by 
Στο σχήμα φαίνoνται δύο σφαίρες που συγκρούονται πλάγια και ελαστικά μεταξύ τους. Οι μάζες τους είναι αντίστοιχα m1 και m2 και οι αρχικές ταχύτητές τους υ1 και υ2. Κατά τη διάρκεια της κρούσης οι σφαίρες ασκούν μεταξύ τους τις δυνάμεις F1 και F2, όπως φαίνονται στο σχήμα. Επιλέγουμε τον άξονα x κατά μήκος των δυνάμεων. Να αποδείξετε ότι, μετά την κρούση, για τις συνιστώσες υ1x‘ και υ2x‘ ισχύουν οι εξισώσεις της κεντρικής, ελαστικής κρούσης.
Απόδειξη
Στην παραπάνω γενική λύση θέτοντας m1 = m2, υ2x=0 και υ2y=0, προκύπτει η λύση του Προβλήματος 5.41, του 3ου Τεύχους του σχολικού βιβλίου.
Πολύ σημαντική παρατήρηση! Για οποιοδήποτε άλλο σύστημα αξόνων, εκτός από αυτό που επιλέξαμε, η Εξ.(2) δεν ισχύει, διότι η κινητική ενέργεια δεν είναι διανυσματικό μέγεθος για να αναλυθεί σε άξονες!!! Δηλαδή αν και η Εξ.(2) δείχνει ότι η κινητική ενέργεια διατηρείται ως προς τον συγκεκριμένο άξονα, αυτό δεν ισχύει ως προς κάθε άξονα.
Καλημέρα Ανδρέα, πολύ χρήσιμη και διδακτική η γενίκευση της πλάγιας ελαστικής κρούσης. Στην ελαστική κρούση μεταβολή ορμής έχουμε στη διεύθυνση της διακέντρου των σφαιρών κατά την κρούση, αφού δεν αναπτύσσονται τριβές μεταξύ των σφαιρών.
Ανάλογης αξίας και το σχόλιο που κάνεις:
” η κινητική ενέργεια δεν είναι διανυσματικό μέγεθος για να αναλυθεί σε άξονες!!!”
Ίσως λίγο παραπλανητικός ο τίτλος…..
Καλημέρα Ανδρέα και Θοδωρή.
Ανδρέα πρέπει να προσθέσουμε το “λείες σφαίρες”. Μια κρούση δεν είναι ελαστική όταν η κινητική ενέργεια πριν είναι ίση με την κινητική ενέργεια μετά αλλά όταν ο συντελεστής ελαστικότητας είναι μονάδα.
Τότε η απόδειξη απλουστεύεται:
Οι σφαίρες δεν δέχονται δυνάμεις στον άξονα y και το πρόβλημα καθορίζουν οι δυνάμεις στον άξονα x. Αυτές είναι ίδιες με αυτές που θα ήταν αν είχαμε κεντρική κρούση με τις x ταχύτητες. Οπότε στον x άξονα ισχύουν τα γνωστά.
Σε παλιότερα σχολικά βιβλία χρησιμοποιούσαν την “ανάλυση κρούσης” και ερχόταν αυτή ως απόρροια του ορισμού του συντελεστή κρούσης, συντελεστή που οριζόταν για τις x ταχύτητες.
Η ανάλυση αυτή είναι και ο μοναδικός τρόπος επίλυσης του προβλήματος αν οι σφαίρες δεν είναι λείες.
Καλημέρα Θοδωρή και Γιάννη και χρόνια πολλά!
Βεβαίως το πρόβλημα αφορά λείες σφαίρες.
Ωστόσο, επειδή δεν αναφέρεται οτιδήποτε σχετικό στο σχολικό βιβλίο, δεν θεώρησα αναγκαίο να το συμπεριλάβω. Καμιά φορά η επιπλέον πληροφορία δημιουργεί μεγαλύτερο πρόβλημα από αυτό που πάει να λύσει.
Ομοίως χρησιμοποίησα τον ορισμό που αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο: “Ελαστική είναι η κρούση στην οποία διατηρείται η κινητική ενέργεια του συστήματος των συγκρουόμενων σωμάτων.” Χωρίς οποιαδήποτε αναφορά σε συντελεστή ελαστικότητας κλπ.
Το Πρόβλημα 5.41 εισάγει το θέμα της πλάγιας, ελαστικής κρούσης, δηλαδή μιας κίνησης στο επίπεδο. Είναι λοιπόν δυνατό οι μαθητές να αναλύσουν την κίνηση σε δύο άξονες και να θεωρήσουν ότι ανεξάρτητα από την επιλογή των αξόνων, σε κάθε άξονα έχουμε μια κεντρική ελαστική κρούση. Ωστόσο αν και ορμή διατηρείται σε κάθε άξονα, ανεξάρτητα από την επιλογή των αξόνων, οι κρούσεις είναι ελαστικές μόνο όταν ο ένας άξονας διευθύνεται κατά μήκος των δυνάμεων μεταξύ των σωμάτων.
Γεια σου Ανδρέα.
Γράφεις:
Ωστόσο αν και ορμή διατηρείται σε κάθε άξονα, ανεξάρτητα από την επιλογή των αξόνων, οι κρούσεις είναι ελαστικές μόνο όταν ο ένας άξονας διευθύνεται κατά μήκος των δυνάμεων μεταξύ των σωμάτων.
Υποθέτω πως εννοείς ότι εφαρμόζονται οι γνωστοί τύποι μόνο στον άξονα της διακέντρου.
Διότι η κρούση είναι ελαστική αν ο συντελεστής κρούσης είναι μονάδα.
Συντελεστής κρούσης είναι το αντίθετο ενός λόγου των x σχετικών ταχυτήτων και ταυτόχρονα το πηλίκο δύο εμβαδών:
Του εμβαδού β προς το εμβαδόν α.
Το σχολικό βιβλίο επιλέγει μια κατανοητή και ταυτόχρονα σύντομη παρουσίαση του τι είναι ελαστική κρούση. Καλά κάνει. Και εμείς όμως καλά κάνουμε να λέμε αυτά.
Διότι:
Δυο χαλύβδινες σφαίρες παρουσιάζουν συντελεστή κρούσης σχεδόν μονάδα αλλά τριβή πολύ σημαντική. Σε μια πλάγια κρούση μεταξύ τους φυσικά δεν διατηρείται η ενέργεια. Πως θα λύσουμε το πρόβλημα;
Θα παραιτηθούμε από την επίλυσή του λέγοντας:
“-Δεν με ενδιαφέρει διότι δεν είναι για την τάξη.”;
Αν αφαιρέσουμε τον όρο “ελαστική κρούση” και τον αντικαταστήσουμε με την περίφραση “η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος των συγκρουόμενων σωμάτων διατηρείται” βλέπεις να υπάρχει πρόβλημα στα προβλήματα που αναφέρεται ο όρος “ελαστική κρούση”;
Παράδειγμα:
Η δεξιά είναι ακίνητη και έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα από την αριστερή.
Ο συντελεστής κρούσης είναι 1 και οι συντελεστές τριβής 0,5.
Ποια είναι η διεύθυνση της αριστερής μετά την κρούση;
Με ποια γωνιακή ταχύτητα περιστρέφεται μετά την κρούση;
Φυσικά δεν είναι για μαθητές.
Συμφωνώ ότι δεν περιλαμβάνεται στην εξεταστέα ύλη. Γι’ αυτό περιορίστηκα σε λείες σφαίρες.
Πρόβλημα υπάρχει αν θέλεις να υπάρξει.
Μια μπάλα ελαστικότατη πέφτει πάνω σε ελαστικότατο πλην τραχύ τοίχο.
Η γωνία ανάκλασης είναι:
Επιλέξατε και αιτιολογήσατε.
Εδώ τι να έλεγα;
Να έλεγα την περίφραση “Η ενέργεια διατηρείται”;
Δεν θα μπορούσα αφού δεν διατηρείται.
Πως θα δώσω στον άλλο να καταλάβει ότι η x ταχύτητα αναστρέφεται;
Υπάρχει σολομώντεια λύση:
Δεν βάζουμε τέτοια θέματα.
Βλέπω βέβαια το άλλο. Ασκήσεις πλάγιας κρούσης που λύνονται με αλγεβρικά παιγνίδια συνδυάζοντας διατηρήσεις ορμής και ενέργειας.
Κάποιες λύνονται πολύ εύκολα με ανάλυση σε άξονες. Κάποιες είναι στημένες έτσι ώστε να λύνονται ευκολότερα χωρίς ανάλυση, ώστε να αναφωνήσει ο κατασκευαστής της:
-Είδατε που σας έλεγα να μην κάνετε ανάλυση;
.
Μπορούμε να έχουμε διατήρηση της κινητικής ενέργειας του συστήματος και συγχρόνως να μην υπάρχει τριβή;
Μπορούμε.
Όταν δεν υπάρχει τριβή σε μια κρούση η κινητική ενέργεια διατηρείται όταν η κρούση είναι ελαστική.
Οπότε βάζουμε σε μαθητές μόνο θέματα στα οποία διατηρείται η ενέργεια;
Βάζουμε θέμα όπως:
Σώμα μάζας m συγκρούεται κεντρικά με ισόμαζο ακίνητο σώμα.
Αν η κρούση είναι ανελαστική τότε το κινούμενο:
Επιλέξατε και αιτιολογήσατε.
Το προηγούμενο θέμα με τη μπάλα και τον τοίχο παίζει;
Αν για “την μπάλα και τον τοίχο” χρειάζονται γνώσεις μη εξεταστέας ύλης, τότε δεν “παίζει”.
Τι σημαίνει “γνώσεις μη εξεταστέας ύλης”;
Στα θέματα των Εξετάσεων βλέπουμε τα “ακίνητα σημεία μεταξύ πηγών”. Αυτά τα θέματα είναι αλεξιπτωτιστές από βιβλία του εμπορίου και ασκησιολόγια συναδέλφων και όχι προβλήματα του σχολικού βιβλίου.
Όμως υπήρξαν ή και υπάρχουν.
Το σχολικό βιβλίο δεν αναλύει κρούσεις σε άξονες. Έτσι τέτοια θέματα είναι επίσης αλεξιπτωτιοτές. Ποιους αλεξιπτωτιστές δεχόμαστε;
Για την “μπάλα και τον τοίχο” ποια θεωρία πρέπει να γνωρίζει ο υποψήφιος;