by 
Ένα σώμα μάζας 0,5kg είναι δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=18Ν/m κι εκτελεί ΑΑΤ με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,2∙ημ(ωt) (μονάδες στο S.Ι.) σε λείο οριζόντιο επίπεδο,γύρω από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου Ο.
i) Να βρεθούν οι εξισώσεις της κινητικής, της δυναμικής και της ενέργειας ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο και να παρασταθούν γραφικά στους ίδιους άξονες.
ii) Το ίδιο σύστημα τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση με την επίδραση εξωτερικής περιοδικής δύναμης, ενώ ταυτόχρονα δέχεται από το περιβάλλον του και δύναμη απόσβεσης της μορφής Fαπ=-bυ. Μετά την αποκατάσταση σταθερού πλάτους ταλάντωσης, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας Ο, λαμβάνοντας κάποια στιγμή ως αρχή μέτρησης του χρόνου, έχουμε την απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας Ο, να υπακούει στην εξίσωση x=0,2∙ημ(5t) (S.Ι.).
α) Να βρεθούν οι εξισώσεις υ=υ(t) και α=α(t) της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.
β) Να βρεθούν οι εξισώσεις της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας σε συνάρτηση με το χρόνο και να παρασταθούν γραφικά στους ίδιους άξονες.
γ) Το άθροισμα Κ+U των δύο παραπάνω ενεργειών παραμένει σταθερό στη διάρκεια της ταλάντωσης; Να σχολιάστε το συμπέρασμα που καταλήγετε παράλληλα με την πρόταση ότι «στη διάρκεια της εξαναγκασμένης ταλάντωσης η ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα (μέσω της εξωτερικής δύναμης) αντισταθμίζει τις απώλειες (που οφείλονται στις δυνάμεις απόσβεσης) και έτσι το πλάτος της ταλάντωσης διατηρείται σταθερό».
ή
Μια απλή αρμονική ταλάντωση και μια εξαναγκασμένη
Μια απλή αρμονική ταλάντωση και μια εξαναγκασμένη
Καλημέρα Διονύση
Άριστη προσέγγιση που μπορεί να περάσει στους μαθητές. Βέβαια δεν είναι για όλους. Αλλά για κάποιους που θέλουν το κάτι παραπάνω στο τι συμβαίνει.
Κρίσιμο σημείο το ότι η δυναμική ενέργεια συνδέεται με τη δύναμη επαναφοράς που στη συγκεκριμένη περίπτωση ήταν αυτή του ελατηρίου. Να συμπληρώσω η δυναμική ενέργεια σχετίζεται με τη συνισταμένη των συντηρητικών δυνάμεων όπως αναφέρεις σε μια άλλη ανάρτηση με κατακόρυφο ελατήριο.
Φέτος έχω μαθητή πάρα πολύ καλό που στις εξαναγκασμένες και στις φθίνουσες δυσκολεύτηκε περισσότερο καθώς με αυτά που γράφει το σχολικό δεν μπορούσε να χωνέψει πως γίνεται όλο αυτό.
Καλημέρα Διονύση και χρόνια πολλά .
Πρόβλημα προς μελέτη για το ενεργειακό στις εξαναγκασμένες για τις οποίες έχεις αρκετές αναρτήσεις ,όπως και άλλοι συνάδελφοι.
Έχω τώρα ένα πρόβλημα και το θέτω. Παρατηρώ πως η ιδιογωνιακήσυχνότητα ω0=6 r/s και ωδ=6 r/s άρα συντονισμός .Δεν θα έπρεπε Umax=Kmax ;.
Αν λοιπόν δεν σφάλω πρέπει μάλλον στη U το D το πρόβλημα.
Καλό μεσημέρι Χρήστο και Παντελή, χρόνια πολλά για την πατρίδα και σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Προφανώς το θέμα μας είναι η διαφοροποίηση μιας ΑΑΤ και μιας εξαναγκασμένης. Και οι δύο αρμονικές αλλά ενέργεια ταλάντωσης έχουμε μόνο στην πρώτη.
Έχει αναδειχθεί το θέμα πολλές φορές, εδώ κάνω μια νέα προσπάθεια, από άλλη "πλευρά" (συνήθως χρησιμοποιούμε την ισχύ για να φτάσουμε στο ίδιο συμπέρασμα.
Παντελή οι πράξεις σωστές αλλά η παρατηρητικότητα πάσχει!
Το ω του διεγέρτη είναι 5 και όχι 6r/s, οπότε δεν υπάρχει συντονισμός.
Καλησπέρα. Η ενέργεια που προσφέρεται στο σώμα από τον διεγέρτη αντισταθμίζει τις απώλειες λόγω της δύναμης απόσβεσης γι αυτό το πλάτος παραμένει σταθερό.
Πρόταση που 'εχει μπει στις πανελλήνιες και ο μαθητής υποχρεούται να απαντήσει <σωστό>.
Καλά κάνεις και το επισημαίνεις.
Η πρόταση ειναι σωστή μόνο αν συμπληρωθεί με την φράση < όταν ωδ = ω0>
ή με την φράση < σε χρονικό διαστημα t = k*T/2 οπου k = 1,2,…
Φτού μου!
Ενώ με την ευκαιρία πήγα και σε παλιότερες επί του θέματος ,συνέβη αυτό ακριβώς που λες, …μπέρδεμα στη τελική παρατήρηση και να σκεφτείς πως αρχικά ήθελα να σχολιάσω ότι είναι Κmax<Umax αφού ωδ< ω0 κ.λ.π.
Να’σαι καλά
Καλημέρα Διονύση.
Εξαιρετικά διδακτικό θέμα, αλλά και προσιτό στους μαθητές.
Καλημέρα Διονύση
Συμφωνώ με τον Αποστόλη.
Εξαιρετικό θέμα αλλά και προσιτό στους μαθητές.
Καλημέρα σε όλους.
Πολύ ωραίο πρόβλημα Διονύση, και πολύ ωφέλιμο για ξεκαθάρισμα εννοιών.
Καλημέρα Διονύση.
Πολύ καλό, για να δούμε ότι ο ορισμός "ενέργεια ταλάντωσης" θέλει προσοχή. Επίσης υπάρχουν χρονικά διαστήματα που ο διεγέρτης απορροφά ενέργεια από το ταλαντούμενο σύστημα. Η ταχύτητα δεν βρίσκεται σε φάση με την δύναμη διέγερσης και υπάρχουν χρονικά διαστήματα που είναι αντίρροπες.
Καλημέρα Διονύση.
Το σχόλιο μου αφορά τα θέματα ενεργειακής φύσης στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις. Σε πρόσφατη ανάρτησή μου, που την παραθέτω εδώ κατέληξα στο εξής συμπέρασμα: το άθροισμα κινητικής και δυναμική ενέργειας στην εξαναγκασμένη ταλαντωση με απόσβεση, δεν είναι εν γένει σταθερό και είναι μόνο στην περίπτωση που η συχνότητα f είναι ίση με f0=ω0/2π.
Θέλω να ρωτήσω:
Καλησπέρα Νίκο και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Γράφοντας μια ανάρτηση, βάζεις κάποιο στόχο με σκοπό την “θεραπεία” μιας εσφαλμένης αντίληψης. Προσωπικά δεν γράφω ή τουλάχιστον προσπαθώ να μην γράφω ασκήσεις για τις ασκήσεις ή για να κάνω δύσκολη τη ζωή σε κάποιους μαθητές. Το πρόβλημα με τις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις (όπως και στα κύματα) είναι ότι αντιμετωπίζονται όπως και η αατ οπότε ο μαθητής καλείται να εφαρμόσει τη διατήρηση της ενέργειας ταλάντωσης…
Άρα η ανάρτηση είχε σκοπό να δείξει ότι αυτό δεν ισχύει.
Δεν ισχύει δηλαδή ότι ένα σώμα σε οριζόντιο επίπεδο, με την επίδραση μιας σταθερής οριζόντιας δύναμης εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Η πρόταση είναι λανθασμένη.
Και είναι λανθασμένη ασχέτως αν εσύ μου “θυμίσεις” ότι στην περίπτωση που η δύναμη έχει το ίδιο μέτρο με την τριβή, αυτό μπορεί να συμβεί. Ναι, μπορεί να συμβεί, αλλά δεν είναι ένα γενικό συμπέρασμα…
Το τι συμβαίνει στην περίπτωση του συντονισμού, το έχω δείξει σε άλλες αναρτήσεις, αλλά όταν στοχεύεις να ξεριζώσεις μια αντίληψη, δεν την ενισχύεις, προβάλλοντας την εξαίρεση…
Δες λοιπόν τι έχω γράψει παλιότερα:
Εξαναγκασμένη Ταλάντωση και ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ.
Ας δούμε και μια εξαναγκασμένη…
Ενέργειες στην Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Μόνο για καθηγητές.
Όσον αφορά τι πρέπει να απαντήσει ο μαθητής, δεν είναι αυτό το ερώτημα που με απασχολεί. Το ερώτημα τίθεται αντίστροφα. Όχι τι πρέπει να απαντήσει ο μαθητής, αλλά τι πρέπει να ρωτήσει η ΚΕΕ. Αν δώσει λάθος ερώτημα η ΚΕΕ (και το έχει κάνει επανειλημμένα), προπονείται ο μαθητής να μαθαίνει να δίνει λάθος απαντήσεις!
Αλλά για να δούμε με απλά μαθηματικά δεν μπορεί να απαντήσει ένας μαθητής στο παραπάνω θέμα, στην περίπτωση του συντονισμού;
Απλά όταν αντικαταστήσει τη δυναμική ενέργεια Umax= 1/2 kA2, στο συντονισμό k=mω2, οπότε:
Umax= 1/2 kA2= 1/2 mω2Α2= 1/2mυmax2 = Kmax.
Ας μου πεις τι δύσκολο έχει να μάθει ο μαθητής…
Αποστόλη, Δημήτρη, Νίκο (Κορδ), Νίκο (Διαμ) σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Διονύση καταλήγεις στο σωστό συμπέρασμα. Το K+U δεν είναι σταθερό. Αλλά, για να προκύψει, χρειάστηκαν προχωρημένα μαθηματικά που δεν είναι γνωστά στο μαθητή. Άρα δεν πρέπει να μπαίνουν σε εξετάσεις τέτοια θέματα. Όμως μπαίνουν! Και μάλιστα η ορθή απάντηση θεωρείται ότι είναι το ΝΑΙ, ότι δηλ. το K+U στην εξαναγκασμένη ταλάντωση είναι σταθερό ως προς t. Φαίνεται μερικοί το πτυχίο το έχουν πάρει νύχτα.
Καλησπέρα Νίκο.
Πράγματι υπάρχουν και χρονικά διαστήματα που η εξωτερική δύναμη, μπορεί και να αφαιρεί ενέργεια από το ταλαντούμενο σύστημα.
Το είχα προβάλλει σε μια προηγούμενη ανάρτηση εδώ.
Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση, Διονύση, η ενέργεια δεν είναι σταθερή στο συντονισμό. Είναι σταθερή όταν ω=ω0. Λόγω της απόσβεσης η συχνότητα συντονισμού, η ωr, είναι διαφορετική από την ω0.
Εσύ έδειξες ότι στη συχνότητα ω0 ισχύει Umax=Kmax. Αρκεί αυτό; πως προκύπτει ότι στην ω0 η κινητική και η δυναμική ενέργεια είναι σε αντίθετη φάση;