Αποκρύπτοντας το στρεφόμενο διάνυσμα

Καλησπέρα Χρήστο.

Είχα γράψει το 2013:

Η χρήση στρεφομένων διανυσμάτων.

Η συζήτηση και τα σχόλια που ακολούθησαν κατατοπιστικά.

Ένας πολύ καλός συνάδελφος που πριν χρόνια δούλευε στο Χαϊδάρι, αντιπαθούσε τα στρεφόμενα. Ούτε όμως τα κπ και τα άλλα τσάμικα αγαπούσε τόσο.

Η ιδέα του ήταν η εξής:

Θεωρούσε γνωστή από τα Μαθηματικά την παραπάνω γραφική παράσταση.

Έτσι αν ετίθετο το πρόβλημα εύρεσης της αρχικής φάσης όταν βρισκόμαστε στο μισό πλάτος και πλησιάζουμε την Θ.Ι. η απάντηση αυτονοήτως ήταν η 5π/6.

Αν θέλαμε να βρούμε σε πόσο χρόνο θα βρεθεί από την παραπάνω κατάσταση σ’ εκείνη κατά την οποία βρίσκεται στην θέση x =-A/2 , πλησιάζοντας την Θ.Ι. τότε η μεταβολή της φάσης ήταν Δφ=(2π-π/6)-(5π/6)= π.

Οπότε (επειδή η φάση αυξάνεται γραμμικά με τον χρόνο)=>ω.Δt=π.

Και καθαρίζουμε πολύ απλά.

Προφανώς η γραφική παράσταση δεν χρειάζεται ολόκληρη. Το επίμαχο τμήμα της αρκεί.

Οι έχοντες επιφυλάξεις για τα στρεφόμενα θα δέχονταν τέτοια λύση;

Ή μήπως τελικά η Φυσική είναι ένα πρόσχημα για να βάλουμε τα παιδιά να αναπαράξουν τα “κόλπα” με τα κπ που τους διδάξαμε και να δούμε αν δίνουν σωστές τιμές στο κ;

Καλημέρα παιδιά.

Γιατί με ενοχλούν τα κπ;

Γιατί θεωρώ ότι «χαλάνε τη σκέψη των παιδιών»;

Δίνεις οδηγίες σε έναν πώς να φτιάξει μακαρονάδα:

1. Βάζεις νερό μέχρι τη μέση της κατσαρόλας.
2. Ρίχνεις αλάτι.
3. Βράζεις το αλατόνερο.
4. Ρίχνεις τα μακαρόνια στο βραστό νερό για περίπου 10 λεπτά.

Ένας βρίσκεται στην εξής θέση:

Έχει το αλατισμένο νερό μπροστά του και βλέπει πως αρχίζει να βράζει. Τι να κάνει;

Η λογική λέει να ρίξει τα μακαρόνια εντός ολίγου και να περιμένει να γίνουν.

Αυτός όμως θέλει μέθοδο. Τι κάνει;

1. Αδειάζει το βρασμένο νερό.
2. Βάζει νερό μέχρι τη μέση της κατσαρόλας.
3. Ρίχνει αλάτι.
4. Περιμένει τον βρασμό.
5. Ρίχνει τα μακαρόνια μέχρι να γίνουν.

Δούλεψε «μεθοδικά» αλλά δεν είναι αφελές ότι έκανε;

Πάμε τώρα στην άλλη συνταγή. Να λυθεί η ημφ=1/2.

Πρέπει να βρούμε όλες τις λύσεις, οπότε:

1. Βρίσκουμε μια γωνία με ημίτονο ½ (την π/6).
2. Οι λύσεις είναι φ = 2κπ+π/6   και φ = (2κ+1)π-π/6.

Καλώς είναι έτσι η λύση. Δίνοντας τιμές στο κ βρίσκουμε πλειάδα λύσεων.

Μπορεί να μας ζητήσουν τις λύσεις που περιέχονται στο διάστημα (5π,8π).

Θα χρειαστεί να επιλύσουμε ανισώσεις.

Η λύση αυτή, η γενική, μοιάζει με τις οδηγίες παρασκευής της μακαρονάδας.

Αλλάζει το πρόβλημα:

Βρείτε γωνίες από 0 ως 2π που να έχουν ημίτονο ½ .

Η αυτονόητη λύση είναι η π/6 και η παραπληρωματική της 5π/6. Αν δεν το θυμάσαι υπάρχει και ο τριγωνομετρικός κύκλος, από τον οποίον όλα ξεπήδησαν.

Κάποιος όμως θέλει συστηματική δουλειά.

1. Βρίσκει μια γωνία με ημίτονο  ½ (την π/6).
2. Λύσεις είναι οι φ = 2κπ+π/6   και φ = (2κ+1)π-π/6.
3. Λύνουμε την ανίσωση 0<  2κπ+π/6 <2π   και βρίσκουμε ότι κ=0. Λύση η φ = π/6.
4. Λύνουμε την 0< (2κ+1)π-π/6 < 2π και βρίσκουμε κ=0. Λύση η φ = 5π/6.
5. Περιμένει να βράσουν τα μακαρόνια.

Αν δίναμε το πρόβλημα σε έναν Μαθηματικό ποια λύση θα μας έδινε;

Ποια λύση χαλάει την σκέψη των παιδιών;

Όταν λέμε ότι x/A = ημίτονο της φάσης, δεν είναι γνωστό από την τριγωνομετρία των μικρών τάξεων του Λυκείου το ότι η προβολή στον y άξονα είναι ίση με x/A;

Είναι κάτι «εκτός ύλης» που απαιτεί εξηγήσεις;

Το ότι ξεχάστηκε ο τριγωνομετρικός κύκλος και μείνανε τα «μαγειρικά» κπ, σημαίνει ότι πρέπει να αδειάσουμε το ήδη βρασμένο νερό;