by 
Ένα σώμα αμελητέων διαστάσεων με μάζα m=1kg εκτελεί ταλάντωση που μπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων:
x1=4·ημ(4πt)S.I. και x2=4√3·ημ(4πt+π/2) S.I.
i) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης x της κίνησης σε συνάρτηση με τον χρόνο.
ii) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος, κάποια στιγμή που η απομάκρυνση της εξίσωσης x1=4m.
iii) Να βρείτε σε ποιες θέσεις της ταλάντωσης μηδενίζεται ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος. Πόσος χρόνος μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του ρυθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας;
Αν το σώμα εκτελούσε ταλάντωση η οποία μπορούσε να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων x1, x2 και μιας άγνωστης x3, που έχει την ίδια διεύθυνση και την ίδια Θ.Ι. με τις x1 και x2, τότε το αποτέλεσμα της σύνθεσης και των τριών εξισώσεων είναι μια απλή αρμονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση x1,2,3=2·ημ(4πt+4π/3)S.I.
iv) Να γράψετε την εξίσωση που περιγράφει την απομάκρυνση x3 σε συνάρτηση με τον χρόνο.
Θεωρείστε ότι η αρχική φάση φ0 έχει πεδίο τιμών από [0, 2π).
Απάντηση στο blogspot ή σε word ή σε pdf
Καλησπέρα παιδιά.
Στάθη η ουσία της διαφωνίας εντοπίζεται αν παρακολουθήσουμε κάτι που ο Ανδρέας καταγράφει ως συνήθη παρανόηση. Γράφει:
Για να έχει ένα αντικείμενο ταχύτητα πρέπει να έχει μάζα. Ένα δηλαδή γεωμετρικό σημείο δεν μπορεί-σύμφωνα με τη φυσική- να έχει ταχύτητα, συνεπώς ούτε επιτάχυνση.
(Η παρανόηση αυτή) Οφείλεται στη -μερικώς δικαιολογημένη- βιασύνη των Προγραμμάτων να εισάγουν, στην περιγραφή της κίνησης, την έννοια "υλικό σημείο" -αντικείμενο με αδράνεια- χωρίς να χρειάζεται.
(Η άποψη της Φυσικής είναι ότι Η «Κινηματική» είναι μια "Γεωμετρία με χρόνο" και δεν χρειάζεται την έννοια αδράνεια. Στο γεωμετρικό σημείο αποδίδει, σε κάθε χρονική στιγμή, μια θέση και -αν η θέση αυτή μεταβληθεί- του αποδίδει μια μετατόπιση, άρα…
Έτσι παλιά η συζήτηση δεν κατέληγε πουθενά διότι ο ένας λέγοντας «κίνηση» εννοούσε την αλλαγή της θέσης ενός σημείου. Γιατί όχι μιας σκιάς ή ενός εικονοστοιχείου της οθόνης σου;
Ο άλλος λέγοντας «κίνηση» εννοούσε το πλήρες φαινόμενο. Δηλαδή ένα σώμα δέχεται δυνάμεις και στήνεται κάποιες διαφορικές εξισώσεις. Αυτές λύνονται και υπολογίζονται οι συντεταγμένες x , y και z του σώματος.
Ο δεύτερος δεν έχει άδικο. Μοιάζει μάλιστα να επιβεβαιώνεται διότι…..
-Φυσική κάνουμε, όχι Γεωμετρία.
Αυτός έχει (συνήθως) «Καρτεσιανή» νοοτροπία.
-Μία είναι η κίνηση. Κάθε στιγμή μία είναι η θέση. Τα x , y και z είναι συντεταγμένες και όχι ανεξάρτητες κινήσεις!
Άδικο δεν έχει βλέποντας το θέμα κάτω από αυτήν την οπτική. Άδικο έχει αν υποστηρίξει ότι η οπτική αυτή είναι η μοναδική σωστή.
Η ανάμιξη παρατηρητών στο πρόβλημα καθιστά ορθή την συνύπαρξη δύο ή περισσοτέρων κινήσεων. Κάθε παρατηρητής βλέπει μία από αυτές. Περπάτησες δύο μέτρα σε ένα λεωφορείο που απομακρύνθηκε δέκα μέτρα από εμένα. Ξέρω (αν δεν σε βλέπω) ότι μετατοπίστηκες δώδεκα μέτρα.
Ταλαντεύομαι, ταλαντεύεσαι αλλά σε βλέπω να εκτελείς κύκλο ή έλλειψη ή διακρότημα ή….. ή …..
Όπως θα ήταν λάθος εκ μέρους μου το να καταδικάσω την «Καρτεσιανή» αντιμετώπιση, είναι λάθος η καταδίκη της άλλης αντιμετώπισης με τις διαδοχικές κινήσεις.
Δηλαδή (στο δια ταύτα):
Βλέπω μια εκφώνηση που λέει ότι «Ένα κινητό εκτελεί κίνηση που η εξίσωσή θέσης της είναι επαλληλία των εξισώσεων x=…… και y=….». Δεν μου αρέσει διότι ρέπει προς ραψωδίαν. Όμως δεν θα την χαρακτηρίσω λανθασμένη, ούτε θα ζητήσω τροποποίηση της όποιας εκφώνησης.
Περιμένω επομένως από έναν φίλο, οπαδό της μιας κίνησης, να συνεχίσει μεν να απεχθάνεται τις δύο ταυτόχρονες κινήσεις, να μην θεωρεί λάθος δε τέτοια διατύπωση. Δηλαδή να μην ζητά αντικατάσταση της εκφώνησης που λέει «Κινητό εκτελεί ταυτόχρονα τις κινήσεις…….».
Εμένα δεν μου αρέσουν οι μπάμιες. Όμως δεν έχω διαμαρτυρηθεί σε εστιατόριο του οποίου το μενού τις περιλαμβάνει. Περί ορέξεως που λένε.
Όταν επεκαλούμην τον μηχανικό παλμογράφο του Δημήτρη Τσαούση, δεχόμουν ως απάντηση:
-Η Φυσική δεν ασχολείται με μηχανισμούς!
Απάντηση λανθασμένη διότι μπορεί να με ενδιαφέρει ο υπολογισμός μιας δεσμικής δύναμης. Δεν θέλω βρε αδερφέ να σπάσει το κατασκεύασμα.
Ή ακόμα:
-Η Φυσική δεν ασχολείται με κινήσεις φωτεινών κηλίδων!
Απάντηση επίσης λανθασμένη. Θέλω ας πούμε να φτιάξω πρόγραμμα προσομοιώσεων σαν το interactive physics.
Τα «προγραμματιζόμενα» αντικείμενα κινούνται άσχετα με δυνάμεις , πεδία κ.λ.π. Αν και Φυσικός λοιπόν ενδιαφέρομαι για «γεωμετρικές κινήσεις».
Πολύ λίγοι συνάδελφοι θυμούνται ή έχουν διαβάσει τις τότε συζητήσεις. Έτσι βλέπω να επανέρχεται η σύγχυση μεταξύ σύνθεσης (οριζόντια βολή λ.χ.) και υπέρθεσης (Αθροιστής, μίκτης, συμβολή κυμάτων κ.λ.π.) που είναι προϊόν γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Η σύγχυση αυτή δεν έχει λυθεί ακόμα.
Όταν ανάρτησα την "Με ποια ταχύτητα πρέπει να βληθεί νούμερο δύο" δέχτηκα από φίλο τηλεφωνικά και απορίες και αντιπρόταση.
Η αντιπρόταση χρησιμοποιούσε την λογική ότι την στιγμή της συνάντησης έχουν ίδιες συντεταγμένες x,y,z. Δεν χρησιμοποίησα τέτοια λύση αλλά την απεδέχθην. Μια χαρά λύση είναι φυσικά.
Οι απορίες-ενστάσεις σχετίζονταν με την διαδοχή των κινήσεων που πρότεινα. Για παράδειγμα γιατί το ένα σώμα να πέσει μόνο μια φορά, αφού και οι δύο κινήσεις έχουν "πεσίματα".
Έτσι έγραψα την "Αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων" με πρόθεση την συγκέντρωση και κωδικοποίηση όσων κατάλαβα από τις τότε συζητήσεις. Διότι και εγώ είχα παρανοήσει κάποια που ξεκαθάρισα μετά την επέμβαση της μαθητρίας του Ανδρέα και του κυκλοειδούς της.
Οι αντιπαθούντες την αρχή της ανεξαρτησίας επικαλούνται παρανοήσεις από κακή εφαρμογή της (λ.χ. δορυφόρος) και αποφαίνονται πως δεν έχει καθολική ισχύ ή ότι στέκει σε ελάχιστες περιπτώσεις. 'Ότι πρέπει να καταργηθεί άμεσα από κάθε διδασκαλία.
Μου έρχονται στο νου εκφράσεις όπως "αποκατινή τεντώστρα" (υποτείνουσα) , "κρυφό τσιμπούσι" (Μυστικός Δείπνος),"Κώστας Παλιοκουβέντας" (Κωνσταντίνος Παλαιολόγος). Τις απέδιδαν στους δημοτικιστές ώστε να τους εκθέσουν.
Όπως δεν φταίει η δημοτική για την "αποκατινή τεντώστρα" έτσι δεν φταίει η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων για το ότι εγώ την χρησιμοποίησα λανθασμένα στον προσδιορισμό της θέσης ενός δορυφόρου.
Δεν θα είχα πρόβλημα Γιάννη, να πω
"εκτελεί ταλάντωση με απομάκρυνση ίση με το άθροισμα των απομακρύνσεων…"
αρκεί να οριοθετούσαμε σαφώς από που προκύπτουν αυτές οι "απομακρύνσεις"….
Αν είναι "απομακρύνσεις" δύο ΑΑΤ που εκτελούνται ταυτόχρονα θα διαφωνούσα…
Αν είναι τιμές που προκύπτουν από εξισώσεις που θεωρούμε ότι εκφράζουν
αρμονικές απομακρύνσεις, κανένα πρόβλημα…
Γιάννη, είναι άλλο να σερβίρονται μπάμιες στο κουτούκι της γειτονιάς μου,
(απλά δεν θα τις παραγγείλω) και άλλο να υπάρχει θέμα πανελλαδικών
με διατύπωση "Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ΑΑΤ…"…
Τα θέματα στις πανελλαδικές είναι ο οδηγός διδασκαλίας της φυσικής τα
επόμενα λίγα ή πολλά χρόνια…
Αρνούμαι να εισάγω διάφορους παρατηρητές που ο καθένας θα βλέπει τα
"δικά του" μόνο και μόνο για να εξαγνίσω τέτοιες διατυπώσεις….
Διδάσκω στα πλαίσια ενός συγκεκριμένου προγράμματος σπουδών και προσπαθώ
να είμαι συνεπής σε όσα λέω από την Α' μέχρι και την Γ' Λυκείου…
Σε ευχαριστώ που αποκωδικοποιείς παλιότερες συζητήσεις…
Θα μου επιτρέψεις όμως να μην αποδεχτώ τις θέσεις του Αντρέα…
Διότι τότε, αν η φυσική γίνει γεωμετρία με χρόνο, η εξίσωση x=Aημωt ορίζει
απόλυτα σωστά και την ΑΑΤ και την εξαναγκασμένη αρμονική….
Γιατί πρέπει να ψάχνουμε για ΣF ;;;;;;
Αν θεωρείς ότι "έκραξα" συναδέλφους θεματοδότες που επέλεξαν την πιο πάνω
φράση…ζητώ συγγνώμη…. Την φράση "έκραξα"….και απλά απορώ γιατί επιλέγεται…
από έμπειρους επιλεγμένους συναδέλφους…
Θοδωρή ούτε εγώ έχω πρόβλημα να πω ότι "εκτελεί ταλάντωση με απομάκρυνση ίση με το άθροισμα των απομακρύνσεων…"
Ούτε έχω πρόβλημα να μιλήσω για επαλληλία εξισώσεων.
Το πρόβλημα είναι ότι έχεις πρόβλημα με την έκφραση "εκτελεί ταυτόχρονα δύο κινήσεις".
Δεν είμαι οπαδός της μίας αλήθειας.
Αθροίζουμε εξισώσεις σε περιπτώσεις διαφορετικές μεταξύ τους.
Μία περίπτωση είναι η περίπτωση υπέρθεσης δύο σημάτων (ηχητικό διακρότημα, συμβολή κ.λ.π.).
Μία εντελώς διαφορετική είναι η περίπτωση κίνησης μέσα σε κινούμενο μέσον (σύνθεση κινήσεων).
Άλλη περίπτωση είναι η άθροιση δύο προσθετέων σε εξαναγκασμένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση.
Οι παραπάνω περιπτώσεις καταλήγουν σε άθροιση, όμως δεν είναι το ίδιο πράγμα.
Καταλήγεις να απορρίπτεις τη μία από τις τρεις περιπτώσεις αυθαίρετα. Αντιφατικό διότι δέχεσαι τους γαλιλαϊκούς μετασχηματισμούς και τις σχετικές κινήσεις.
Έπειτα χρησιμοποιείς τον όρο α.α.τ. Αν εννοείς ταλαντώσεις αρμονικές μιας συχνότητας, δεν βλέπω γιατί να μην εκτελούνται ταυτόχρονα.
Αν εννοείς απλούς αρμονικούς ταλαντωτές (με δυνάμεις, ενέργειες, διαφορικές εξισώσεις κ.λ.π.) τότε έχεις ήδη φύγει από την κινηματική. Η κινηματική είναι γεωμετρία με χρόνο. Κινούνται όλα όσα αλλάζουν θέση. Ακόμα και το ίχνος ενός laser ή ένα pixel της οθόνης.
Η εμπλοκή της δυναμικής στην κινηματική συσκοτίζει ένα κάρο ενδιαφέρουσες περιπτώσεις. Μην καταλήξουμε να πούμε ότι ο μηχανικός παλμογράφος και η διάταξη σύνθεσης ταλαντώσεων με laser, που επέδειξαν στην έκθεση κατασκευών στο Αιγάλεω, δεν υπάρχουν διότι "ουδέν εκτελεί ταυτόχρονα δύο κινήσεις".
Κακώς συγχέουμε υπέρθεση με σύνθεση. Άλλο πράγμα είναι το διακρότημα που ακούμε όταν δύο ήχοι φτάνουν στα αυτιά μας και άλλο το διακρότημα που βλέπω να εκτελεί κάποιος που ταλαντεύεται, επειδή και εγώ ταλαντεύομαι με διφορετική κάπως συχνότητα.
Η μαθηματική ομοιότητα δεν εξομοιώνει τα φαινόμενα.
Να συνεχίσεις Διονύση, διότι εκφράζεις άποψη και θέση, δική σου, απόλυτα
σεβαστή… Εξάλλου βλέπεις ότι οι περισσότεροι από όσους τοποθετούνται
είναι υπέρ της συγκεκριμένης θέσης….
Και λέω οι περισσότεροι από όσους τοποθετούνται, διότι αρνούμαι να δεχτώ
πως όσοι δεν τοποθετούνται συμφωνούν με τη φράση:
"Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο ΑΑΤ"…..
Όμως τη μια με το γόρδιο δεσμό, την άλλη με το Μακεδονικό, γύρω
από το Μέγα Αλέξανδρο το φέρνεις συνέχεια….
Τι θα πει "Αρνούμαι να εισάγω διάφορους παρατηρητές που ο καθένας θα βλέπει τα
"δικά του" ;
Το ότι αρνείσαι είναι θέμα προτίμησης. Σεβαστή φυσικά, αλλά όσοι δεν αρνούμαστε κάνουμε λάθος;
Φυσικά η ίδια εξίσωση εκφράζει δύο διαφορετικά φαινόμενα. Διότι απλά πρόκειται για ίδιες κινήσεις. Κίνηση δεν είναι το φαινόμενο. Είναι η αλλαγή θέσης.
Γιατί σου κάνει εντύπωση το ότι κάποιες φορές δεν μας ενδιαφέρουν οι δυνάμεις και κάποιες φορές μας ενδιαφέρουν;
Γιατί απορείς για την επιλογή (από έμπειρους συναδέλφους) της φράσης "εκτελεί δύο κινήσεις" ;
Σωστή είναι κάποιες φορές.
Ένα παράπονο έχω Θοδωρή. Οι απαντήσεις σου δείχνουν ότι δεν έχεις διαβάσει όσα έγραψα.
Δεν μιλώ για το παρελθόν αλλά για τις πρόσφατες μέρες. Τρεις αναρτήσεις και 4 σχόλια.
Σε όλες και όλα αναφέρεται το περιεχόμενο του "εκτελεί δύο κινήσεις".
Σκιαγραφείται η διαφορά υπέρθεσης-σύνθεσης αλλά εσύ δέχεσαι μόνο την υπέρθεση/
Πράγματι Γιάννη δεν τις έχω διαβάσει….. Όχι γιατί σνομπάρω, αλλά δεν έχω
τη διάθεση να ξεκινήσω πάλι συζητήσεις που δεν θα καταλήξουν…
Και δεν έχω τη διάθεση, όχι γιατί βαρέθηκα με το όλο εγχείρημα του υλικονετ,
αλλά γιατί έχω δικά μου να διαχειριστώ και δεν υπάρχει καθαρό μυαλό…
Σου υπόσχομαι να το κάνω…
Συνεχίζω να απαντώ, διότι πρέπει να δικαιολογήσω τον τίτλο του "συνεπή"
που μου έδωσε ο Διονύσης…και γιατί…"προκαλούμαι"
Και ειλικρινά δεν καταλαβαίνω τι θέλεις να πεις με τη φράση:
"Κίνηση δεν είναι το φαινόμενο. Είναι η αλλαγή θέσης"
Τότε όμως και η φυσική παύει να είναι η επιστήμη που εξετάζει
"φυσικά φαινόμενα"….τα οποία πιστεύω πως επιδέχονται μία και μόνο εξήγηση…
Σε άλλη περίπτωση θα ήταν ..κάτι σαν τα οικονομικά…
Οι πανεπιστημιακοί λένε, αλλά …τα funds και οι οίκοι αξιολόγησης
αποφασίζουν τις τύχες μας…
Καλημέρα Θοδωρή.
" γύρω από το Μέγα Αλέξανδρο το φέρνεις συνέχεια…."
Είναι λόγω …επικαιρότητας
Εδώ ο Ζάεφ έκοψε το …γόρδιο δεσμό!
Καλημέρα Θοδωρή.
Κίνηση είναι απλά η αλλαγή θέσης. Ένα μπαλάκι στερεωμένο σε ένα ελατήριο είναι ένας αρμονικός ταλαντωτής. Διαφέρει εντελώς από μια εικόνα στο i.p. Η δεύτερη δεν έχει ενέργεια, ούτε δέχεται δυνάμεις. Μπορεί να μην δέχεται ούτε εικονικές δυνάμεις.΄Να έχει δηαλδή προγραμματιζόμενη συμπεριφορά.
Το αν η Φυσική ασχολείται με τον δεύτερο είναι άλλο θέμα. Προφανώς Φυσικοί όπως ο Σιτσανλής, ο Παπαδόπουλος, οι συνάδελφοι του phet και άλλοι ασχολούνται σοβαρά με "κινήσεις σκιών".
Τα παραπάνω φαινόμενα διαφέρουν. Όμως οι κινήσεις ταυτίζονται αν x(t)=x΄(t) .
Μία κίνηση είναι η κατάληξη ενός φαινομένου αλλά όχι το ίδιο το φαινόμενο.
Η εφαρμογή μιας τάσης προκαλεί ρεύμα. Όμως το ρεύμα δεν είναι η εφαρμογή τάσης.
Έρχομαι εδώ
Είναι ο μηχανικός παλμογράφος του Δημήτρη Τσαούση.
Ο Δημήτρης είναι Φυσικός. Η κατασκευή του απαιτεί γνώσεις Φυσικής.
Όμως δεν ασκήθηκαν στην βελόνα προαποφασισμένες δυνάμεις. Κινηματική έκανε. Επειδή μάλιστα κινείται αργά καταλαβαίνει κάποιος τι σημαίνει σύνθεση ταλαντώσεων.
Την βλέπει έστω ένας μαθητής μου και μου ζητάει εξηγήσεις. Να μην δώσω και να πω:
-Αυτό δεν είναι απλός αρμονικός ταλαντωτής! Δεν είναι αντικείμενο της Φυσικής!
Βεβαίως εδώ κάποιες δυνάμεις δέχεται η βελόνα. Δεσμικές δυνάμεις. Αν χρειάζεται μπορούμε να τις βρούμε και αυτό απαιτεί γνώσεις ταλαντώσεων.
Έρχομαι σε άλλο σύστημα που εκτελεί την ίδια κίνηση. Έναν εξαναγκασμένο ταλαντωτή.
Τα φαινόμενα οδηγούν στην ίδια κίνηση, είναι όμως εντελώς διαφορετικά.
Οι κινήσεις μπορεί να ταυτιστούν, χωρίς να έχουμε ίδιο φαινόμενο.
Καλησπέρα Χρήστο!
Άλλη μία άσκηση βλέπω στην σύνθεση όπως πριν κανα χρόνο πάλι;
Να σου πω την αλήθεια δεν συμπαθώ τέτοιου είδους ασκήσεις (θα μου πεις ποιος σε ρωτά) αλλά τέλος πάντων τις κάνω και είναι και θέματα εξετάσεων, συνήθως το "συνδυάζουν" με κύματα.
Ευτυχώς έδωσες τις παραπομπές στην παλιότερη για να μην ψάχνουμε και ξανάδα τα σχόλια.
Καλή σαν άσκηση, κλασική, αλλά αυτό το τελευταίο ερώτημα αν έπεφτε θα είχαμε μακροσκελείς συζητήσεις φαντάζομαι.
Νομίζω δύο ταλαντώσεις είναι αρκετές.
Καλησπέρα Βασίλη
Την είχα απο πέρυσι έτοιμη μαζί με τις άλλες αλλά θυμάσαι τι είχε γίνει πάλι με αφορμή τη χρήση στρεφόμενου ή όχι. Φαίνεται τελικά ότι η σύνθεση προκαλεί συζητήσεις!