε πλάγια επίπεδα, θα έλυνε διαφορετικό πρόβλημα, θα συμφωνούσα αμέσως.
Είναι σωστό — και μάλλον αυτονόητο.
Από το «η οριζόντια βολή δεν μπορεί να προσεγγιστεί…» όμως περάσαμε τώρα στο «δεν έκρινα αυτό που έκανες, απλώς το συμπλήρωσα».
Η μετατόπιση αυτή της συζήτησης είναι εντυπωσιακή. Στη γυμναστική θα μπορούσε ίσως να χαρακτηριστεί κυβίστηση· στη Φυσική, ας αρκεστούμε να πούμε ότι πρόκειται για αλλαγή του αρχικού ισχυρισμού.
Και για να μη χαθεί ξανά το πραγματικό θέμα: η πρόταση που εξετάστηκε ήταν πολύ συγκεκριμένη. Αν ενώσουμε διαδοχικά σημεία της παραβολής με χορδές, το άθροισμα των μηκών τους αποτελεί προσέγγιση του μήκους της παραβολικής τροχιάς.
Αν υπάρχει ένσταση σε αυτό, ευχαρίστως να τη συζητήσουμε.
Αν δεν υπάρχει, τότε η απόδειξη ότι ένα σώμα πάνω σε πλάγια επίπεδα χρειάζεται διαφορετικό χρόνο από ένα βλήμα μπορεί να είναι σωστή Φυσική, αλλά εξακολουθεί να είναι σωστή απάντηση σε ερώτηση που δεν τέθηκε.
Θοδωρή νομίζω ότι διευκρινίστηκε το θέμα: Εσύ στην ανάρτησή σου αναφέρεσαι σε χορδές και εγώ στο σχόλιό μου σε πλάγια επίπεδα. Δηλαδή εσύ αναφέρεσαι σε γεωμετρία κι εγώ σε φυσική. Νομίζω ότι μετά και τα δικά σου σχόλια δεν υπάρχει παρανόηση.
Θοδωρή,
επιπλέον εσύ αναφέρεσαι στο μήκος της υπερβολής (γεωμετρία) κι εγώ στο σχόλιό μου στην οριζόντια βολή (φυσική). Δεν υπάρχει οποιοσδήποτε υπαινιγμός μου για τη γεωμετρία.
Υπενθυμίζω το σχόλιό μου:
“Η οριζόντια βολή δεν μπορεί να προσεγγιστεί με διαδοχικά πλάγια επίπεδα, όσο μικρά κι αν γίνουν. Περισσότερα εδώ: Μπορεί η οριζόντια βολή να προσεγγιστεί με διαδοχικά πλάγια επίπεδα;“
Θοδωρή σχετικά με το αποτέλεσμα της ανάρτησής μου γράφεις: “Αυτό είναι ένα αποτέλεσμα αυτονόητο. Πρόκειται για δύο διαφορετικά δυναμικά προβλήματα, με διαφορετικές δυνάμεις και διαφορετικές επιταχύνσεις. Δεν θα περίμενε κανείς να έχουν τον ίδιο χρονικό αποτέλεσμα.”
Διαφωνώ. Δες την ανάρτηση Οριζόντια βολή από κεκλιμένο επίπεδο και συνάντηση – Υλικό Φυσικής – Χημείας του Γιώργου Σφυρή: Έχουμε δύο διαφορετικά δυναμικά προβλήματα, με διαφορετικές δυνάμεις και διαφορετικές επιταχύνσεις και το χρονικό αποτέλεσμα είναι το ίδιο!