by 
Διαθέτουμε μια ζυγαριά με ίσους βραχίονες χωρίς σταθμά και 9 κέρματα απολύτως ίδια εξωτερικά και γνωρίζουμε ότι ένα από τα κέρματα είναι διαφορετικό, δηλαδή ότι η μάζα του είναι διαφορετική από τη μάζα των υπολοίπων, μεγαλύτερη ή μικρότερη, όμως, δεν το γνωρίζουμε .
Πώς θα βρούμε το κάλπικο κέρμα με το πολύ τρεις ζυγίσεις;
Μια Σπαζοκεφαλιά, Καλοκαίρι είναι, μην χαλαρώνουμε εντελώς,
από το βιβλίο “182 Σπαζοκεφαλιές”, που κυκλοφόρησε πρόσφατα, περισσότερα στον δικτυακό τόπο του συγγραφέα που συμβαίνει να γνωρίζω “προσωπικά”…
(Αν οι διαχειριστές κρίνουν ότι παραβιάζονται όροι του δικτυακού τόπου, να αφαιρεθεί η ανάρτηση)
Καλημέρα Βαγγέλη. Εάν είμαστε τυχεροί, θα βρούμε το κάλπικο κέρμα και με την πρώτη!
Τα χωρίζουμε σε δύο ομάδες των τεσσάρων κερμάτων και ένα μόνο του. Βάζουμε την μία τετράδα στη μία μεριά του ζυγού, την άλλη τετράδα στην άλλη και παρατηρούμε. Εάν ισορροπήσουν, το κάλπικο είναι αυτό που περίσσεψε.
Εάν δεν είμαστε τυχεροί στην 1η ζύγιση, τότε έχουμε 8 ύποπτα κέρματα και 1 γνήσιο.
Παίρνουμε 3 από τα ύποπτα και τα ζυγίζουμε με άλλα 3 από τα ύποπτα. Εάν ο ζυγός ισορροπεί, τότε έχουμε 7 γνήσια και 2 ύποπτα (τα οποία βρίσκονται εκτός ζυγού).
Στην 3η ζύγιση, παίρνουμε το κέρμα που είχαμε αρχικά ξεχωρίσει ως γνήσιο και το ζυγίσουμε με ένα από τα 2 ύποπτα. Στην περίπτωση αυτή, θα το ξεχωρίσουμε με τρεις ζυγίσεις.
Κάπου μπερδεύτηκα! Ίσως επανέλθω αργότερα!
Συνεχίζω λίγο τη διερεύνηση 4-4-1, ελπίζοντας ότι επιλύει το γρίφο!
Στη 2η ζύγιση, ο ζυγός δεν θα μπορούσε να αλλάξει φορά. Έτσι, είτε θα ισορροπούν οι ομάδες των τριών (όπως είπαμε σε προηγούμενο σχόλιο), είτε θα γέρνει ο ζυγός προς την ίδια ομάδα που έγερνε και μετά από την 1η ζύγιση και το κάλπικο νόμισμα θα είναι βαρύτερο.
Πλέον έχουμε 6 ύποπτα κέρματα και 3 γνήσια γνωρίζοντας ότι το κάλπικο είναι βαρύτερο.
Στην 3η ζύγιση, παίρνουμε δύο από την ομάδων των βαρύτερων και τα ζυγίζουμε μεταξύ τους. Εάν ο ζυγός ισορροπεί, το τρίτο που αφήσαμε έξω είναι το κάλπικο. Εάν δεν ισορροπεί, τότε το κάλπικο είναι το βαρύτερο.
“γνωρίζοντας ότι το κάλπικο είναι βαρύτερο”
όχι, Μίλτο, μπορεί το διαφορετικό να είναι ελαφρύτερο, από την άλλη μεριά του δίσκου
(το πρόβλημα κυκλοφορούσε παλιά ως δύσκολο, παρόλο που δινόταν με νομίσματα, λίρες, που ένα ήταν βαρύτερο από τα άλλα, αυτό θεωρώ ότι είναι πολύ πιο δύσκολο)
Δεν πήρα ως δεδομένο ότι είναι βαρύτερο, αλλά είχα σκεφτεί ότι εάν ήταν ελαφρύτερο θα προέκυπτε στις προηγούμενες περιπτώσεις…ίσως κάπου το χάνω, θα το δουλέψω κι άλλο.
Νομίζω ότι η περίπτωση 3-3-3 δουλεύει πιο καθαρά.
Χωρίζουμε τα κέρματα σε ομάδες των τριών. Έστω η Ομάδα Α με τα κέρματα {1, 2, 3}, η Ομάδα Β με τα κέρματα {4, 5, 6} και η Ομάδα Γ με τα κέρματα {7, 8, 9}.
Ζυγίζουμε την Ομάδα Α με την Ομάδα Β. Εάν ο ζυγός ισορροπεί, τότε τα 6 κέρματα αυτά είναι γνήσια και το κάλπικο βρίσκεται στην Ομάδα Γ. Για να βρούμε ποιο είναι κινούμαστε όπως παρακάτω:
Ζυγίζουμε το 7 με το 8. Εάν ο ζυγός ισορροπεί, τα 7 και 8 είναι γνήσια ενώ το 9 είναι το κάλπικο και έχουμε και μία ζύγιση ακόμη ώστε να βρούμε εάν είναι βαρύτερο ή ελαφρύτερο. Για το σκοπό αυτό ζυγίσουμε το 9 με το 8 (που είναι γνήσιο) και έτσι βλέπουμε εάν το κάλπικο 9 είναι βαρύτερο ή ελαφρύτερο.
Εάν στη ζύγιση των 7 και 8 υπάρξει ανισορροπία, τότε το κάλπικο είναι ένα εκ των 7 ή 8. Στην περίπτωση αυτή, ζυγίσουμε ένα από αυτά με κάποιο γνήσιο (π.χ. το 1) και βλέπουμε πιο θα είναι. Δηλαδή, εάν μεταξύ 7 και 8 το 7 είναι ελαφρύτερο και μεταξύ 7 και 1 το 7 είναι πάλι ελαφρύτερο, τότε το 7 είναι το κάλπικο και είναι ελαφρύ. Ενώ εάν μεταξύ 7 και 8 το 7 είναι ελαφρύτερο και μεταξύ 7 και 1 έχουμε ισορροπία, τότε το 8 είναι το κάλπικο και είναι βαρύτερο.
Ελπίζω να επανέλθω και με τους υπόλοιπους συνδυασμούς!
Έστω ότι κατά τη ζύγιση της Ομάδας Α με την Ομάδα Β προέκυψε ανισορροπία. Και ας υποθέσουμε ότι η Α είναι πιο ελαφριά.
Τότε, το κάλπικο είναι είτε στην Ομάδα Α και είναι ελαφρύ, είτε στην Ομάδα Β και είναι βαρύτερο (τα κέρματα της Γ είναι όλα γνήσια).
Τώρα, φτιάχνουμε την Ομάδα Δ με τα κέρματα {1,4} και την Ομάδα Ε με τα κέρματα {2, 5} και ζυγίζουμε τις ομάδες Δ και Ε. Εάν έχουμε ισορροπία, τότε το κάλπικο είναι είτε το 3 (ελαφρύ), είτε το 6 (βαρύ). Για να το ξεχωρίσουμε, θα το συγκρίνουμε με κάποιο γνήσιο (π.χ. το 7 από την Ομάδα Γ). Έτσι, εάν συγκρίνοντας το 3 με το 7 έχουμε ισορροπία, τότε το 6 είναι το κάλπικο και είναι βαρύ, ενώ εάν συγκρίνοντας το 3 με το 7 το 3 είναι ελαφρύ, συμπεραίνουμε ότι το 3 είναι κάλπικο και είναι ελαφρύ.
Έστω ότι στη σύγκριση της Ομάδας Δ με την Ομάδα Ε προκύπτει ανισορροπία και η Δ είναι πιο ελαφριά. Τότε, το 1 είναι το κάλπικο και είναι το ελαφρύ, ή το 5 είναι το κάλπικο και είναι βαρύ. Για να το ξεχωρίσουμε, θα τα συγκρίνουμε με ένα γνήσιο όπως και προηγουμένως. Εάν στη σύγκριση του 1 με το 7 προκύψει ισορροπία, τότε το 5 είναι το κάλπικο και είναι βαρύ, ενώ εάν στη σύγκριση του 1 με το 7 το 1 είναι ελαφρύ, τότε το 1 είναι το κάλπικο και είναι ελαφρύ.
Υπάρχει συμμετρία και σε άλλες περιπτώσεις (π.χ. η Ομάδα Ε να είναι να είναι πιο ελαφριά από τη Δ ή αρχικά η Α να είναι η βαριά).
Καλοτάξιδες οι σπαζοκεφαλιές σου Βαγγέλη!
Δεν πρόσεξα Βαγγέλη ότι είναι από βιβλίο σου.
Καλοτάξιδο, θα το αναζητήσω!
Καλησπέρα Βαγγέλη.
Τα χωρίζουμε σε τριάδες Α,Β,Η.
Ζυγίζουμε Α καιΒ
α) ισορροπίαπ άρα στοΓ η κάλπικη
Από την Γ ζυγίζουμε δύο
i) ισορροπία αρα είναι η τρίτη
ii) Διαφορετικά ζυγίζουμε μια από τις δύο με μια από την Α ή Β . Αν έχουμε ισορροπία είναι η άλλη από τις δύο.Αν δεν έχουμε τότε είναι αυτή που ζυγισαμε
β) Δεν έχουμε ισορροπία,τότε έστω Α βαρύτερη τριάδα.
Δεύτερη ζύγιση.
Ζυγίζουμε την Α με την Γ
i)Α σε ισορροπία με την Γ
Τότε η ζητούμενη τριάδα είναι η Β (ελαφρότερη)
Παίρνουμε δυο από την Β και τις ζυγίζουμε.Αν έχουμε ισορροπία τότε είναι η άλλη αν δεν έχουμε τότε τότε είναι η ελαφροτερη
ii)A δεν ισορροπεί με την Γ .
Τότε ακολουθούμε ακριβώς την ίδια διαδικασία όπως πριν(περιπτωση (βi).
Ευχαριστώ Διονύση και Μίλτο, ταξιδεύω για Ζαχάρω Ηλείας με λεωφορείο, το αμάξι μου είναι ακίνητο εκεί, χωρίς μπαταρία, ίσως και άλλα τινά, 6 μήνες που ταλαιπωρήθηκα σε νοσοκομεία και γιατρούς, ευτυχώς γλύτωσα άλλο “ταξίδι”…
Σιδερένιος Βαγγέλη. Καμιά άλλη περιπέτεια υγείας από δω και πέρα.
Καλοτάξιδο το βιβλίο σου.
Ευχαριστώ Άρη, μακάρι, να είσαι καλά κι εσύ
Καλημέρα σε όλους.Να προσθέσω μια ερώτηση.
Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός νομισμάτων που με Χ προσπάθειες μπορούμε να επιλέξουμε το διαφορετικό νομισμα( χωρίς να ξέρουμε αν είναι βαρύτερο ή ελαφρότερο , με αυτόν τον τρόπο ζύγισης;
Απάντηση:
Χ^2
Γιατί;