by 
Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκονται τρεις σφαίρες Α, Β, Γ ίδιας ακτίνας, όπως φαίνονται στο σχήμα. Οι μάζες των σφαιρών είναι m1 = m, m2 = k⸳m (k > 0), m3 = 4m αντίστοιχα. Εκτοξεύουμε την Α οριζόντια προς τα δεξιά, με ταχύτητα μέτρου υ0, ώστε να συγκρουστεί κεντρικά και ελαστικά με τη σφαίρα Β. Στη συνέχεια η Β συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τη Γ.
i) Για να αποκτήσει η σφαίρα Γ τη μέγιστη δυνατή τιμή στο μέτρο της ταχύτητάς της μετά την κρούση με τη Β, πρέπει η σταθερά k να έχει τιμή
α) 1 β) 2 γ) 4
Βρείτε τη σωστή απάντηση και δικαιολογείστε την.
Για την τιμή του k, που βρήκατε
ii) να υπολογίσετε τις τελικές αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων των σφαιρών, σε συνάρτηση με την υ0.
iii) πόσες κρούσεις θα γίνουν;
Καλημέρα Ανδρέα.
Έχει πρωτοτυπία!
Θα είναι αποδεκτή η λύση κατά την οποία
ένας εκτελεί τη διαδικασία εφαρμογής των “τύπων”
για κ=1 ή 2 ή 4 ,βρίσκοντας την ταχύτητα της Γ και συγκρίνοντας
βλέπει την κ=2 ως ορθή ;
Καλησπέρα Ανδρέα . Προτότυπη και όμορφη.Λιγο δύσκολη για τους μαθητές.
Επειδή οι περισσότεροι από αυτούς το πόρισμα που χρησιμοποιείς δεν το θυμούνται(ή δεν το ξέρουν, παρ´όλο που κάνει την λύση σου πιο όμορφη) και επειδή την έλυσα με ανίσωση (που είναι περισσότερο εξοικειωμένοι . από τα μαθηματικά της Β´) την δίνω παρακάτω
Καλησπέρα συνάδελφοι. Σας ευχαριστώ.
Παντελή έτσι όπως το γράφεις την ξεκίνησα. Έπαιζα με τρεις σφαίρες m, 2m, 4m. Μετά είπα να βάλω άγνωστη τη μάζα της Β.
Από τη στιγμή που δίνονται οι απαντήσεις, θεωρώ ορθή λύση την αντικατάσταση των τιμών του k.
Γιώργο πολύ ωραία λύση. Οι μαθητές της Υγείας, θα την εύρισκαν όμως πιο εύκολη, αν σκεφτούμε ότι έχουν αφήσει τα Μαθηματικά σχεδόν από την Α΄, όπου διδάσκονται οι ανισότητες 2ου βαθμού;
Πρωτότυπη και με ωραία λύση Ανδρέα. Το θεώρημα της ανίσωσης αριθμητικού και γεωμετρικού μέσου το διδάσκονταια οι μαθητές στην Α Λυκείου “ξώφαλτσα” όταν από την ανίσωση (√α – √β)² ≥ 0 με ανάπτυξη της ταυτότητας πολύ εύκολα προκύπτει:
(α + β) / 2 ≥ √(αβ). Είναι φανερό ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν α = β.
Σε αντίθεση με το σχολικό πρόγραμμα, η ανισότητα αυτή αποτελεί θεμελιώδες εργαλείο για τους μαθητές που προετοιμάζονται για τους διαγωνισμούς της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (ΕΜΕ) (Θαλής, Ευκλείδης, Αρχιμήδης).