by
Καλημέρα σε όλους.
Ένα ερώτημα που δέχτηκα.
Έστω ότι από την σύνθεση δύο αρμονικών ταλαντώσεων της μορφής x1=1∙ημ(1,1πt) και x2=1∙ημ(0,9πt) στο S.Ι. προκύπτει κίνηση με απομάκρυνση όπως στο σχήμα.
Τη στιγμή t1=6s, όπου x=0 η ταχύτητα δεν θα έπρεπε να είναι μέγιστη;
Γιατί όταν την υπολογίζω δεν την βρίσκω μέγιστη;
Ας υπολογίσουμε την απομάκρυνση τη χρονική στιγμή t=6s αλλά και την ταχύτητα:
x=x1+x2=ημ(1,1π•6)+ημ(0,9π•6)=
=0,951-0.951=0
u=u1+u2=ω1Α1συν(ω1t)+ω2Α2συν(ω2t)→
u=1,1π•1•συν(1,1π•6)+0,9π•1•συν(0,9π•6)→
u=1,1π•(-0,309)+0,9π•(-0,309)→
u=0,2π•0,309=0,194m/s
Όπως βλέπουμε πράγματι η απομάκρυνση είναι μηδέν τη χρονική στιγμή t=6s αλλά η ταχύτητα διάφορη του μηδενός.
Επίσης αν το σωματίδιο εξαιτίας της ταλάντωσης 1 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα, εξαιτίας της ταλάντωσης 2 έχει αρνητική ταχύτητα ταχύτητα, που το μέτρο της είναι διαφορετικό . Κι αυτό γιατί έχουμε διαφορετική συχνότητα.
Είναι λάθος να υπολογίζουμε την ταχύτητα από τον τύπο
u=(ω1+ω2)/2•2Α•συν(ω1-ω2)t/2•συν(ω1+ω2)t/2
Καλημέρα παιδιά.
Ας δούμε την εικόνα:
Έχω κάνει με κόκκινο τη θέση και με μπλε την ταχύτητα.
Ας δούμε ότι όταν η ταχύτητα είναι μηδενική, η θέση έχει ακραία τιμή (φυσικά).
Όμως όταν η θέση είναι μηδέν η ταχύτητα δεν είναι τοπικά μέγιστη.
Δείτε το δεύτερο βελάκι που δείχνει τέτοια κατάσταση.
Κάτι τέτοιο είχε εντοπιστεί (από Θρασύβουλο και όχι μόνο) και στην φθίνουσα.
Εκεί δεν είχαμε μέγιστη ταχύτητα στη θέση x=0 αλλά σε κάποια άλλη κοντινή, στην οποία ΣF=0.
Και εδώ έχουμε ανάλογη κατάσταση. Στη θέση x=0 η ΣF δεν είναι μηδέν.
Καλημέρα σε όλους. Στο ερώτημα: «Γιατί όταν την υπολογίζω δεν την βρίσκω μέγιστη;», θα απαντούσα με ένα ερώτημα: γιατί να περιμένω στο x=0 να έχω μέγιστη ταχύτητα;
Καλημέρα Πρόδρομε, καλημέρα Γιάννη.
Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις.
Πρόδρομε συμφωνώ για την τελευταία εξίσωση, είναι λάθος και δεν πατά πουθενά.
Στους υπολογισμούς συμφωνώ, αλλά απάντηση στο αρχικό ερώτημα δεν βλέπω…
Γιάννη, το πας βαθιά 🙂
Λίγο πιο επιφανειακά!!!
Στις θέσεις που έχεις το βελάκι έχουμε μέγιστη ταχύτητα;
Ας το διατυπώσω λοιπόν διαφορετικά, αφήνοντας στην άκρη τις προσομοιώσεις και τις εξισώσεις.
Η πρόταση:
“Όταν το σώμα περνά από την θέση ισορροπίας x=0, έχει μέγιστη ταχύτητα, είναι σωστή ή λάθος;”
Ας δούμε θέση (κόκκινο) μαζί με επιτάχυνση (μαύρο):
Παρατηρείστε στα 5 s. Η θέση είναι μηδέν και η δύναμη (επιτάχυνση) είναι τοπικά μέγιστη!!
Παρατηρήστε στα 6s. Η θέση είναι μηδέν αλλά η δύναμη (επιτάχυνση) δεν είναι μηδέν. Έτσι η ταχύτητα δεν είναι τοπικά μέγιστη.
Καλημέρα Αποστόλη.
Αυτό είναι… unfair!
Άκου απάντηση με ερώτηση;
Η πρόταση:
“Όταν το σώμα περνά από την θέση ισορροπίας x=0, έχει μέγιστη ταχύτητα, είναι σωστή ή λάθος;”
Προφανώς είναι λάθος. Η σωστή πρόταση είναι:
Έχουμε μέγιστη ή ελάχιστη ταχύτητα εκεί όπου η επιτάχυνση έχει μηδενική τιμή.
Η επιτάχυνση υπολογίζεται είτε με παραγώγιση, είτε ως άθροισμα δύο επιταχύνσεων.
Η διαφορά των συχνοτήτων φέρνει έναν “αποσυντονισμό” των x και α. Μηδενίζεται το x αλλά όχι η α και το αντίστροφο.
Ας παρατηρήσουμε και κάτι άλλο.
Το φαινόμενο (x=0 και υ όχι ακραία) είναι έντονο κοντά στη στιγμή που μηδενίζεται το “πλάτος” του διακροτήματος.
Το φαινόμενο ατονεί κοντά στις στιγμές μεγιστοποίησης του “πλάτους” του διακροτήματος.
Όσα έστειλα δεν είναι προσομοιώσεις. Είναι ακριβείς γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων. Εξισώσεις έγραψα.
Θα περιμένω λίγο, για άλλες τοποθετήσεις φίλων, πριν πάρω θέση… και εξηγήσω γιατί έβαλα το θέμα στο φόρουμ.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Η ερώτηση του Αποστόλη είναι καίρια: γιατί η ταχύτητα να είναι μέγιστη όταν x=0 (όποτε δηλαδή το σώμα περνά από την θέση μηδέν του άξονα της κίνησης);
Αυτό ακριβώς θα απαντούσα σε όποιον ρωτούσε το παραπάνω, η δε απάντησή του θα αναδείκνυε την λανθασμένη ταύτιση της παραπάνω κίνησης με την ΑΑΤ.
Καλημερα και χρονια πολλα σε ολους.Οταν μια αρμονικη συναρτηση διαμορφωνεται απο μια αλλη οχι σταθερη συναρτηση, οπως σε αυτη την περιπτωση και οπως στην φθινουσα ταλαντωση του σχολικου οπου ενα εκθετικο διαμορφωνει μια αρμονικη συναρτηση, τοτε η διαμορφωμενη καμπυλη δεν εχει πια ολα τα χαρακτηριστικα μιας αρμονικης συναρτησης.Ας πουμε η κλιση δεν μεγιστοποιειται στα σημεια μηδενισμου και το τοπικο μεγιστο δεν συμβαινει στην μεση της αποστασης μεταξυ δυο μηδενισμων.
Ετσι η ταχυτητα δεν μεγιστοποιειται οταν χ=0 και ο χρονος που απαιτειται για να παει ο ταλαντωτης απ την θεση χ=0 στην θεση οπου υ=0 δεν ειναι ισος με τον χρονο που χρειαζεται για να επιστρεψει. Η αποδειξη αυτης της προτασης στην περιπτωση της φθινουσας ταλαντωσηςμονο με ενεργειακα επιχειρηματα και χωρις καθολου μαθηματικα ειναι και μια ωραια ασκηση γ λυκειου
Θα πρόσθετα (επικαλούμενος την πρώτη γραφική παράσταση που έστειλα) ότι την στιγμή 5s είναι και η θέση και η ταχύτητα μηδενικές!!
Αυτό είναι ιδιαίτερα θεαματικό σε επιδείξεις εξαναγκασμένης ταλάντωσης.
Βλέπεις να σταματάει το βαράκι και ενώ λες “τέρμα τα δίφραγκα” ξαναπαίρνει μπροστά και συνεχίζει για πολύ χρόνο (έχω δει 20 λεπτά διάρκεια μεταβατικών φαινομένων).
Φυσικά μέμφομαι εαυτόν για τις απαντήσεις που έδωσα.
Είναι βάρβαρες, άχαρες και αλγεβρικές.
Σκέφτηκα πολιτισμένη εξήγηση, φυσικά γεωμετρική.
-Ζήτωσαν τα στρεφόμενα!
Η πολιτισμένη εξήγηση που ανέφερα:
Ο κόκκινος εστιγμένος κύκλος είναι για τα στρεφόμενα θέσης (κόκκινο και μπλε).
Ο μπλε εστιγμένος για την ταχύτητα του μπλε (μωβ).
Ο πράσινος εστιγμένος για την ταχύτητα του κόκκινου(πορτοκαλί).
Βλέπουμε το κόκκινο και το μπλε αντίθετα διανύσματα. Άρα x=0.
Όμως το μωβ δεν εξουδετερώνεται από το πορτοκαλί. Το μαύρο παριστάνει το διανυσματικό τους άθροισμα, δηλαδή την ταχύτητα. Είναι εμφανές ότι η ταχύτητα δεν είναι μηδενική.