by 
Σε πρόσφατη συζήτηση για τις φθίνουσες ταλαντώσεις έθεσα το εξής ερώτημα: Η απόσβεση οφείλεται στον αέρα ή στο υλικό του ελατηρίου; και εξήγησα πως ο βρόγχος υστέρησης στο διάγραμμα x-F οδηγεί σε απόσβεση. Το ερώτημα τώρα είναι: Η απόσβεση είναι εκθετική πάντα ή ο τύπος της απόσβεσης εξαρτάται από τη μορφή του βρόγχου υστέρησης;
Στην ανάλυση που κάνω εδώ δείχνω ότι η απόσβεση είναι πάντα εκθετική.
Διονύση δεν είχα επικολλήσει καλά το URL. Τώρα είναι ΟΚ.
Καλημέρα Νίκο.
Γράφεις:
Δεν καταλαβαίνω το συλλογισμό. Αν υπάρχει βρόχος υστέρησης και (εμείς) του αποδώσουμε ελλειπτική μορφή, πώς κάνουμε το επόμενο βήμα και προσθέτουμε το bυ;
Διονύση καλημέρα.
Στη φυσική, η απλή συλλογιστική με το μυαλό, δεν βοηθά πάντα για να καταλήξεις από τα δεδομένα στο ζητούμενο. Χρειάζεται ανάλυση. Και στο παρόν πρόβλημα, δηλ. το πως προκύπτει ο όρος bv από ένα βρόγχο υστέρησης, χρειάζεται βέβαια ανάλυση που κάποτε, πριν από καιρό, την είχα κάνει και την είχα δημοσιεύσει. Ίσως την ξανακάνω αν βρω τον καιρό. Το θέμα είναι ότι το πλάτος πέφτει εκθετικά ανεξάρτητα από τη μορφή του βρόγχου υστέρησης, αλλά πρέπει το μέγεθος του βρόγχου να είναι μικρό. Ακόμα κι αν τη μείωση του πλάτους την αποδίδαμε στον αέρα και ο νόμος που διέπει την αντίσταση του αέρα ήταν άλλος από το νόμο του Stokes, πάλι εκθετική μείωση θα είχαμε.
Καλημέρα παιδιά.
Βλέπω μια απλή συλλογιστική που καταλήγει στο ότι η αντίσταση είναι ανάλογη της ταχύτητας.
Η απώλεια ενέργειας είναι ανάλογη του εμβαδού του βρόχου. Το εμβαδόν του βρόχου ανάλογο του Α^2.
Μια δύναμη αντίστασης -b.υ δίνει τέτοια απώλεια.
Καλό θέμα!
Α ναι. Το ότι η δύναμη -b.υ δίνει απώλεια ανάλογη του Α^2 αποδεικνύεται και μαθητικά με εμβαδόν ισχύος-χρόνου.
Καλημέρα Νίκο, καλημέρα Γιάννη.
Μήπως πίσω από αυτά κρύβεται κάτι άλλο;
Ότι η ενέργεια που χάνουμε είναι ανάλογη της ενέργειας που έχουμε;
Αυτή η λογική νομίζω ότι οδηγεί στην εκθετική μείωση και από κει και πέρα φτιάχνουμε μοντέλα.
Δεν υποστηρίζω ότι είναι έτσι, αλλά δίνω μια αίσθησή μου…
Διονύση βλέπω το εμβαδόν του βρόχου. Αν ήταν μηδενικό (δεν υπήρχε βρόχος) δεν θα είχαμε απώλεια.
Η ενεργειακή απώλεια (εμβαδόν) είναι ανάλογη της επιφάνειας. Δύο όμοιες επιφάνειες έχουν εμβαδά ανάλογα του τετραγώνου των γραμμικών τους διαστάσεων. Οι x διαστάσεις είναι τα πλάτη. Έτσι οι απώλειες ενέργειας είναι ανάλογες του τετραγώνου του πλάτους.
Μια δύναμη -b.υ δίνει τέτοια ενεργειακή απώλεια.
Καλησπέρα.
Λοιπόν, νομίζω ότι για να συζητάμε πιο άνετα, χρειαζόμαστε κάποιο λεξιλόγιο. Έτσι, ας ονομάσουμε Ελαστική δύναμη τη δύναμη που ασκείται από το ιδανικό ελατήριο στο σώμα. Ολική δύναμη το άθροισμα της ελαστικής δύναμης και της διαταραχής, όπου διαταραχή είναι η δύναμη που ασκείται στο σώμα πέραν της ελαστικής και υποδιαιρείται σε εσωτερική διαταραχή, αν η διαταραχή οφείλεται στη μη ιδανικότητα του ελατηρίου, και εξωτερική διαταραχή, αν οφείλεται σε εξωτερικό παράγοντα όπως το ιξώδες του αέρα. Ομοίως, ας ορίσουμε τον βρόγχο εσωτερικής υστέρησης που είναι η κλειστή καμπύλη που διαγράφει το σώμα στο διάγραμμα x-F στην οποία η διαταραχή είναι εσωτερικής φύσης και ας ορίσουμε τον βρόγχο εξωτερικής υστέρησης που είναι η κλειστή καμπύλη που διαγράφει το σώμα στο διάγραμμα x-F στην οποία η διαταραχή είναι εξωτερικής φύσης.
Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχουμε εκθετική μείωση του πλάτους είναι ο βρόγχος υστέρησης να έχει την ίδια μορφή για κάθε πλάτος ταλάντωσης και το εμβαδόν του να είναι ανάλογο του τετραγώνου του πλάτους. Πιστεύω (αλλά δεν είμαι σίγουρος: πρώτα το πείραμα) ότι αν η υστέρηση είναι εσωτερική θα ισχύει αυτή η συνθήκη.
Αν η υστέρηση είναι εξωτερική, θα ισχύει μόνο στην περίπτωση που η εξωτερική διαταραχή ικανοποιεί την εξίσωση δ=-bv. Ας πάρουμε για παράδειγμα την περίπτωση που η δ δεν εξαρτάται από το v, όπως όταν η δ είναι δύναμη τριβής από επαφή του σώματος με το δάπεδο. Το εμβαδόν του βρόγχου εξωτερική υστέρησης, τότε, δεν θα είναι ανάλογο του τετραγώνου του πλάτους αλλά θα είναι ανάλογο του πλάτους. Σε τέτοιες περιπτώσεις η ελάττωση του πλάτους δεν θα είναι εκθετική.
Στο συνημμένο, η ανάλυση που έκανα σ΄ αυτή την ανάρτηση παρουσιάζεται διορθωμένη αφού αποκαλύφθηκε κάποιο λάθος της. Επίσης πρόσθεσα ένα παράρτημα στο οποίο εξηγείται γιατί η προσθήκη του όρου -bv στην F μετασχηματίζει την ευθεία του διαγράμματος x-F σε έλλειψη,
Η νέα ανάλυση εδώ.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Δiαβάζοντας την παραπάνω συζήτηση και το αρχείο του Νίκου, μου γεννήθηκε μία απορία: Για ποιο λόγο εμφανίζεται υστέρηση σε ένα ελατήριο, υπάρχει κάποια θεωρητική εξήγηση; Διαφορετικά: Πώς και από ποιες παραμέτρους καθορίζεται η καμπύλη του βρόχου υστέρησης;
Καλημέρα Στάθη.
Σκέφτομαι ότι ο βρόχος υφίσταται διότι απώλειες τον γεννούν. Ένα σώμα (ελατήριο που τεντώνεται ή συμπιέζεται) διασχίζεται από ένα κύμα. Μέρος της ενέργειας του κύματος χάνεται. Από την άλλη ένα ελατήριο, όσο καλό και να είναι, διατηρεί μέρος της παραμόρφωσής του. Αυτό σημαίνει μικρότερη δύναμη κατά την "επιστροφή". Η καμπύλη επιστροφής είναι κάτω από την καμπύλη του "πηγαιμού".
Γιάννη καλημέρα, αυτό εικάζω και εγώ. Αν όντως είναι έτσι η όποια απόπειρα εξήγησης θα είναι αναγκαστικά κβαντομηχανική, όπως στην περίπτωση των σιδηρομαγνητικών υλικών. Δεν έχω ασχοληθεί με το θέμα, δεν το είχα κάν υπ' όψιν πριν την ανάρτηση του Νίκου, για αυτό και ρωτάω. Για παράδειγμα πειραματικά προκύπτει βρόχος με περίπου ελλειπτικό σχήμα;
Μάλλον όχι Στάθη. Συνάδελφος είχε στείλει μετρήσεις από πείραμα που έδειχναν μια "πιρόγα".
Το εμβαδόν του βρόχου είναι (περίπου) ανάλογο του τετραγώνου των γραμμικών του διαστάσεων, δηλαδή του τετραγώνου του πλάτους Α.
Αποδεικνύεται εύκολα ότι τέτοια ενεργειακή απώλεια προκύπτει με αντίσταση -b.υ.
Ο Νίκος υποθέτει έλλειψη για να δουλέψει το μαθηματικό κομμάτι.
Καλημέρα Γιάννη και Στάθη.
Γιάννη, χτες που το ξανασκέφτηκα, πήρα καινούργια θέση. Αν η καμπύλη υστέρησης οφείλεται σε απόκλιση του ελατηρίου από την ιδανικότητα, και όχι στο ιξώδες του αέρα, πρέπει να περιμένουμε εκθετική μείωση του πλάτους έστω κι αν η καμπύλη υστέρησης δεν είναι έλλειψη. Αν η καμπύλη υστέρησης οφείλεται στο ιξώδες του αέρα, θα έχουμε εκθετική μείωση του πλάτους αν η αντίσταση του αέρα είναι -bv. Αν αυτό ισχύει, τότε η καμπύλη υστέρησης θα είναι έλλειψη (τη συσχέτιση του -bv με την έλλειψη την έδειξα στην καινούργια ανάλυση που ανέβασα χτες).
Στάθη, ένα τελείως πλαστικό υλικό είναι αυτό που όταν το παραμορφώσεις κρατάει την τελική μορφή που θα πάρει. Αντίθετα, τελείως ελαστικό υλικό μετά την παραμόρφωση επανέρχεται στην αρχική μορφή. Ένα ελατήριο έχει υστέρηση επειδή έχει μια μικρή "πλαστικότητα". Δηλ. μετά την παραμόρφωση δεν επανέρχεται 100% στην αρχική μορφή του.
Θεωρώ ότι στα πειράματα ταλαντώσεων που κάνουμε, η απόσβεση οφείλεται κυρίως στην υστέρηση λόγω έλλειψης ιδανικότητας. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί, αν η ταλάντωση γίνει στο κενό. Αλλά ακόμα και με πειράματα στον αέρα. Αν το ελατήριο είναι πολύ σκληρό και το σώμα έχει μεγάλη μάζα, η αντίσταση του αέρα μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα. Αλλά η ταλάντωση και πάλι θα έχει απόσβεση. Η απόσβεση αυτή θα οφείλεται ασφαλώς στην έλλειψη ιδανικότητας του ελατηρίου.