by 
Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, στη θέση Ο, όπως στο (α) σχήμα.
i) Να εξηγήσετε γιατί το ελατήριο έχει το φυσικό μήκος του.
ii) Εκτρέπουμε το σώμα προς τα δεξιά κατά d και αφήνοντάς το, αυτό εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Στο (γ) σχήμα φαίνεται το σώμα σε μια τυχαία θέση.Γράφοντας την εξίσωση της απομάκρυνσης x=Α∙ημ(ωt+φ0), ποια ακριβώς είναι η απομάκρυνση x; Να σχεδιαστεί το διάνυσμά της πάνω στο σχήμα.
iii) Σε μια άλλη περίπτωση το σώμα εκτρέπεται κατά d προς τα δεξιά, αλλά αφήνοντάς το, αυτό εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, αφού δέχεται δύναμη απόσβεσης της μορφής F=-bυ. Στη θέση Κ (σχήμα (δ)) Fελ=Fαπ, όπου Fελ το μέτρο της δύναμης από το ελατήριο και Fαπ το μέτρο της δύναμης απόσβεσης. Μας δίνεται τώρα η εξίσωση της απομάκρυνσης, η οποία έχει τη μορφή:
x= Α0∙e-Λt∙ημ(ωt+φ0)
Ποια είναι τώρα η απομάκρυνση x, με βάση το διπλανό σχήμα (ε), το διάνυσμα x1 ή το διάνυσμα x2;
iv) Το ίδιο σώμα, τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση, με την επίδραση οριζόντιας εξωτερικής δύναμης της μορφής Fεξ=F0∙ημ(ωδt), ενώ ταυτόχρονα δέχεται και δύναμη απόσβεσης Fαπ=-bυ. Αν η απομάκρυνση του σώματος δίνεται από την εξίσωση x=Α∙ημ(ωδt+φ0), τότε η απομάκρυνση x αντιστοιχεί:
α) στο διάνυσμα x1, β) στο διάνυσμα x2, γ) σε άλλο διάνυσμα
του σχήματος (ε).
v) Ποια θα ήταν η απάντηση στο προηγούμενο ερώτημα, αν η εξωτερική δύναμη είχε τη μορφή:
Fεξ=F0∙συν(ωδt);
ή
Η απομάκρυνση στις ταλαντώσεις
Η απομάκρυνση στις ταλαντώσεις
Διονύση, μέσα σε δύο σελίδες κάλυψες ποιοτικά πολλά χιλιόμετρα ταλαντώσεων. Θα σταθώ περισσότερο στα σχόλια, τα οποία έχουν εξαιρετική χρησιμότητα και για τους μαθητές.
Αφιερωμένη στο Νίκο, ο οποίος έθεσε το ερώτημα, από πού μετράμε την απομάκρυνση;
Για επιβεβαίωση, κατεβάστε ένα αρχείο i.p. από εδώ.
Με χρήση των εργαλείων ελέγχου:
μπορείτε να καθορίσετε αν θα έχετε μια ΑΑΤ ή μια φθίνουσα, μια σταθερή δύναμη ή δύναμη που μεταβάλλεται ημιτονοειδώς ή συνημιτονοειδώς.
Γεια σου Τάσο.
Μου ετέθη το ερώτημα και αυτή είναι η απάντηση που έδωσα. Το ερώτημα ήταν από συνάδελφο, αλλά δεν ήθελε μαθηματικά και εξισώσεις. Ήθελε απάντηση για μαθητές…
Διονύση καλησπέρα.
Θυμάμαι συζητήσεις επί συζητήσεων για τη Θ.Ι. η θέση σου γνωστή σχετικά με τη Θ.Ι. όπως και για τη δύναμη επαναφοράς κτλ. Ας θυμίσω μια δική σου. Μια πλάκα σε φθίνουσα ταλάντωση.
Καλησπέρα Διονύση.
Η απομάκρυνση στις ταλαντώσεις είναι ένα διάνυσμα θέσης με αρχή την αρχική θέση ισορροπίας , χ=0 ,όπου
ΣF συντηρητικών = 0 . Αυτό εισπράττω από την ανάρτηση σου και σωστά.
Τώρα αν στο σώμα δρουν και χρονοεξαρτώμενες δυνάμεις πχ F=-bυ υπάρχουν θέσεις μετρούμενες πάλι από την χ=0 εκατέρωθεν αυτής από τις οποίες περνά το σώμα κινούμενο προς την χ=0 όπου ΣF = 0.
Θα μου άρεσε για να είμαι συνεπής με την θέση
ισορροπία άρα ΣF=0 και αντίστροφα αυτές τις θέσεις να τις ονομάζουμε διαδοχικές θέσεις ισορροπίας.
Καλησπέρα Χρήστο και Γιώργο. Σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Χρήστο, πράγματι δεν είναι η πρώτη φορά που ασχολούμαστε με το θέμα και προσωπικά έχω γράψει αρκετές φορές "θέματα" που εμπλέκονται οι παραπάνω ιδέες.
Γιώργο, λες:
"για να είμαι συνεπής με την θέση
ισορροπία άρα ΣF=0 και αντίστροφα αυτές τις θέσεις να τις ονομάζουμε διαδοχικές θέσεις ισορροπίας."
Ακριβώς αυτό ήθελα να αποφύγω, αφού το ερώτημα (και η συζήτηση που ακολούθησε τηλεφωνικά…) του συναδέλφου με έπεισε για ένα πράγμα:
Η σύγχυση μετά από τις συζητήσεις και η ταύτιση της συνθήκης ΣF=0 με τον όρο "θέση ισορροπίας" δημιουργεί μπλέξιμο μεγάλο.
Προσωπικά έχω πειστεί ότι ο όρος "θέση ισορροπίας" έχει πολύ βαθύτερο νόημα από την συνθήκη ΣF=0 η οποία μπορεί να ισχύει στιγμιαία με βάση τις ασκούμενες δυνάμεις, συνθήκη που δεν συνδέεται με κάποιες ιδιότητες χωρικές, ιδιότητες της θέσης.
Έτσι νομίζω ότι είναι ασφαλές να μείνουμε στην παλιά εκδοχή:
Η θέση ισορροπίας, είναι η θέση αυτή, που αν αφεθεί ένα σώμα θα ισορροπήσει και θα παραμείνει ακίνητο "για πάντα", εκτός και αν κάποια μελλοντική στιγμή, ασκηθεί πάνω του κάποια άλλη δύναμη, που θα διαταράξει την υπάρχουσα ισορροπία.
Διονύση διαβάζοντας την τελευταία πρόταση σου αν κατάλαβα καλά αποσυνδέεις την έννοια ισορροπία από την δύναμη. Αν πράγματι είναι έτσι μου δημιουργείται μια απορία.
Ένας αδρανειακός παρατηρητής βλέπει ένα σώμα να μην αλλάζει θέση ως προς αυτόν επομένως λέει ότι ισορροπεί
Άλλος αδρανειακός παρατηρητής βλέπει το ίδιο σώμα να κινείται με σταθερή ταχύτητα επομένως λέει δεν ισορροπεί.
Τρίτος παρατηρητής πέφτει ελεύθερα. Βγάζει ένα αναπτήρα τον αφήνει δίπλα του και τον βλέπει συνεχώς δίπλα του επομένως δεν αλλάζει θέση ως προς αυτόν άρα λέει ισορροπεί.
Έχουν και οι τρεις δίκιο?
Όλοι Γιώργο έχουν δίκιο!!!
Τα σώματα ισορροπούν.
Οι θέσεις ισορροπίας, πρέπει να δούμε αν υπάρχουν και ποιες δικαιούται να ονομαστούν θέσεις ισορροπίας.
Η πρότασή μου (δεν την λέω πρώτη φορά…) είναι να αποδεσμεύσουμε τους δύο όρους.
Αν για κάποιο αδρανειακό παρατηρητή ΣF=0, το σώμα ισορροπεί (γι΄αυτόν)
Θέση ισορροπίας, είναι μια θέση στο χώρο… Ποια είναι αυτή; Αυτή που ανέφερα παραπάνω:
Η θέση ισορροπίας, είναι η θέση αυτή, που αν αφεθεί ένα σώμα θα ισορροπήσει και θα παραμείνει ακίνητο “για πάντα”, εκτός και αν κάποια μελλοντική στιγμή, ασκηθεί πάνω του κάποια άλλη δύναμη, που θα διαταράξει την υπάρχουσα ισορροπία.
Καλημέρα Γιώργο. Επειδή το χθεσινοβραδυνό μου σχόλιο το έγραψα με το ένα μάτι στην άλλη οθόνη, βλέποντας το Αγγλία-Κολομβία, να συμπληρώσω. Γράφεις:
“αν κατάλαβα καλά αποσυνδέεις την έννοια ισορροπία από την δύναμη. ”
Σε καμιά περίπτωση δεν είπα ή δεν άφησα να εννοηθεί κάτι τέτοιο. Ένα σώμα ισορροπεί όταν ΣF=0 και αυτό ανεξάρτητα από το ποιες δυνάμεις ασκούνται και ποια η φύση τους.
Δεν μιλάω για ισορροπία ενός σώματος, αλλά για την θέση ισορροπίας και ποια θέση “δικαιούται” αυτόν τον χαρακτηρισμό.
Για παράδειγμα: Ένα σώμα ηρεμεί στο κάτω άκρο νήματος (εκκρεμές) . Ισορροπεί και βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του Ο και προφανώς ισχύει Τ=mg ή ΣF=0. Το σώμα εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας του και αφήνεται να κινηθεί εκτελώντας φθίνουσα ταλάντωση.
Τη στιγμή που το σώμα περνά από την θέση Ο, ισορροπεί; Προφανώς όχι. Δέχεται δύναμη απόσβεσης.
Η πρότασή μου είναι να συνεχίσουμε να ονομάζουμε τη θέση Ο, ως θέση ισορροπίας, ανεξάρτητα από το αν κατά τη διάρκεια της φθίνουσας, τις στιγμές που το σώμα περνά από το Ο ισορροπεί ή όχι.
Το ότι στη διάρκεια της φθίνουσας υπάρχουν χρονικές στιγμές όπου ΣF=0 (άρα έχουμε ισορροπία…) δεν προσφέρει κάτι, αντίθετα θολώνει την εικόνα οδηγώντας σε σφάλματα, να αποδώσουμε τον χαρακτηρισμό “θέσεις ισορροπίας” στις αντίστοιχες θέσεις από τις οποίες διέρχεται το σώμα.
Καλημέρα Διονύση , λίγο πριν την έναρξη της διδασκαλίας και εν τάχει,
Ποιός ο ορισμός της θέσης ηρεμίας;
Στην φθίνουσα σε κάθε περίοδο έχουμε δύο θέσεις εκατέρωθεν της x=0, όπου ΣF=0 (x= -bυ/D), αν αυτές ονομάζονται θέσεις ισορροπίας, τότε στην ερώτηση τύπου Σ-Λ "στην φθίνουσα ταλάντωση η θέση ισορροπίας μεταβάλλεται" θα συμφωνήσουμε όλοι;
Επειδή οι ημέρες είναι δύσκολες( διδακτικές υποχρεώσεις +ικανοποίηση της απαίτησης για το που θα κινηθούν οι βάσεις του University of West Attica εν όψει της συμπλήρωσης των μηχανογραφικών…) θα προσπαθήσω να παρακολουθήσω την συνέχεια των σχολίων.
Καλή συνέχεια.
Υ.Γ Διονύση σου έθεσα τα ερωτήματα διότι λόγω χρόνου δεν μπορώ να συμμετέχω στις συζητήσεις, έτσι είτε το θέλεις είτε όχι αποτελείς το back office
Καλημέρα παιδιά.
Υπήρξε συζήτηση το 2010. Την είχε προκαλέσει ο Πάνος Μουστάκας αν θυμάμαι καλά.
Σ' αυτήν είχε τεθεί ξανά το θέμα.
Η θέση μου σήμερα είναι ότι εξυπηρετεί η θέση x = 0 να είναι η θέση εκείνη στην οποία η δυναμική ενέργεια του απλού αρμονικού ταλαντωτή είναι η ελάχιστη. Στην θέση αυτήν,( καθόλου συμπτωματικά), αν αφεθεί χωρίς ταχύτητα, θα παραμείνει.
Η δυναμική ενέργεια καθορίζεται από τις συντηρητικές μόνο δυνάμεις.
Προφανώς το πρόβλημα σχετίζεται με παρατηρητή. Ένας παρατηρητής βλέπει ταλάντωση, άλλος όχι. Υποχρέωση καθορισμού θέσης ισορροπίας έχει αυτός που βλέπει ταλάντωση.
Στην ερώτηση που έθεσε ο Ξενοφών δεν θα υπάρξει συμφωνία, όπως δεν υπήρξε και τότε.
Καλημέρα Ξενοφώντα.
"Στην φθίνουσα σε κάθε περίοδο έχουμε δύο θέσεις εκατέρωθεν της x=0, όπου ΣF=0 (x= -bυ/D), αν αυτές ονομάζονται θέσεις ισορροπίας, τότε στην ερώτηση τύπου Σ-Λ "στην φθίνουσα ταλάντωση η θέση ισορροπίας μεταβάλλεται" θα συμφωνήσουμε όλοι;"
Δεν ξέρω αν θα συμφωνήσουμε όλοι, προσωπικά όμως έχω πειστεί ότι η παραπάνω θεώρηση δημιουργεί σύγχυση.
Και αν αυτό το διαπιστώνω σε επαφή μου με συναδέλφους, φαντάζομαι πόση σύγχυση μπορεί να προκαλεί σε μαθητές.
Φαντάζομαι δηλαδή να πεις σε ένα μαθητή ότι η θέση δεξιά της x=0 η θέση (x= -bυ/D) είναι θέση ισορροπίας και στη συνέχεια ότι το x δεν είναι η απομάκρυνση "από τη θέση ισορροπίας" αλλά από τη θέση x=0!!! Και τι ακριβώς είναι αυτή η θέση; Και γιατί απομάκρυνση και όχι "κρυμαπόνση", αφού άλλη είναι η απόσταση από "τη θέση ισορροπίας";
Είναι περιττό το να υπενθυμίσω πως σε μία φθίνουσα ταλάντωση η ταχύτητα δεν μεγιστοποιείται στην θέση x =0.
Το αναφέρω πάλι διότι μπορεί κάποιος να μην έχει παρακολουθήσει όλα τα σχετικά με τις φθίνουσες, ή ακόμα να παρακολουθεί μαθητής την παρούσα συζήτηση. Αυτό περιπλέκει την συζήτηση, είναι όμως άλλο θέμα.
Καλημέρα Γιάννη.
Η συζήτηση που αναφέρεις, ήταν μια πρώτη κουβέντα πάνω στο θέμα, που εξελίχτηκε άσχημα, λαμβάνοντας προσωπικές διαστάσεις και αντιπαραθέσεις…
Στην φάση εκείνη, είχα πάρει την αντίθετη θέση, αφού ο ισχυρισμός – "ταυτότητα" ότι ισορροπία ≡ ΣF=0 ≡ θέση ισορροπίας, μου φαινόταν πολύ ισχυρός.
Έκτοτε έχει κυλήσει "πολύ νερό στο αυλάκι" και έχω απόλυτα πειστεί ότι όλη αυτή η "ταυτότητα" δημιουργεί σύγχυση και προβλήματα…
Καλημέρα Διονύση.
Δεν έχει σημασία το ότι μια θέση μας μεταβάλλεται. Είναι προτιμότερο αυτό από το να παραμείνεις σε μια θέση άσχετα με το ότι βλέπεις προβλήματα σ’ αυτήν.
Σε μια άλλη με τον Νίκο Ανδρεάδη είχε προκύψει το εξής:
Το ημικύκλιο παρουσιάζει τριβές.
Την μέγιστη ταχύτητα την έχουμε όχι στην θέση Γ αλλά στην Β,στην οποία ΣF = 0.
Όμως ονομάζουμε “θέση ισορροπίας” την Γ, την θέση ελάχιστης δυναμικής ενέργειας.
Την θέση στην οποία θα παραμείνει το σώμα αν αφεθεί χωρίς ταχύτητα.