by 
Μια μικρή σφαίρα μάζας m=0,7kg, η οποία θεωρείται υλικό σημείο, συγκρατείται στη θέση Α του σχήματος, δεμένη στο άκρο οριζόντιου νήματος μήκους d=0,5m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί στο σημείο Ο. Η σφαίρα έχει επίσης δεθεί στο άκρο ενός ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου φυσικού μήκους lο=0,2m και σταθεράς k=100Ν/m. Το άλλο άκρο Γ του ελατηρίου δένεται σε σώμα Σ, μάζας Μ, το οποίο εμφανίζει με το επίπεδο συντελεστές τριβής μ=μs.=0,5. Σε μια στιγμή αφήνεται η σφαίρα να κινηθεί, οπότε φτάνοντας στη θέση Β, όπου το νήμα γίνεται κατακόρυφο (και το ελατήριο οριζόντιο), κόβουμε το νήμα, ενώ η σφαίρα συνεχίζει την κίνησή της σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο (χωρίς να έχουμε φαινόμενο κρούσης…).
- Να υπολογιστεί η αρχική επιτάχυνση της σφαίρας, μόλις αφεθεί να κινηθεί στην θέση Α.
- Να αποδειχθεί ότι η σφαίρα έχει μέγιστη μηχανική ενέργεια κατά την κίνησή της στο άκρο του νήματος, στη θέση Ρ, όπου ο άξονας του ελατηρίου, περνά από το Ο. Να υπολογιστεί η μέγιστη αυτή μηχανική ενέργεια της σφαίρας, θεωρώντας το οριζόντιο επίπεδο, ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας.
- Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου, τη στιγμή που κόβουμε το νήμα.
- Αφού βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει η σφαίρα στο οριζόντιο επίπεδο, να υπολογιστεί η ελάχιστη μάζα του σώματος Σ, ώστε να μην ολισθήσει.
Δίνεται g=10m/s2, ενώ √2≈1,4
Καλημέρα Διονύση
Πολύ δυνατό θέμα σαν τεστ κοπώσεως θα έλεγα. Ιδιαίτερα όμορφα και διαδακτικά τα πρώτα δύο ερωτήματα.
Καλημέρα Χρήστο και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Λες να είναι ένα “τεστ κοπώσεως” ; 🙂
Καλημέρα παιδιά. Διονύση ξεκινάς με την απλή ιδέα ενός τετραγώνου και το ξεδιπλώνεις όμορφα. Ιδιαίτερη προσοχή θέλει το 2ο ερώτημα, όπου ο λόγος για τη μηχανική ενέργεια της σφαίρας και όχι του συστήματος σφαίρα – ελατήριο.
Γεια σου Αποστόλη και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Το ερώτημα για την μηχανική ενέργεια της σφαίρας, μπήκε και για έναν επιπρόσθετο λόγο, όπου σκεφτόμουν να το βάλω στο τέλος σε ένα πρόσθετο ερώτημα.
Τελικά αποφάσισα να το αφήσω και όποιος το ανακάλυπτε… χαλάλι του.
Η μηχανική ενέργεια της σφαίρας στη θέση Ρ, είναι ίση και με την ενέργεια ταλάντωσής της, στο τέλος της περιπέτειας….
Συνήθως έχουμε ένα σώμα στην θέση ισορροπίας του και ονομάζουμε “ενέργεια ταλάντωσης” την ενέργεια που του δίνουμε για να το εκτρέψουμε από αυτήν και έτσι, αφήνοντάς το, να εκτελέσει αατ.
Εδώ το πήγαμε το σώμα, μια καλοκαιρινή βόλτα, πριν το προσγειώσουμε να εκτελέσει αατ!!! 🙂
Έτσι η “ενέργεια ταλάντωσης” είναι ίση με την μηχανική ενέργεια του συστήματος, με την σφαίρα στην θέση Α, ίση με την μηχανική ενέργεια της σφαίρας στη θέση Ρ, ίση με το άθροισμα Κ+U, τη στιγμή που κόβεται το νήμα και ξεκινά η ταλάντωση.
Καλημερα Διονυση.Πολυ ωραια ασκηση φαινεται,και δυσκολη.Δεν εχω δει ακομα την λυση που δινεις ουτε εχω κανει δικους μου υπολογισμους,Μου ηρθε η απορια πως ειμαστε σιγουροι οτι το νημα παραμενει συνεχως τεντωμενο? Πως δηλαδη ξερουμε οτι η κεντρομολος δυναμη απαιτει και καποια μη μηδενικη(εως το λιγοτερο μηδενικη) ταση νηματος? Μαλλον εχεις ρυθμισει τα νουμερα ωστε αυτο να συμβαινει αλλα αυτος που λυνει την ασκηση πρεπει να το διερευνησει?
Καλό μεσημέρι Κωνσταντίνε και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Το ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του στην θέση Ρ, όταν ο άξονάς του περνά από το Ο.
Σε κάθε άλλη θέση έχει επιμήκυνση (η ευθεία είναι η συντομοτέρα οδός! ), συνεπώς ασκεί δύναμη η οποία κατευθύνεται στο σημείο Γ και “τεντώνει” παραπάνω το νήμα.
Να συμπληρώσω κάτι ακόμη.
Το δεύτερο ερώτημα καθοδηγεί το μαθητή, να διαπιστώσει ότι το ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του, στη θέση Ρ. Από εκεί και πέρα πρέπει να “δει” ότι σε κάθε άλλη θέση έχει μεγαλύτερο μήκος…
Εύκολο; Μπορεί και όχι, για αυτό συμφώνησα με τον Χρήστο παραπάνω, ο οποίος μίλησε για “τεστ κοπώσεως” !
Ναι Διονυση σωστα το εχεις γραψει στην λυση που δινεις δεν το ειχα δει με συγχωρεις. Νομιζω οτι ενα σχολιο στην λυση ως προς αυτο το σημειο που εχει σχεση με την απαιτουμενη κεντρομολο ωστε να πραγματοποιηθει η κινηση αυτη ,δεν θα ηταν περιττο. Σε ευχαριστω.
Γεια σου Διονύση, πολύ ωραία άσκηση όπως και ενδιαφέρουσες είναι και οι προεκτάσεις της που αναφέρθηκαν στα σχόλια. Ευχαριστούμε πολύ!
Καλό μεσημέρι Παύλο και από εδώ,
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Άργησα λίγο να δω το σχόλιό σου, αλλά… κάλλιο αργά παρά ποτέ!
“Κάλλιο αργά παρά ποτέ”.
Αφού έγραψα την φράση, είπα να δω από πού προέρχεται.
Διαβάζω:
Ένα από τα χαρακτηριστικά του Έλληνα είναι το γεγονός ότι δε βιάζεται να κάνει κάποια δουλειά…. Πώς βγήκε η φράση;
Αν θέλουμε να βρούμε την απάντηση σε αυτό, θα πρέπει να πάμε πίσω. Πολύ πίσω. Θα πρέπει, βασικά, να πάμε στην αρχαιότητα, τότε που οι Έλληνες σίγουρα ήταν πιο… ορεξάτοι από ό,τι σήμερα και μάλλον δεν έχαναν τον χρόνο τους άσκοπα πριν κάνουν αυτό που πρέπει. Όχι όλοι τουλάχιστον και σίγουρα όχι ο Σωκράτης, ο μεγάλος Έλληνας φιλόσοφος, ο οποίος φέρεται να είναι ο «πατέρας» αυτής της φράσης. Αυτή, τουλάχιστον, είναι η επικρατέστερη εκδοχή και λέει το εξής:
Ο Σωκράτης αποφάσισε σε προχωρημένη ηλικία να μάθει να παίζει κιθάρα, γεγονός που προκάλεσε έκπληξη στους φίλους του, οι οποίοι για τον πειράξουν τον ρώτησαν: «Γέρων ων κίθαριν μανθάνεις;». Δηλαδή «θα μάθεις κιθάρα αν και γέρος;».
Η απάντηση, λοιπόν, του φιλοσόφου, δεν μπορούσε παρά να είναι… φιλοσοφική: «Κάλλιον οψιμαθής ή αμαθής παραμένειν». Δηλαδή «καλύτερα να μάθω κάτι έστω και καθυστερημένα παρά να μείνω αμαθής».
Αυτή όμως, όπως προαναφέραμε, είναι η επικρατέστερη εκδοχή, γιατί υπάρχει και άλλη και είναι αυτή που έχει δώσει ο συγγραφέας και δημοσιογράφος Τάκης Νατσούλης.
Σύμφωνα με αυτόν, η φράση «κάλλιο αργά παρά ποτέ» προέρχεται από έναν συγγραφέα της αρχαιότητας, ο οποίος φέρεται να είχε πει το εξής: «Του μεν ουν μηδ’ όλως το βράδιον αφικέσθαι άμεινον». Φράση που μεταφράζεται ως εξής: «Αν δεν μπορείς να κάνει τη δουλειά που σου ανέθεσαν μέσα στον χρόνο που πρέπει, τότε είναι καλύτερα να την κάνεις έστω και καθυστερημένα παρά να μην την κάνεις καθόλου».
Καλησπέρα Διονύση.
Και εγώ “μετά και από το αργά” να πω ότι μου άρεσε η άσκηση.
Με τα σημεία της βέβαια για τα οποία και εσύ έγραψες “Τελικά αποφάσισα να το αφήσω και όποιος το ανακάλυπτε… χαλάλι του.”
Αλλά αξίζει τον κόπο να προσπαθήσει ο μαθητής.
Καλό βράδυ Άρη.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Καλησπέρα Διονύση, στα πρώτα χρόνια του ylikonet στις ετικέτες κάθε άσκησης
έμπαινε και ο προτεινόμενος από τον συγγραφέα βαθμός δυσκολίας, με κλίμακα
1-2-3. Προτείνω να επανέλθει ξανά ο προτεινόμενος βαθμός δυσκολίας, με κλίμακα 1-2-3-4-5, ώστε να γίνεται καλύτερη ταξινόμηση.
Αυτό θα λειτουργήσει υπέρ των μαθητών. Φαντάσου μαθητή που έχει κάνει τα βασικά των ταλαντώσεων, να πέσει σε αυτή την άσκηση…. δεν θα ξέρει από πού να φύγει…
Ενώ βλέποντας ως βαθμό δυσκολίας το (5) θα καταλάβει πως δεν πρέπει να απογοητευθεί….
Η άσκηση είναι εξαιρετικής σύλληψης.
Θα απέφευγα το ερώτημα (3) και θα ζητούσα το πλάτος της ταλάντωσης . Έτσι θα αναγκαζόταν να σκεφτεί πως η ενέργεια του συστήματος σφαίρα-ελατήριο που διατηρείται στη διάρκεια της κίνησης είναι η ολική ενέργεια του ταλαντωτή.
Ας δούμε τώρα και μια υποθετική ερώτηση μαθητή
-Γράφετε πως η αντίδραση της δύναμης που ασκεί το ελατήριο στη σφαίρα, ασκείται στο άκρο του ελατηρίου από τη σφαίρα.
Η αντίδραση της δύναμης που ασκεί το νήμα στην σφαίρα, πού ασκείται;
Στην Α’ Λυκείου μου είπαν πως το αβαρές νήμα απλά μεταφέρει τη δύναμη και η αντίδραση της δύναμης που ασκεί στο σώμα, ασκείται στο άλλο σώμα που βρίσκεται στο άλλο άκρο του, δηλαδή στο σημείο σύνδεσης (Ο).
Αφού και το ελατήριο είναι ιδανικό, χωρίς μάζα, γιατί δεν λέμε το ίδιο;;;
Επίσης, τώρα που το ξανασκέφτομαι…
Δεν θα ζήταγα τη μέγιστη μηχανική της σφαίρας….
Τι γίνεται με τις ενέργειες στο σύστημα σφαίρα-ελατήριο;;;
Το άθροισμα τριών προσθετέων διατηρείται…. Προφανώς όταν ο ένας από τους τρεις
μηδενιστεί το άθροισμα των άλλων δύο θα γίνει μέγιστο…
Όμως έχουμε μηχανική συστήματος Κ+U(βαρ)+U(ελ)=σταθερό
Δεν θα επέλεγα τον όρο μηχανική σφαίρας….
Θα εξέταζα το ίδιο, ζητώντας
“την κινητική της σφαίρας στη θέση Ρ, όπου ο άξονας του ελατηρίου, περνά από το Ο”, η οποία αν δεν έχω κάνει λάθος προκύπτει 6,95J