by Ένα ιδανικό ελατήριο έχει τον άξονά του κατακόρυφο και το άνω του άκρο στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο A (οροφή), όπως φαίνεται στο σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου αυτού ισούται με k=200N/m και το φυσικό του μήκος με l0=50cm. Η απόσταση του σημείου Α από το έδαφος ισούται με d=2m. Συνδέουμε στο κάτω ελεύθερο άκρο του ελατηρίου ένα σώμα Σ αμελητέων διαστάσεων και παρατηρούμε ότι όταν αυτό ισορροπεί, απέχει από το έδαφος απόσταση d0=1,4m. Δίνεται το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g=10m/s2. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.
Α. Να υπολογίσετε τη μάζα του σώματος Σ.
Μετακινούμε κατακόρυφα το σώμα Σ κατά 20cm πάνω από τη θέση ισορροπίας του και τη χρονική στιγμή που θεωρούμε ως αρχή μέτρησης των χρόνων t0=0 το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D=k.
Για τον κλασικό αυτό ταλαντωτή,
Β. να υπολογίσετε τη συχνότητα και την ενέργεια της ταλάντωσης.
Γ. Θεωρώντας ως θετική φορά την προς τα πάνω, να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απόστασης του σώματος Σ από το έδαφος και να κατασκευάσετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση για το χρονικό διάστημα 0 – T, όπου T η περίοδος της ταλάντωσης.
Αν θεωρηθεί ότι το σύστημα αποτελεί κβαντικό ταλαντωτή (ταλαντωτή που η ενέργειά του μπορεί να πάρει μόνο διακριτές τιμές)
Δ. να υπολογίσετε τον κβαντικό αριθμό n της ενεργειακής στάθμης στην οποία βρίσκεται ο ταλαντωτής.
Ε. Ποια είναι η μικρότερη ποσότητα ενέργειας που μπορεί να αφαιρεθεί από το σύστημα (λόγω τριβών);
Δίνεται η τιμή της σταθεράς του Plank h=6,6·10-34J·s. Το σχήμα δεν είναι υπό κλίμακα.
Ένας κλασικός ταλαντωτής θεωρείται κβαντισμένος
ή με κλικ εδώ.
Η άσκηση αποτελεί μία απόπειρα αξιοποίησης και εμπλουτισμού του παραδείγματος 7.1 του σχολικού.
Καλημέρα και καλή Κυριακή Μίλτο.
Χρήσιμη η προέκταση με την σύνδεση αατ και της λογικής της κβάντωσης της ενέργειας.
Και είσαι και “εντός”, αφού η αρχική φάση είναι π/2!
Καλημέρα Διονύση. Ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Τα ερωτήματα που έθεσα στον κβαντικό ταλαντωτή, είναι τα ερωτήματα του παραδείγματος. Βέβαια, όπως παρατηρεί και το σχολικό βιβλίο, οι απαντήσεις σε αυτά αποδομούν πλήρως αυτή την προσέγγιση.
Ένα ερώτημα π.χ. “Ποια ενέργεια πρέπει να αφαιρέσουμε από τον ταλαντωτή ώστε να βρεθεί στην κατάσταση με n = 1” φαντάζει αστείο!
Θα με ενδιέφερε πάντως εάν έχεις εσύ ή κάποιος άλλος συνάδελφος κάποιο επιπλέον ερώτημα στα πλαίσια του κβαντικού ταλαντωτή.
Μίλτο μπράβο. Το περίμενα αυτό το ζήτημα. Μια σύνθετη άσκηση που πολύ απέχει από τις “υπερπαραγωγές” του παρελθόντος. Μακάρι να εμπεδωθεί ένα τέτοιο κλίμα στα σχολεία.
Καλησπέρα Άρη.
Δυστυχώς για να εμπεδωθεί στα σχολεία, πρέπει πρώτα να εφαρμοστεί στις εξετάσεις…Χαίρομαι που σου άρεσε η άσκηση πάντως.
Καλησπέρα Μίλτο. Ωραία η αντιπαραβολή κλασικής-κβαντικής θεώρησης. Ένα ερώτημα θα μπορούσε να αφορά απορρόφηση κάποιου κβάντου, με ενέργεια μεγαλύτερη της ΔΕ.
Πληροφοριακά και εκτός ύλης, να θυμηθούμε ότι η υπόθεση του Planck τροποποιήθηκε ελαφρώς. Η ενέργεια ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή δίνεται από τον τύπο
Εn = (n + 1/2 )hf, n = 0, 1, 2, 3, . . .
Και πάλι, το n είναι ακέραιος (κβαντικός αριθμός). H χαμηλότερη ενέργεια δεν είναι μηδέν(!) αλλά
Εο = (1/2)hf (ενέργεια μηδενικού σημείου).
Άρα βρίσκουμε μόνο ενέργειες 0,5 hf ή 1,5 hf ή 2,5 hf ή 3,5 hf και ούτω καθεξής. Και δεν βρίσκουμε ποτέ ταλαντωτή με μηδενική ενέργεια. Αυτό δεν το περιμέναμε από το μοντέλο του κλασικού απλού αρμονικού ταλαντωτή, μιας μάζας σε ένα ελατήριο.
Γεια σου Ανδρέα. Καλά κάνεις και παραθέτεις τη σωστή έκφραση της ενέργειας του κβαντικού ταλαντωτή.
Καλησπέρα Μίλτο, ξεκινώντας να διαβάζω τα ..μετακλασικά θυμήθηκα
την όμορφη ανάρτησή σου.
Μια ιδέα για επιπλέον ερώτημα
-Το σώμα Σ πρόκειται να συγκρουστεί κεντρικά-ελαστικά με σώμα ίσης μάζας, το οποίο οριακά πριν την κρούση έχει ορισμένη ταχύτητα μέτρου υ (γνωστό), με φορά προς τα πάνω. Σε ποια θέση της τροχιάς πρέπει να γίνει η κρούση, ώστε ο ισοδύναμος κβαντικός ταλαντωτής, να βρεθεί μετά την κρούση στη μέγιστη δυνατή ενεργειακή στάθμη; Ποιος κβαντικός αριθμός αντιστοιχεί στο ενεργειακό άλμα;
Αν το αντιλαμβάνομαι σωστά, θέτουμε “κλασικά” ερωτήματα με περιτύλιγμα κβαντικού ταλαντωτή….. εφόσον έχουμε φροντίσει ο κβαντικός αριθμός n
να προκύπτει ακέραιος
Καλημέρα Θοδωρή και καλό Σαββατοκύριακο.
Ευχαριστώ για το σχολιασμό και τον εμπλουτισμό της άσκησης.
Ενδιαφέρον το επιπλέον «κλασικό» σου ερώτημα. Θέλουν προσοχή τα νούμερα απλά όπως λες.
Δεν ξέρω εάν έχει νόημα αντί της κρούσης, να μιλούσαμε για απορρόφηση φωτονίου στο σενάριο αυτό…