by 
Έχουμε μια σκάλα μήκους L. Έχουμε δύο τοίχους μεταξύ τους κάθετους, οι οποίοι είναι λείοι. Βάζουμε την σκάλα κατακόρυφα, δηλαδή σε επαφή με τον κατακόρυφο τοίχο, και την αφήνουμε να γλιστρήσει. Η σκάλα είναι μόνιμα σε επαφή και με τους δύο τοίχους, μέσω μικρών οδηγών στα άκρα της.
Όταν η σκάλα γίνει οριζόντια, η γωνιακή της ταχύτητα είναι:
(α) ω=√3g/L
(β) ω=√12g/L
(γ) Κάποια άλλη τιμή.
Το θέμα είναι αφιερωμένο στον κ. Πρόδρομο που είχε πρόσφατα αναρτήσει κάτι παρόμοιο εδώ.
Αυτό είναι μάλλον πολύ ευκολότερο από την άσκηση του κ.Πρόδρομου, αλλά πιστεύω ότι έχει ένα κάποιο ενδιαφέρον.
Η απάντηση είναι γραμμένη.
Ευχαριστώ Σπύρο για την αφιέρωση.
Για φέτος η ωραία άσκησή σου είναι εκτός ύλης, δυστυχώς! Για του χρόνου είναι μια καλή και δύσκολη άσκηση, κι αυτό γιατί οι υποψήφιοι δεν εκπαιδεύονται σε τέτοιου είδους ασκήσεις!
Η σωστή απάντηση είναι η α .
Να είσαι καλά.
Ευχαριστώ κ.Πρόδρομε.
Και εγώ το (α) βρίσκω. Ανέβασα πάνω μια λύση. Ίσως υπάρχει και ευκολότερη αλλά αυτή είναι η ασφαλέστερη νομίζω.
Πολύ καλή Σπύρο
Μία λύση χωρίς παραγώγους, ολοκληρώματα κτλ:
Το αριστερό άκρο Α της ράβδου έχει διαρκώς μηδενική οριζόντια ταχύτητα.
Όταν η ράβδος φθάνει σε οριζόντια θέση, το άκρο της Β οφείλει να έχει κι αυτό μηδενική οριζόντια ταχύτητα. (Αν το Β είχε οριζόντια ταχύτητα, η ράβδος θα επιμηκύνονταν αφού το Α έχει μηδενική οριζόντια ταχύτητα)
Τη στιγμή λοιπόν που η ράβδος γίνεται οριζόντια, το Β είναι ακίνητο. Μπορούμε να θεωρήσουμε πως τη στιγμή εκείνη έχουμε καθαρά στροφική κίνηση περί το Β.
Τώρα τα πράγματα είναι απλά. Η αρχική δυναμική ενέργεια οφείλει να είναι ίση με την τελική περιστοφική της ράβδου.
Πράγματι, το αποτέλεσμα είναι το (α)
Καλησπέρα κ.Γιάννη,
Ευχαριστώ!
Η λύση σας είναι εξαιρετική! Πολύ έξυπνος χειρισμός.
κ.Πρόδρομε αν κάποια στιγμή σας είναι εύκολο και βρείτε χρόνο, θα μπορούσατε να ανεβάσετε και την δική σας λύση για ποικιλία?
Καλησπέρα Σπύρο και Γιάννη.
Συμφωνώ με τη λύση του Γιάννη, με μια μικρή αλλαγή.
Σε κάθε θέση η ταχύτητα του Α δεν είναι κατακόρυφη. Κατακόρυφη είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας. Στο σχήμα, θεωρώντας την κίνηση της ράβδου σύνθετη, βλέπουμε τις ταχύτητες στην τυχαία θέση.
Τη στιγμή που η ράβδος γίνεται οριζόντια, πράγματι οι ταχύτητες είναι κατακόρυφες και δουλεύουμε με τον τρόπο που δίνει ο Γιάννης ή εναλλακτικά εκμεταλευόμαστε την σχέση υcm=ωR για το άκρο Β και έτσι συνδέουμε μεταφορική και στροφική κίνηση στην ΑΔΕ.
Καλησπέρα παιδιά.
Διονύση είναι σε επαφή με τον τοίχο, έτσι είναι κατακόρυφη η ταχύτητα του Α.
Του κέντρου μάζας η ταχύτητα δεν είναι κατακόρυφη. Διαγράφει κύκλο ακτίνας όσο το μισό μήκος της ράβδου.
Ήθελα να ρωτήσω τον Σπύρο αν έχουν διδαχθεί τα περί του περιγεγραμμένου κύκλου σε ορθογώνιο τρίγωνο.
Καλησπέρα κ.Διονύση,
Σύμφωνα με την λύση μου, το κέντρο μάζας έχει ταχύτητα που δεν είναι μόνο κατακόρυφη. Μεταβάλλει και την συνιστώσα στον άξονα x.
Άρα η ταχύτητα του Α θα είναι πράγματι συνδυασμός της ταχύτητας του κέντρου μάζας και της γραμμικής, όμως αν δεν κάνω λάθος, η συνισταμένη του ταχύτητα θα είναι κατακόρυφη για 2 λόγους:
(1) Δεν είναι λογικό να μην είναι κατακόρυφη γιατί το σημείο Α το βλέπουμε ότι κινείται κατακόρυφα μόνο.
(2) Αν η ταχύτητα του δεν ήταν κατακόρυφη, τότε θα παραβιάζονταν η συνέχεια στην συνάρτηση της ταχύτητας κάθε σωμάτιου. Άρα δεν θα μπορούσαμε να ορίσουμε καν την κινητική ενέργεια όπως ενός στερεού και πια δεν θα είχαμε καν μηχανικό στερεό.
Ελπίζω να μην κάνω κάπου λάθος. Μπορεί να μην βλέπω κάτι.
Η λύση του κ.Γιάννη, είναι πανέξυπνη!
Η δικιά μου είναι απλά πιο γενική.
Καλησπέρα κ.Γιάννη,
Στο σχολείο δεν έχουμε διδαχθεί περιγεγραμμένα ορθογώνια κτλ.
Μόνος μου, ναι.
Η ισότητα δύο γωνιών καθιστά ίσες τις γωνιακές ταχύτητες ράβδου και κέντρου μάζας περί την γωνία.
Επιτρέπει εύκολο υπολογισμό του χρόνου πτώσης μέσω του Graph και φυσικά εύκολο υπολογισμό της διεύθυνσης της ταχύτητας οιανδήποτε στιγμή.
Προσδίδει μια "τρομοκρατική" διάσταση στο θέμα:
-Γιατί δεν προσέχατε την Γεωμετρία και κάνατε μικρόθεν προετοιμασία για την Γ΄Λυκείου;
Ένα όμορφο ερώτημα θα ήταν:
Σχεδιάσατε την ταχύτητα του κέντρου μάζας την στιγμή που η ράβδος σχηματίζει γωνία 45 μοιρών με το έδαφος.
Μπορούμε να κάνουμε και μια άλλη λύση λιγότερο μαθηματική.
Η δυναμική ενέργεια μεταβλήθηκε κατά -mgl/2
Η κινητική στο τέλος θα είναι η κινητική του κέντρου μάζας και μια στροφική γύρω από το κέντρο μάζας.
Αν βρούμε την σχέση μεταξύ ταχύτητας κέντρου μάζας και γωνιακής, τελείωσε. Αυτές συνδέονται ως εξής:
Μια σκέψη:
Σπύρο έχει την διεύθυνση της ράβδου.
Λέω στους μαθητές μου να κάνουν σχήμα ακόμα και όταν τους ρωτάω πως λέγονται.