by Διαθέτουμε ένα συρμάτινο ομογενή δακτύλιο μάζας M και ακτίνας R. Η ροπή αδράνειας του δακτυλίου αυτού ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Κ και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζει ισούται με Iδ,Κ. Το πάχος του δακτυλίου είναι αμελητέο σε σχέση με την ακτίνα του.
Κόβουμε το δακτύλιο σε ένα σημείο του και με το ίδιο σύρμα φτιάχνουμε ένα τετράγωνο.
Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας Ιτ,Κ΄ του τετραγώνου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Κ΄ και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζει.
Δίνεται η ροπή αδράνειας λεπτής ομογενούς ράβδου μάζας m και μήκους α ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος στη ράβδο Ιρ= mα2/12.
Μιλτο προφανώς ίδια αναλογία προκύπτει κι αν κυκλωσουμε το τετράγωνο.
Καλησπέρα Άρη. Ακριβώς, διαφορετικές τιμές αλλά ίδιος λόγος.
Μίλτο πολύ ωραίο, “φρέσκο” θέμα. Σωστό επίπεδο δυσκολίας, αν και οι μαθητές έχουν προβλήματα με τη γεωμετρία, που βέβαια στο θέμα σου δεν είναι απαιτητική. Άνετα θα μπορούσε να είναι Β θέμα.
Ένα σχόλιο μόνο για το μέγεθος του τετραγώνου που νομίζω ότι στο σχήμα θα έπρεπε να είναι λίγο μεγαλύτερο. Δεν είναι σημαντικό. Το θέμα είναι πολύ καλό.
Γεια σου Στέφανε και ευχαριστώ για το σχόλιο.
Η άσκηση κατασκευάστηκε με την προοπτική να γίνει Β θέμα, οπότε χαίρομαι που κρίνεις ότι πετυχαίνει το στόχο της. Αναφορικά με τα “προβλήματα στη γεωμετρία”, θα ήθελα να υπενθυμίσω το Θέμα Γ των Μαθηματικών Προσανατολισμού του 2018 εδώ.
Ευχαριστώ και για την παρατήρηση με το σχήμα, όπου πρέπει η πλευρά α του τετραγώνου να ισούται περίπου με 1,57R. Βλέποντας όμως λίγο το σχήμα μου, είμαι σχετικά κοντά. Υπολογίζω περίπου α = 1,38R, δηλαδή απόκλιση 12%!!
Μίλτο το θέμα είναι πολύ καλό και όλα τα άλλα είναι περιττά.
Εγώ απλά είδα ότι το τετράγωνο δεν θα έπρεπε να χωράει στον κύκλο, αλλά είναι τελείως ασήμαντο.
Είναι ένα πολύ καλό, καλά ζυγισμένο και πρωτότυπο Β θέμα.
καλημέρα σε όλους
πολύ καλή, Μίλτο
(μια μικρή “οπτική” παρατήρηση
φαίνεται το τετράγωνο “μικρότερο” από τον κύκλο, να χωράει, δηλαδή, μέσα του
αλλά α=πR/2, άρα διαγώνιος του τετραγώνου δ=α(ριζα)2= πR/2(ρίζα)2=0,7πR>2R)
Καλημέρα Βαγγέλη.
Σε πρόλαβε παραπάνω ο εξίσου παρατηρητικός Στέφανος!
Ευχαριστώ για το σχόλιο!
ωχ, ναι, τώρα το είδα, Μίλτο,
και μάλιστα το έχει γράψει εχθές,
για να τον “τιμωρήσω”, άρα, του αναθέτω να δείξει ότι αν γίνει ισόπλευρο τρίγωνο δεν “χωράει”, ομοίως και αν γίνει κανονικό εξάγωνο
Βαγγέλη χαίρομαι που τα ξαναλέμε.
Αν και δεν προλαβαίνω ούτε να “βήξω” πες μου αν θέλεις ξανά τι πρέπει να δείξω. Γιατί νομίζω, διαισθητικά το λέω, ότι οποιοδήποτε εγγεγραμμένο πολύγωνο έχει περίμετρο μικρότερη του κύκλου. Άρα αν η περίμετρός του γίνει ίση με του κύκλου θα “περισσεύει”. Θα μας διαβάσει και κανένας μαθηματικός και θα γελάει. Νομίζω πιο σωστά μαθηματικά το εμβαδόν του κύκλου είναι πιο μικρό από κάθε κανονικό πολύγωνο με ίση περίμετρο.
γεια σου, Στέφανε,
εγώ μέχρι το 6γωνο φτάνω
η μεγάλη του διαγώνιος είναι α+α/2+α/2=2α=2.2πR/6=(π/3).2R>2R
για παραπάνω θα ρωτήσω τον φίλο μου τον Χαράλαμπο Τραμπάκουλα, ποιμένα το επάγγελμα,
αυτός τα ξέρει όλα…
Βαγγέλη και το κανονικό οκτάγωνο θα “περισσεύει” και γενικά κάθε πολύγωνο με ίδια περίμετρο. Απλά κατά λάθος είπα ότι το εμβαδό του κύκλου είναι πιο μικρό, ενώ ήθελα να πω πιο μεγάλο. Αν οι περίμετροι είναι ίσες αλλού “περισσεύει” ο κύκλος και αλλού το πολύγωνο.
Καλό βράδυ
Μίλτο, 14-3 παγκόσμια ημέρα της σταθεράς
Όμορφο θέμα
Καλημέρα σε όλους
Μίλτο πολύ ωραίο θέμα.
Βαγγέλη και Στέφανε,
έγραψα μερικά πράγματα
για τη σχέση περιμέτρου/εμβαδού
κύκλου και κανονικού ν-γώνου.
Να’στε καλά!
ευχαριστώ Θρασύβουλε,
ομολογώ δεν είχα “περπατήσει” τόσο πολύ το θέμα, αλλά
με την έννοια “χωράει”, προσωπικά δεν εννοώ αν είναι μικρότερο το εμβαδόν,
εννοώ αν τοποθετηθεί το πολύγωνο πάνω στο κύκλο ότι δεν προεξέχει κανένα τμήμα του εκτός κύκλου,
γι΄ αυτό έγραψα για τη μεγαλύτερη διαγώνιο του 6γώνου
(στο τρίγωνο στη θέση της είναι η πλευρά)
Καλησπέρα σε όλους.
Με ενδιαφέρον παρακολουθώ τις εορταστικές (Θοδωρής) και γεωμετρικές προεκτάσεις που έτυχε η άσκηση!