by 
Έστω ότι κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, μιας χορδής, διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα με εξίσωση:
y=Α∙ημ2π(t/Τ-x/λ)
Η χορδή τείνεται με δύναμη F, έχοντας γραμμική πυκνότητα μ, με αποτέλεσμα η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, κατά μήκος της, να δίνεται από την γνωστή εξίσωση υ=√F/m.
Διαβάστε τη συνέχεια…
ή
Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.
Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.
Μετά τις συζητήσεις με αφορμή το θέμα των εξετάσεων και αναρτήσεις, όπως του Γιάννη Κυριακόπουλου:
Ενέργεια ενός τμήματος χορδής.
ή την δημοσίευση του μαθήματος Ενέργεια – ορμή κύματος του ΕΚΠΑ
μια προσπάθεια “αναδιατύπωσης” των ίδιων πραγμάτων.
Την προηγούμενη ανάρτηση την αφιέρωσα σε αυτούς που έχουν φύγει για διακοπές.
Η παρούσα αφιερώνεται σε αυτούς… που μένουν!!
Μπάνια δεν κάνουν, ας έχουν κάτι να διαβάσουν 😀
Καλό ΣΚ σε όλους με ένα παλιό τραγουδάκι…
Καλημέρα Διονύση
Θέλω κατ΄ αρχήν να σ΄ ευχαριστήσω για το σχήμα που υποθέτω ότι εσύ έβαλες στη χθεσινή μου δημοσίευση. Εγώ βέβαια δεν παρέλειψα να βάλω σχήμα, έβαλα την σχήμα που ζωγραφισα στην πρώτη σελίδα, αλλά για κάποιο λόγο δεν εμφανίστηκε.
Σ΄ αυτή τη δημοσίευση, αντίθετα με τις προηγούμενες, επιχείρησα να υπολογίσω τη δυναμική και την κινητική ενέργεια για όλη τη χορδή όταν το κύμα είαι εγκάρσιο. Στις προηγούμενες δημοσιεύσεις υπολόγιζα τη ροή ενέργειας από τυχαία διατομή.
Ο τύπος για την κινητική ενέργεια συμφωνεί και με τη δική σου ανάλυση, και με του καθηγητή μου Ευταξία (φαίνεται πως διδάσκει ακόμα!) και με του Γιάννη. Αλλά υπολογίζουμε διαφορετικά τη δυναμική ενέργεια.
Κατ΄ αρχήν εγώ υποθέτω ότι η τάση κατά μήκος μιας χορδής είναι ανεξάρτητη του x όταν το κύμα είναι εγκάρσιο. Αυτό σημαίνει ότι και η ποσοστιαία επιμήκυνση οποιουδήποτε τμήματός της είναι ίδια σ΄ όλο το μήκος της χορδής. Στη δική σου ανάλυση, και στις άλλες, δεν υπάρχει αυτή η παραδοχή. Όμως θέλω να εστιάσω σε ένα διαφορετικό σημείο:
Γιατί η U ενός στοιχειώδους τμήματος είναι το γινόμενο δύναμης επί επιμήκυνση; Κανονικά η U οποιουδήποτε τμήματος της χορδής θα έπρεπε να είναι ανάλογη του τετραγώνου της επιμήκυνσής του. Για τη δυναμική ενέργεια ενός σύρματος που επιμηκύνεται δεν ισχύει ότι και γι΄ αυτή ενός ελατηρίου που επιμηκύνεται;
Διονύση, αυτοί που πηγαινοέρχονται μεταξύ θάλασσας και σπιτιού συγκαταλέγονται σε αυτούς που μένουν ή σε αυτούς που φεύγουν;
Και τίθεται πάλι το ερώτημα: Πώς πέρασε το θέμα από τον πανεπιστημιακό-μέλος της επιτροπής; Γιατί το έβαλαν; Για να συνεχίσουμε να το διδάσκουμε λάθος και για τα επόμενα 15 χρόνια;
Καλημέρα και καλό ΣΚ σε όλους τους φίλους, από μια συννεφιασμένη και αρκετά δροσερή …πρωτεύουσα του κάμπου (ένας είναι Ο κάμπος)!
Καλησπέρα και από εδώ Ελευθερία.
Και αυτοί που φεύγουν και αυτοί που μένουν…. μια ιδέα είναι
Καλησπέρα Νίκο.
Ναι, την εικόνα την πρόσθεσα εγώ στην ανάρτησή σου. Αυτή που είχες βάλει ήταν «λεπτή» με αποτέλεσμα να καθίσταται «αόρατη» όταν την μίκραινα.
Για το θέμα της δυναμικής ενέργειας, με προβλημάτισες, αφού η λογική σου πατάει γερά.
Νομίζω ότι η διαφορά έγκειται στο εξής:
Ο τύπος που προτείνεις για την τιμή της δυναμικής ενέργειας:
Μας δίνει την δυναμική ενέργεια μιας τεντωμένης χορδής σε ακινησία. Τείνεται από κάποια δύναμη Τ και έχει επιμηκυνθεί κατά Δl.
Άρα μας δίνει τη δυναμική ενέργεια της χορδής πριν αρχίσει να διαδίδεται πάνω της κάποια διαταραχή.
Όταν έχουμε διάδοση κύματος, την προηγούμενη ενέργεια την θεωρούμε μηδενική (με την ίδια λογική που ορίζουμε αυθαίρετα επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας στο βαρυτικό πεδίο, όποιο επίπεδο θέλουμε) και συζητάμε για το επιπλέον έργο που πρέπει να παραχθεί σε ένα τμήμα dx, ώστε να προκληθεί μια επιπλέον επιμήκυνση δl, με αποτέλεσμα να εκτραπεί εγκάρσια η χορδή.
Η δύναμη Τ που τεντώνει τη χορδή (F στη δική μου ανάρτηση) θεωρούμε ότι είναι σταθερή σε όλο το μήκος της και μάλιστα θεωρώ ότι η εγκάρσια εκτροπή δεν προκαλεί σημαντική αλλαγή στο μέτρο της, τοπικά.
Αλλά θεωρώντας την σαν αιτία της επιπλέον επιμήκυνσης δl και με σταθερό το μέτρο της, τότε το έργο της θα είναι |WF|=F∙δl.
Η επιμήκυνση, Διονύση, είναι αυτή που προκαλεί το εγκάρσιο κύμα. Υποτίθεται ότι το φυσικό μήκος είναι αυτό που έχει η χορδή σε ηρεμία. Το αρχικό τέντωμα θεωρείται μικρό. Αλλιώς προσθέτουμε το αρχικό τέντωμα με αυτό που προκαλεί το κύμα. Στην εξίσωση που δίνω για το Δl, εκείνη με το ολοκλήρωμα, φαίνεται καθαρά ότι το Δl είναι συνάρτηση του t.
Έχω αμφιβολίες αν η δυναμική ενέργεια είναι το γινόμενο της επιμήκυνσης επί μια σταθερή δύναμη. Τη στιγμή που άρχισε η χορδή να επιμηκύνεται η δύναμη ήταν ή ίδια με αυτή που ασκούταν όταν ολοκληρώθηκε η επιμήκυνση;
Καλησπέρα Νίκο.
Στο μυαλό μου έχω μια χορδή κιθάρας. Η χορδή σε ηρεμία δεν έχει καθόλου το φυσικό της μήκος και η δύναμη που την κρατά τεντωμένη δεν είναι καθόλου αμελητέα.
Αν την διεγείρουμε ασκώντας της κάποια δύναμη, θα μεταβληθεί η τάση και πόσο;
Δεν το ξέρω….
Προφανώς θα αυξηθεί, αλλά μιλάμε για μια μικρή εγκάρσια απομάκρυνση!
Το αντίστοιχο με το ελατήριο, θα ήταν να έχει επιμηκυνθεί κατά Δl=0,4m και ασκώντας του μια εξωτερική δύναμη να του αυξάναμε το μήκος ακόμη κατά x1= 2cm. Πόσο είναι το έργο που πρέπει να παράγουμε πάνω στο ελατήριο;
Αν θέλουμε να το υπολογίσουμε, αυτό είναι:
Η τελευταία σχέση μας λέει ότι το έργο το παράγει μια “σταθερή δύναμη” που μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της κατά x1. Είναι μια προσέγγιση αυτή; Προφανώς είναι. Δεν είναι ο ακριβής υπολογισμός, αλλά δεν απέχει από την πραγματικότητα.
Προσωπικά, με την ίδια λογική “αντιλαμβάνομαι” και τον υπολογισμό του έργου στην περίπτωση της χορδής.
Δε θα επιμείνω στη θέση μου. Όταν η χορδή είναι σε κατάσταση ηρεμίας και είναι καλά τεντωμένη, το επιπλέον τέντωμα που προκαλεί το εγκάρσιο κύμα είναι μικρό. Σ΄ αυτή την περίπτωση η τάση θεωρείται σταθερή και η ενέργεια του κύματος (η δυναμική) είναι το γινόμενο της τάσης επί την επιμήκυνση.
Αλλά θέλω να κάνω κάποιες άλλες παρατηρήσεις στο τρόπο που υπολογίζετε τη δυναμική ενέργεια:
Δεν είναι σωστό να κάνουμε τη δυναμική ενέργεια στοιχειωδών τμημάτων της χορδής να εξαρτάται από την κλίση (την παράγωγο dy/dx). Η σωστή τακτική κατά τη γνώμη μου είναι η εξής: για κάθε στοιχειώδες τμήμα υπολογίζουμε την επιμήκυνση από την παράγωγο, ολοκληρώνουμε τις επιμηκύνσεις σ΄ όλη τη χορδή ώστε να βρούμε τη συνολική επιμήκυνση της χορδής, από τη συνολική επιμήκυνση της χορδής βρίσκουμε τη δυναμική ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης όλης της χορδής και θεωρούμε ότι αυτή η ενέργεια κατανέμεται ισότιμα σε όλα τα τμήματα της χορδής (δηλ. η μεταβολή της U σε ένα τμήμα της χορδής να είναι ανάλογη του μήκους του).
Επίσης καλό είναι να γενικεύουμε όσο είναι δυνατό. Εγκάρσια μετατόπιση σημαίνει ότι κάθε σημείο της χορδής κινείται κάθετα στο x-άξονα. Αυτό δε σημαίνει κατ΄ ανάγκη ότι κινείται κατά την y κατεύθυνση.
Τέλος, εγκάρσιο κύμα σημαίνει εγκάρσια παραμόρφωση της χορδής που δεν είναι κατ΄ ανάγκη τριγωνομετρικής μορφής. Εν γένει κύμα είναι άθροισμα δυο συναρτήσεων: μια με όρισμα vt-x (οδεύον) και μια με όρισμα vt+x (επιστρέφον ή ανακλώμενο).
Καλημέρα και καλή Κυριακή Νίκο.
Καταλαβαίνω τη σκέψη σου, αφού είναι συνεπής και σε αντιδιαστολή με τη δική μου!!!
Εγώ προσπαθώ να "απλοποιήσω" τα πράγματα για να γίνουν εύπεπτα και να ξεκαθαρίσουν οι γενικές ιδέες που χρησιμοποιούμε (για παράδειγμα ότι σε κάθε θέση και κάθε στιγμή Κ=U), εσύ αντίθετα ενδιαφέρεσαι για τη γενίκευση και για την θεωρητική θεμελίωση με βάση τα μαθηματικά.
Για παράδειγμα, συμφωνώ ότι το εγκάρσιο δεν σημαίνει και "πολωμένο" στη διεύθυνση y, αλλά αυτό το κύμα προτιμώ να μελετήσουμε και η προέκταση για ταλάντωση σε άλλο επίπεδο, το αφήνω για μελέτη σε μεταπτυχιακούς φοιτητές…
Καλημέρα
Καλό μεσημέρι Νίκο. Επιστρέφω για κάτι συμπληρωματικό, όσον αφορά την δυναμική ενέργεια της χορδής.
Παραπάνω στη μελέτη που έκανα προκύπτει ότι η δυναμική ενέργεια που δίνεται από την εξίσωση:
μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το x και δεν είναι σταθερή.
Αν κάναμε τη γραφική παράσταση για την πυκνότητα της δυναμικής ενέργειας σε συνάρτηση με το x, έστω τη στιγμή t=0, θα παίρναμε την μορφή:
Δεν βλέπω πώς τα παραπάνω μπορούν να συμβιβαστούν με το:
“από τη συνολική επιμήκυνση της χορδής βρίσκουμε τη δυναμική ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης όλης της χορδής και θεωρούμε ότι αυτή η ενέργεια κατανέμεται ισότιμα σε όλα τα τμήματα της χορδής (δηλ. η μεταβολή της U σε ένα τμήμα της χορδής να είναι ανάλογη του μήκους του).”
Άλλωστε την παρούσα ανάρτηση έκανα σαν μια μαθηματική επιβεβαίωση της άποψης που είχα διατυπώσει από το 2011, εδώ, για την κατανομή της δυναμικής ενέργειας, όπου είχα γράψει:
Καλημέρα Διονύση,
Εμένα πράγματι μ΄ ενδιαφέρει η θεωρητική θεμελίωση γιατί είμαι σχολαστικός και άνθρωπος του "ορθού δρόμου" (και μάλιστα σε βαθμό που γίνομαι βαρετός). Όμως τη σχολαστικότητα και τον ορθό δρόμο τα θεωρώ απαραίτητα στη φυσική και έχω την αίσθηση ότι, στην ελληνική μέση εκπαίδευση, έχουμε ξεφύγει απ΄ αυτά.
Τι εννοούμε λέγοντας δυναμική ενέργεια; Δεν πρόκειται για πεδιακή έννοια; Ποιό είναι το πεδίο δυνάμεων στην περίπτωσή μας;
Περιμένω να μου απαντήσεις ότι, όπως και στο ελατήριο μιλάμε για δυναμική ενέργεια, έτσι μπορούμε και στη χορδή.
Και στο ελατήριο και στη χορδή θα έπρεπε να μιλάμε για "ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης" και όχι για "δυναμική ενέργεια". Όμως ένα ελατήριο προσομοιάζει πολύ καλά (όχι όμως τέλεια) το πεδίο δύναμης που δίνεται από τη σχέση U(x)=1/2 k x^2. Όταν μιλάμε για δυναμική ενέργεια ελατηρίου στην ουσία εννοούμε τη δυναμικη ενέργεια που αποκτά ένα σώμα όταν βρεθεί σε αυτό το πεδίο. Είναι η ίδια δυναμική ενεργεια που υφίσταται σε μια διαμπερή τρύπα κατά μήκος της γης θεωρούμενης σφαιρικής και ομογενούς. Επειδή όμως είναι δύσκολο να κάνουμε πειράματα σε μια τρύπια γη, προτιμάμε το ελατήριο.
Υπάρχει αντίστοιχο πεδίο στην εγκάρσια κυμαινόμενη χορδή; θα περιμέναμε αυτό το πεδίο να είναι το πεδίο επαναφοράς στη θέση ισορροπίας των τμημάτων της χορδής που απομακρύνονται από τη θέση ισορροπίας. Είναι άραγε η δυναμική ενέργεια ενός τμήματος μήκους dx ανάλογη του τετραγώνου της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας;
Αποδεικνύεται ότι είναι αλλά μόνο όταν το κύμα είναι αρμονικό. Αλλά, δεν είναι όλα τα κύματα αρμονικά (το αρμονικό κύμα που τόσο αγαπήσαμε είναι η εξαίρεση, όχι ο κανόνας). Στη γενική περίπτωση η δύναμη επαναφοράς, αντί να είναι ανάλογη του y, είναι ανάλογη της δεύτερης παραγώγου του y ως προς x (της καμπυλότητας της χορδής). Άρα, δεν μπορούμε να ορίσουμε πεδίο δυναμικής ενέργειας.
Η "ενέργεια τεντώματος" στην οποία αναφέρεσαι είναι ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης. Αυτή προσπαθείς να συγκρίνεις με την κινητική ενέργεια του τμήματος dx.
Η θέση μου είναι ότι δεν υπάρχει τοπική συσχέτιση της κινητικής ενέργειας με την ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης. Βέβαια συμφωνώ (αρνούμενος μάλιστα την εξίσωση ενέργειας ελαστικής παραμόρφωσης που διατύπωσα στο άρθρο μου) ότι υπάρχει η εξής αντιστοιχία: η κινητική ενέργεια όλης της χορδής είναι το ολοκλήρωμα σε όλο το μήκος του τετραγώνου της παραγώγου/2 του y ως προς t, ενώ η ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης όλης της χορδής είναι το ολοκλήρωμα σε όλο το μήκος του τετραγώνου της παραγώγου/2 του y ως προς x.
Γεια σου Νίκο.
Προφανώς διαφωνούμε, σεβαστή η αντίθετη θέση που εκφράζεις, αλλά θα μου επιτρέψεις να πω ότι δεν αποδέχομαι τη λογική ότι:
"είμαι σχολαστικός και άνθρωπος του "ορθού δρόμου" (και μάλιστα σε βαθμό που γίνομαι βαρετός). Όμως τη σχολαστικότητα και τον ορθό δρόμο τα θεωρώ απαραίτητα στη φυσική και έχω την αίσθηση ότι, στην ελληνική μέση εκπαίδευση, έχουμε ξεφύγει απ΄ αυτά."
Αν ορθός δρόμος είναι να βγάζεις σταθερή δυναμική ενέργεια κατά μήκος της χορδής, δεν θα συμφωνήσω. Και δεν είναι άποψη "δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης" αυτή.
Η άποψη που παραπάνω υποστήριξα, είναι αυτό που διδάσκει ο Ευταξίας στο ΕΚΠΑ και όχι ο Μάργαρης στο Λύκειο…
Στο ΕΚΠΑ πήρα πτυχίο. Στο University of Liverpool Ph.D. Στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων κυκλοφορώ χρόνια. Οι περισσότεροι φυσικοί που έχω γνωρίσει ήταν των ΑΕΙ. Ακόμα κι αυτοί που έχουν προχωρημένες επιδόσεις στην ερευνητική τους ειδικότητα, στη θεμελιώδη φυσική δεν παίρνουν τα πρωτεία.
Καλησπέρα Διονύση. Νομίζω ότι όσοι διάβασαν αυτήν την ανάρτηση και την αντίστοιχη του Γιάννη Κυριακόπουλου, θα πρέπει να μην ξανακάνουν ασκήσεις στα κύματα με ΑΔΕΤ(!), αλλιώς συνειδητά διδάσκουν λάθη! Όσο υπάρχει στο σχολικό βιβλίο η απαράδεκτη πρόταση "κάθε σημείο του ελαστικού μέσου εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση", θα μπορούν να μπουν στις εξετάσεις, τέτοια θέματα, άρα να απαιτήσουμε με μια ομαδική επιστολή στο υπουργείο να "εξορθολογιστεί" το κεφάλαιο. Παραθέτω και ένα σχετικό link
Analyzing Waves on a String
που έχει τους ίδιους υπολογισμούς με τους δικούς σου.
Καλησπέρα Ανδρέα
Αν παρακολουθείς τις αναρτήσεις που κάνω σε σχέση με τα εγκάρσια κύματα σε χορδή, θα πρέπει να έχει αντιληφθεί ότι το άρθρο αυτό του link που έστειλες, είναι στα βήματα αυτής της ανάρτησής μου. Ο Διονύσης επομένως, δεν διαφωνεί μόνο με μένα σε ορισμένα σημεία, όπως για παράδειγμα με το ότι η συνισταμένη δύναμη σε στοιχειώδες τμήμα της κυμανόμενης χορδής είναι κατά προσέγγιση κάθετη και όχι απολύτως κάθετη με τον άξονα της χορδής (τον x άξονα).
Επίσης, στο κύριο σημείο της διαφωνίας μου με τον Διονύση, δηλ. αν η ισότητα της κινητικής ενέργειας με τη δυναμική ισχύει σε στοιχειώδες τμήμα της χορδής (Διονύσης) ή αν ισχύει για ολοκληρη τη χορδή (εγώ), η θέση του συγγραφέα του άρθρου είναι οτι ισχύει για ολοκληρη τη χορδή. Αυτήν ακριβώς τη θέση διατύπωσα σ΄ αυτή την ανάρτηση.