by 
Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από αριστερά προς τα δεξιά (προς τη θετική κατεύθυνση) διαδίδονται δύο αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος Α=0,2m και την ίδια συχνότητα f=1Ηz. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι ίση με υ=2m/s. Σε ένα σημείο Ο, το οποίο θεωρούμε ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων (x=0), το πρώτο κύμα φτάνει κατά τη χρονική στιγμή t=0 και το δεύτερο κύμα κατά τη χρονική στιγμή t1=1,25s. Θεωρείστε ότι εξαιτίας κάθε κύματος το σημείο Ο αρχίζει να κινείται προς την θετική φορά (προς τα πάνω).
i) Να γραφεί η εξίσωση του πρώτου κύματος και να σχεδιάστε το στιγμιότυπό του τη στιγμή t1 και για τα σημεία του θετικού ημιάξονα x.
ii) Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος για το δεύτερο κύμα.
iii) Να βρεθεί το αποτέλεσμα της συμβολής των δύο παραπάνω κυμάτων και να υπολογιστεί η απομάκρυνση ενός σημείου Ρ, στη θέση x=1m τη χρονική στιγμή t2=2,5s.
iv) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση y=f(x) της απομάκρυνσης των διαφόρων σημείων του μέσου και για τα σημεία του θετικού ημιάξονα, τη χρονική στιγμή t2.
ή
Αφιερωμένη στο Γιώργο Κόμη.
Καλησπέρα Διονύση.
Είναι όμορφη άσκηση. Είχα συναντήσει ανάλογη την εποχή που τα κύματα αντικατέστησαν τις εξισώσεις Μάξγουελ. Τότε στο βιβλίο του Δημόπουλου είδα μια τέτοια. Την έλυνα έτσι, αν και είχα την διάθεση (που δεν υλοποίησα ποτέ) να την δω “χωρικά”. Δηλαδή το δεύτερο κύμα ξεκινάει από πιο πίσω, ταυτόχρονα με το πρώτο. Κλασική συμβολή δηλαδή δύο κυμάτων από πηγές που απέχουν 5λ/4.
Σήμερα θα την αντιμετώπιζα και διαφορετικά. Με ένα διπλό ρολόι:
Την στιγμή 5Τ/4 φτάνει στο ρολόι και το δεύτερο κύμα. Αμέσως ενεργοποιούνται ο πράσινος δείκτης και ο μπλε δείκτης που είναι το άθροισμα των δύο δεικτών. Ο μπλε θα μπορούσε να είναι ενεργοποιημένος από την αρχή διότι “κόκκινο+μηδέν=κόκκινο”.
Το ότι ο κόκκινος και ο πράσινος σχηματίζουν γωνία 90ο κάνει τον μπλε να τρέχει 45ο πίσω από τον κόκκινο.
Έχει μήκος δε ίσο με την διαγώνιο του τετραγώνου.
Καλησπέρα. Διονύση σε ευχαριστώ πολύ για την αφιέρωση. Όλα τα κύματα σε μια συσκευασία!!!
Το ΙΙΙ το αντιμετώπισα και ως σύνθεση δυο ταλαντώσεων με ίδιο αποτέλεσμα.
Καλησπέρα Διονύση.
Ωραία άσκηση προπόνησης για καλό κολύμπι στα κύματα.
Ωραίος και ο ‘’ωρολογοποιός’’ Γιάννης με τους ανυσματικούς δείκτες των ρολογιών του!
Ωραία και η ‘’πρακτική’’ λύση που δίνεις στο τέλος με την πρόσθεση των στιγμιοτύπων. (Αυτή χρησιμοποίησα κι εγώ για να δω τη μορφή της ψ=f(x)…)
Το ρολόι που είπα.
Ρολόι συμβολής.
Ωραία άσκηση Διονύση, ωραία και τα ..ρολόγια του Γιάννη!!!
Μπράβο σας.
Καλημέρα σε όλους. Γιάννη, Γιώργο, Παντελή και Πρόδρομε σας ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Η λύση μπορεί να δοθεί και με τη βοήθεια της σύνθεσης ταλαντώσεων (τι άλλο είναι η συμβολή…), αλλά και της χρήσης των περιστρεφομένων διανυσμάτων. Αλλά το πρόβλημα κατά τη γνώμη μου δεν εστιάζεται εκεί.
Εστιάζεται για το αποτέλεσμα της συμβολής. Οι μαθητές ασχολούνται πολύ με τη σύνθεση δύο κυμάτων που διαδίδονται αντίθετα (στάσιμο κύμα), αλλά και συμβολή αντίστοιχων παλμών και καθόλου αν έχουν την ίδια διεύθυνση διάδοσης. Και η περίπτωση συναντούσε έκπληξη" όταν έβαζα τέτοιο πρόβλημα. Το πρόβλημα λοιπόν το αντιμετώπιζα με …κλασσική αντιμετώπιση, για να εμφανιστεί το τρέχον κύμα.
Oμολογώ το απρόσμενο του αποτελέσματος (επειδή δεν το είχα σκεφτεί).
Πολύ ωραία ανάλυση και πρωτότυπη άσκηση Διονύση
Καλησπέρα Τάσο και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Αυτό το απρόσμενο αποτέλεσμα ήθελα να αναδείξω…
Διονύση, πολύ καλή με αρκετή Φυσική για την κατανόηση, τόσο των οδευόντων κυμάτων όσο και της συμβολής τους. Το αποτέλεσμα όχι και τόσο απρόσμενο, αφού η πρόσθεση δύο αρμονικών συναρτήσεων, ακόμα και διαφορετικών πλατών ή φάσεων, αλλά της ίδιας γωνιακής συχνότητας δίνουν ξανά αρμονική συνάρτηση της ίδιας γωνιακής συχνότητας (παλιότερα κάτι διδασκόντουσαν στη Β τάξη, τώρα δεν ξέρω).
Αλλά και η απλουστευτική γοητεία των στρεφόμενων διανυσμάτων (του Γιάννη, ειδικά το ip) ακαταμάχητη.
Καλημέρα Ντίνο και καλό ΣΚ.
Σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Διονύση καλησπέρα, διαπραγματεύεσαι ένα θέμα που έχει σημαντική διδακτική αξία αλλά μπορεί να γίνει επικίνδυνο αν κάποιος «έξυπνος» δεν το χειριστεί σωστά…
Εσύ, απόλυτα μεθοδικά και προσεχτικά, φθάνεις στην εξίσωση (3) ενός «ιδιαίτερου» κύματος ως αποτέλεσμα της επαλληλίας των κυμάτων (1) και (2)….
Ζητάς κατόπιν «τη γραφική παράσταση y=f(x) της απομάκρυνσης των διαφόρων σημείων του μέσου και για τα σημεία του θετικού ημιάξονα, τη χρονική στιγμή t2=2,5s»
Κάποιος «έξυπνος» φτιάχνει άσκηση:
Δίνεται το κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση (3) με πεδίο ορισμού
t>(x+2,5)/2. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο την t2=2,5s για σημεία του θετικού ημιάξονα…
Δίνεται ως απάντηση ΜΟΝΟ η πράσινη γραμμή….
Τι μένει στο μυαλό του μαθητή; Στιγμιότυπο «κόμπρα»…..
Και τι φταις εσύ θα με ρωτήσεις; Τι σχέση έχει αυτό που περιγράφεις εσύ, με αυτό που «δίνω» εγώ; Καμία…
Απλά το γράφω για να μην γίνει…
Καλημέρα Θοδωρή και σε ευχαριστώ για το σχολιασμό.
Σωστές οι παρατηρήσεις σου, αλλά….
Αλλά έχεις δίκιο εν μέρει…
Γι΄αυτό ανάρτησα μια ερώτηση (Β΄θέμα), η οποία είχε σειρά για λίγες μέρες αργότερα.
Στάσιμο και τρέχον κύμα