by 
Σε ένα γυμναστήριο, από δύο αρθρώσεις Α και Β στο ταβάνι, κρέμονται μια ράβδος και ένα χοντρό μη εκτατό σκοινί. Και τα δύο σώματα είναι ομογενή, έχουν την ίδια μάζα και το ίδιο μήκος. Ασκούμε στο κατώτερο άκρο τους οριζόντιες δυνάμεις F1 και F2.
Η ράβδος γίνεται κεκλιμένη και το σχοινί καμπυλώνεται έτσι ώστε το κατώτερο άκρο τους να απέχει κατακόρυφα κατά h από το σημείο πρόσδεσης, όπως στο παρακάτω σχήμα.
Ένα β΄ θεματάκι στην ισορροπία, μετά από ερώτηση μαθήτριας, αν το νήμα δεν είναι αβαρές.
Καλησπερα και παλι Ανδρεα,Απο που προκυπτει οτι το κεντρο μαζας του σχοινιου που ειναι το μεσον της καμπυλης του σχοινιου απεχει απο το σημειο B,οριζοντια αποσταση μιση της x2?,To υποθετεις στην εξισωση (3) χωρις να το δικαιολογεις.Ισχυει αυτο για καθε καμπυλη? Επισης στην λυση υποθετεις οτι τα συστηματα ισορροπουν ,κατι που δεν το αναφερεις στην εκφωνηση,Αρχικα νομισα οτι τα συστηματα ισορροπουν καθως κρεμονται ευθεια προς τα κατω και τα δυο και με την επιδραση των δυναμεων ανεβαινουν στις θεσεις που τα εχεις σχεδιασει .Επισης τα δυο πιθανα ενδεχομενα της ερωτησης ii) αποκλειουν το ενδεχομενο β) της ερωτησης i).
Aν ενας μαθητης με ρωτουσε τι συμβαινει αν ενα σχοινι εχει μαζα και καμπυλωνεται απο το ιδιο του το βαρος,θα του εδινα να διαβασει κατι τετοιο. https://plus.maths.org/content/matjhs-minute-catenary
Καλημέρα Ανδρέα, καλημέρα Κωνσταντίνε.
Ανδρέα πρωτότυπο θέμα, αλλά και πολύ καλό διδακτικό εργαλείο!
Όσον αφορά το σχήμα της καμπύλης, έχει δίκιο ο Κωνσταντίνος για την μορφή της αλυσίδας…
Για να μην μπλέξουμε με αλυσοειδείς καμπύλες, μπορεί να δοθεί στην εκφώνηση ότι το σχοινί παίρνει την μορφή τόξου ενός κύκλου…
Καλημέρα παιδιά.
Ας τα δέσουμε μαζι:
Το κεντρο βάρους του σχοινιού πέφτει μέσα στην πράσινη περιοχή (η απόδειξη εύκολη). Έτσι το βάρος του σχοινιου είναι πιο κοντά στην άρθρωση (πάνω δεξιά).
Kαλημερα Διονυση.Και τοξο κυκλου να ηταν παλι η λυση ειναι λαθος.Αν εχεις ενα τριγωνομετρικο κυκλο και θεωρησεις το κατω δεξια τεταρτοκυκλιο.τοτε η ευθεια που ειναι καθετη στον αξονα των συνημιτονων στο σημειο 1/2,.δεν κοβει αυτο το τεταρτοκυκλιο σε δυο ισα κομματια.Το αποτελεσμα της ασκησης ειναι μεν σωστο αλλα συμπτωματικα.Η λυση ειναι λαθος.Υπαρχει τροπος να γραψουμε μια σωστη δικαιολογηση αλλα απαιτει μια γεωμετρικη αισθηση που λιγοι μαθητες εχουν.
Η άσκηση εξαιρετική!
Γιαννη καλημερα.Σωστο αλλα δεν ειναι αποδειξη διοτι υπαρχουν σημεια της πρασινης περιοχης που βρισκονται πιο μακρια απο την αρθρωση.
Καλημέρα Κωνσταντίνε.
Σωστά θέλει κάτι παραπάνω η απόδειξη. Το θεώρημα του Πάππου;
Σκέφτομαι και άλλη απόδειξη:
Λόγω αύξησης της κλίσης το κέντρο βάρους δύο ακραίων στοιχειωδών τημάτων βρίσκεται δεξιότερα από το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος που τα ενώνει.
Μια απόδειξη:
Οι κατακόρυφες εστιγμένες ισαπέχουν.
Όσο δεξιότερα βρίσκεται μια “λωρίδα” τόσο περισσότερη μάζα περιέχει.
Έτσι το κέντρο μαζας βρίσεται δεξιότερα από την κεντρική λωρίδα και απέχει από την άρθρωση απόσταση μικρότερη από d/2.
Καλησπέρα συνάδελφοι. Σας ευχαριστώ για τα σχόλια και τις παρατηρήσεις σας.
Κωνσταντίνε έψαξα – λίγο είναι η αλήθεια, λόγω έλλειψης χρόνου – για τη θέση του κέντρου μάζας σε κάποιες μορφές καμπύλης. Σαφώς και το σχήμα της καμπύλης, έχει σημασία.
Αν είναι παραβολή, π.χ.
προκύπτει, xcm = 0,574m
Γενικά παρατήρησα ότι το cm πλησιάζει την άρθρωση. Δηλαδή xcm <= (1/2).x2
Άρα ενισχύεται η ανισότητα και η σωστή απάντηση α.
(Η μορφή που θα πάρει το σχοινί μάλλον είναι αλυσοειδής -catinary λέει στο link που επισυνάπτεις- οπότε θα μπορούσα να το προσθέσω στα σχόλια, για την πληρότητα.
Η επίλυση του (β) ερωτήματος του θέματος γίνεται σειριακά. Το (α) ερώτημα πρέπει να ερευνηθεί και να δικαιολογηθεί ανεξάρτητα του ερωτήματος (β).
Στις Πανελλαδικές μπορεί ο υποψήφιος να χρησιμοποιήσει ως απόδειξη σε (α) ερώτημα την απάντηση του ερωτήματος (β);
Διονύση, για να μην υπάρχει πρόβλημα, θα κάνω τη λύση, με ανισοτικές σχέσεις.
Γιάννη πρόσθεσα ήδη στην απάντηση, μια σκέψη όπως αυτή που λες, για να είναι κατανοητή και από υποψήφιους, δηλαδή:
Για το σχοινί, ο μοχλοβραχίονας της ροπής του βάρους δεν μπορεί να βρεθεί τόσο εύκολα, αλλά πλησιάζοντας την άρθρωση Β, η κλίση του σχοινιού επιβάλλει για τμήματα σχοινιού με την ίδια οριζόντια προβολή, όσο πιο κοντά βρίσκονται στον άξονα, τόσο μεγαλύτερη είναι η μάζα τους. Από αυτή την παρατήρηση, συμπεραίνουμε ότι ο μοχλοβραχίονας l2 της ροπής του βάρους του σχοινιού είναι μικρότερος από x2 / 2.
Όσοι συνάδελφοι είδαν το αρχείο πριν από τη συζήτηση αυτή, ας το ξανακοιτάξουν λόγω των αλλαγών…
Ανδρέα εμφανίζεται και παραπροϊόν:
Ποια εκ περιστροφής καμπύλη έχει μεγαλύτερο εμβαδόν;
Καλησπέρα Γιάννη. Εννοείς επιφάνεια ενός τρισδιάστατου σχήματος που δημιουργείται από περιστροφή καμπύλης γύρω από κάποιον άξονα;
Όπως
Ακριβώς αυτό.
Με χρήση του θεωρήματος Πάππου βγαίνει ότι ο κώνος που προκύπτει από την περιστροφή της ράβδου έχει μεγαλύτερο εμβαδόν από την επιφάνεια που προκύπτει από την περιστροφή του σχοινιού.