by 
Ένα σώμα αμελητέων διαστάσεων με μάζα m=1kg εκτελεί ταλάντωση που μπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων:
x1=4·ημ(4πt)S.I. και x2=4√3·ημ(4πt+π/2) S.I.
i) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης x της κίνησης σε συνάρτηση με τον χρόνο.
ii) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος, κάποια στιγμή που η απομάκρυνση της εξίσωσης x1=4m.
iii) Να βρείτε σε ποιες θέσεις της ταλάντωσης μηδενίζεται ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος. Πόσος χρόνος μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του ρυθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας;
Αν το σώμα εκτελούσε ταλάντωση η οποία μπορούσε να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων x1, x2 και μιας άγνωστης x3, που έχει την ίδια διεύθυνση και την ίδια Θ.Ι. με τις x1 και x2, τότε το αποτέλεσμα της σύνθεσης και των τριών εξισώσεων είναι μια απλή αρμονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση x1,2,3=2·ημ(4πt+4π/3)S.I.
iv) Να γράψετε την εξίσωση που περιγράφει την απομάκρυνση x3 σε συνάρτηση με τον χρόνο.
Θεωρείστε ότι η αρχική φάση φ0 έχει πεδίο τιμών από [0, 2π).
Απάντηση στο blogspot ή σε word ή σε pdf
Καλημέρα Θοδωρή.
Εγώ ουδέν πρόβλημα βλέπω στο εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας.
Όπως δεν έχει πρόβλημα η "Καρτεσιανή" θέση δεν έχει ούτε η Γαλιλαϊκή. Ας μην απαιτούμε μία αλήθεια, μία σωστή περιγραφή.
Περισσότερα εδώ.
Καλημέρα σε όλους
Από τον καιρό που, νομίζω πρώτος, ο Θοδωρής, το 2010 (;), έβαλε, και σωστά, θέμα αν η έκφραση “σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις …” είναι αποδεκτή, με προβληματίζει πώς πρέπει να είναι αυτή η έκφραση.
'Ισως μια καλή “θεραπεία” θα ήταν η χρήση σχετικής κίνησης, που, όμως, δεν προβλέπεται στη διδακτέα ύλη, αδιέξοδο άρα…
Καλημέρα σε όλους τους συνομιλητές! (Σας διαβάζω, άσχετα αν δεν γράφω…)
Βαγγέλη πράγματι από το 2010, έχει μπει το θέμα, αλλά όχι από το Θοδωρή.
Ο Θοδωρής απλά είναι ο "συνεπής" εκφραστής της θέσης!
Αυτός ο γόρδιος δεσμός" μήπως ωρίμασε ο χρόνος να επιλυθεί;
Ή μήπως ο Γιάννης έβγαλε το σπαθί του, για να τον κόψει;
Ας περιμένουμε.
Καλησπέρα Γιάννη, σεβαστή και γνωστή η θέση σου. Θα μου επιτρέψεις να διαφωνώ..
Η αλήθεια είναι πως δεν έχω διαβάσει την τελευταία σου ανάρτηση και μάλλον
δεν είμαι στη "φάση" για κάτι τέτοιο, αυτή την περίοδο….
Βαγγέλη, πρώτος κατήγγειλε τη φράση ο Θρασύβουλος το Δεκέμβρη του 09 στη "Στοά
του βιβλίου"… Από τότε προσπαθώ να την αποφεύγω….Άλλοτε με επιτυχία και άλλοτε όχι…
Διονύση δεν βλέπω κανένα "Γόρδιο Δεσμό"…
Πριν λίγες μέρες έλεγα στην τάξη πως η κίνηση ορίζεται σε ορισμένο σύστημα αναφοράς
και για ορισμένο παρατηρητή, οριοθετείται δε από την αλλαγή της θέσης ως προς αυτόν…
Το σώμα λοιπόν στο σύστημα αναφοράς που χρησιμοποιούμε, έχει μία μόνο θέση, η οποία
περιγράφεται από μία εξίσωση, η οποία με τη σειρά της μπορεί να θεωρηθεί επαλληλία
πολλών άλλων κατάλληλων εξισώσεων…..Αυτό όμως δεν οριοθετεί και αντίστοιχες κινήσεις…
Για μένα το θέμα έχει κλείσει οριστικά….
Δεν πρόκειται να συμμετέχω ούτε να παρακολουθήσω συζητήσεις που ο κάθε ομιλητής
αλλάζει πλαίσιο, ανάλογα με το τι θέλει να αποδείξει….
Αναφέρομαι σε διδασκαλία φυσικής στη δευτεροβάθμια, μέχρι εκεί φτάνω….
Δεν μπορώ όμως να διορθώνω οριζόντια βολή και να διαβάζω πως "το σώμα εκτελεί
ευθύγραμμη οριζόντια ομαλή και ταυτόχρονα κατακόρυφη ομαλά επιταχυνόμενη"
Ούτε να ακούω πως η προβολή του άκρου του περιστρεφόμενου εκτελεί ΑΑΤ,
ενώ γνωρίζουν πως αναγκαία συνθήκη μιας τέτοιας κίνησης είναι δύναμη ΣF=-Dx….
Τι να κάνουμε…..χαλιέμαι….
Παρόλα αυτά είναι ωραίο να διαφωνούμε…..Μέσα από διαφωνίες γινόμαστε καλύτεροι,
αρκεί να θυμόμαστε ότι τελικά θα διδάξουμε μαθητές και οφείλουμε το καλύτερο
γι αυτούς….
Δυστυχώς η πραγματικότητα στα σχολεία είναι πολύ μακριά από αυτό που εμφανίζεται
στις αναρτήσεις μας …… Και το ρεαλιστικό είναι η τάξη, τι λέμε και πόσα
πετυχαίνουμε να περάσουμε…και όχι τι θα θέλαμε να λέμε….
δεν το θυμόμουν Θοδωρή (έχω πάντως αποδεχτεί την ένσταση, παρόλο που οι "παλιοί" έχουμε πάθει "μόνιμη παραμόρφωση"…)
και συνεχίζοντας τη σκέψη που κατέθεσα ήδη προτείνω η έκφραση “σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις …” να γίνει "σώμα ευρισκόμενο πάνω σε τραπέζι εκτελεί ΑΑΤ, με εξίσωση … σε σχέση με το τραπέζι, το οποίο εκτελεί ΑΑΤ με εξίσωση… σε σχέση με το οριζόντιο επίπεδο, να βρεθούν…
(ναι χρειάζεται διδασκαλία σχετικής κίνησης, αλλά όλες οι κινήσεις σχετικές δεν είναι;)
Φυσικά είναι ωραίο το να διαφωνούμε.
Όμως εγώ (μετά την παρέμβαση του Ανδρέα και της μαθητρίας του, τότε) αποδέχομαι την "καρτεσιανή" λογική. Η απόρριψη της γαλιλαϊκής λογικής "ντε φάκτο" δεν μου φαίνεται σωστή. Δεν υπάρχει μια μοναδική προνομιούχος περιγραφή.
Διονύσιε το σχοινί του γορδίου δεσμού είναι από υλικό που δεν κόβεται εύκολα.
Βαγγέλη κακώς είναι εκτός ύλης. Κάκιστα.
Καλησπέρα σε όλους.
Μόλις πριν λίγο γύρισα απο το φροντιστήριο και διάβασα τις θέσεις του Βαγγέλη, του Γιάννη και το σχόλιο του Θοδωρή. Η αλήθεια είναι ότι το συγκεκριμένο θέμα έχει ταλαιπωρήσει αρκετά την παρέα με ακλόνητες απόψεις και ''σκληρό'' ενστερνισμών απο κάποιους.
Βαγγέλη ζητάμε σχετικές κινήσεις ενώ ο υπουργός κόβει ολόκληρα μαθήματα.
Γιάννη δεν έχω όλη την εργασία σου την κάνω λίγο λίγο γιατί θέλει μελέτη. Από όσο είχα διαβάσει στην σελίδα του Αντρέα Κασσέτα όσον αφορά την αρχή της ανεξαρτησίας καίριο σημείο ήταν η εξέλιξη της μιας να μην επηρεάζει την άλλη κίνηση. Θυμάμαι ότι είχε αντιπαραβάλει και παραδείγματα που ενώ φαινόταν ότι εφαρμοζόταν κανονικά τελικά δεν γινόταν. Τέτοια παραδείγματα ήταν σε μαγνητικά πεδία. Θεωρείς ότι στις ταλαντώσεις τηρούνται οι προϋποθέσεις τότε μπορούμε να μιλήσουμε και για ταυτόχρονες ταλαντώσεις;
Καλημέρα συνάδελφοι.
Περίμενα μήπως και γίνει κάποια άλλη τοποθέτηση φίλου, μετά το χθεσινό μου σχόλιο που μίλησα για «ωρίμανση» του θέματος και για «γόρδιο δεσμό». Δεν έγινε τίποτα από αυτά, οπότε νιώθω υποχρεωμένος να γράψω κάποιες σκέψεις.
Νομίζω ότι μπορούμε να υποστηρίζουμε τη μία κίνηση και να την διδάσκουμε εισαγωγικά, όπως επίσης νομίζω ότι τη ΜΙΑ κίνηση, μπορούμε να την θεωρούμε ως σύνθετη δύο άλλων ανεξαρτήτων κινήσεων (όπου επιτρέπεται αλλά και επιβάλλεται). Αν αυτό γίνεται αποδεκτό (αλλιώς δεν μπορούν να διδαχτούν ένα σωρό πράγματα στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, η οποία υποτίθεται ότι μας ενδιαφέρει και μας απασχολεί), μπορούμε να πάμε παραπέρα.
Δεν με βρίσκει σύμφωνο Θοδωρή, η άποψη ότι η σύνθεση ταλαντώσεων δεν είναι Φυσική αλλά Τριγωνομετρία. Είναι Φυσική, όσο Φυσική είναι η συμβολή δύο ήχων ή γενικότερα δύο κυμάτων, όσο Φυσική είναι η ανάλυση μιας κυματομορφής και η εύρεση των αρμονικών που την συναποτελούν Το τελευταίο λέγεται ανάλυση Fourier και είναι το αντίστροφο της σύνθεσης που διδάσκουμε. Αν η ανάλυση Fourier θεωρηθεί ότι είναι επίλυση απλά ολοκληρωμάτων, τότε και η σύνθεση είναι απλά Τριγωνομετρία.
Αλλά πέρα από αυτό, νομίζω ότι από το 2010 μέχρι σήμερα, που μας απασχολεί το θέμα, θα έπρεπε να μπορούμε να αξιολογήσουμε αν κάποια πράγματα προσφέρονται για την διδασκαλία μας.
Αλήθεια Θοδωρή, νομίζει ότι φράσεις όπως η παρακάτω, βοηθούν τη διδασκαλία στην τάξη και την κατανόηση της πραγματικότητας:
"εκτελεί ταλάντωση, η οποία περιγράφεται από εξίσωση που προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων….."
Τι καταλαβαίνει ένας μαθητής όταν του διδάσκουμε αυτή την πρόταση;
Γιατί είναι κακό να διδαχθεί ένας μαθητής ότι αν στο τύμπανο του αυτιού μας, πέσουν ταυτόχρονα δύο αρμονικοί ήχοι, θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση η οποία μελετάται σαν σύνθετη ταλάντωση; Τι παρανόηση θα προκύψει στο μαθητή;
Απλά η επιμονή μας στη μία και μοναδική κίνηση οδηγεί σε διατυπώσεις, (κάποιες από αυτές επέλεξε ο Χρήστος, με αποτέλεσμα να δεχτεί τις αντιρρήσεις του Θοδωρή) δύσκολες, αφού πρέπει να «ισορροπήσει» μεταξύ της μίας κίνησης και της ανάγκης να διδάξει πράγματα που να καταλαβαίνει ένας μαθητής και που μπορεί να είναι και θέμα εξέτασης. Και το αποτέλεσμα αυτών των διατυπώσεων, οδηγεί σε «ακροβασίες» και προβληματικές αποδόσεις, όπως αυτές που επισημαίνεις παραπάνω Θοδωρή..
Αυτό θέλουμε;
Διονύση καλησπέρα
Κατά αρχάς να πω ότι συμφωνώ με τα όσα γράφεις. Μπορεί να γίνει αναφορά στη μία κίνηση και στο τι συμβαίνει. Όπως επίσης και για τη σύνθεση δύο κινηδεων να θυμίσω την οριζόντια βολή, βέβαια θα πουν άλλοι ότι η κίνηση είναι μια. Επιπλέον όσον αφορά την κίνηση να αναφερθώ στο διακροτημα από δύο ηχεία λαμβάνουμε ήχους με λιγο διαφορετικες συχνοτητες καικαι φτάν στα αυτιά μας. Το αυτι μας θα εχει εξισωση διακροτηματος που εχει προκυψει απο την επαλληλια των δυο ηχων. Εδώ δεν μπορούμε να πούμε ότι γίνεται υπέρθεση αυτών;
Καλησπέρα Διονύση, ειλικρινά δεν πείθομαι από όσα γράφεις ότι έχω άδικο σε κάτι …
"εκτελεί ταλάντωση, η οποία περιγράφεται από εξίσωση που προκύπτει
από την επαλληλία των εξισώσεων….."
Η εμπειρία μου, δείχνει ότι λειτουργεί εξαιρετικά….. Το πράγμα χαλάει όταν αρχίζουν
οι στρεβλώσεις με τις ενέργειες….
"αν στο τύμπανο του αυτιού μας, πέσουν ταυτόχρονα δύο αρμονικοί ήχοι,
θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση, η οποία μελετάται σαν σύνθετη ταλάντωση "
Η οποία μελετάται σαν σύνθετη ταλάντωση……Όμως το τύμπανο θα κάνει μία κίνηση
και σίγουρα ΟΧΙ δύο ΑΑΤ……
Και γιατί είναι κακό στην οριζόντια βολή να λέμε πως οι κινήσεις που χρησιμοποιούμε
για να περιγράψουμε τη μία κίνηση που εκτελεί το σώμα, είναι υποθετικές;;;;
Ή ακόμα καλύτερα, κινήσεις προβολών, ή ακόμα καλύτερα κινήσεις "σκιών" που
χρησιμοποιούμε επειδή δεν μπορούμε να κάνουμε αλλιώς;;;;
Ψέματα λέμε;;;;
Ακόμα δεν τα έχω καταφέρει ικανοποιητικά, στη σύνθετη κίνηση στερεού…
Στην κύλιση, πολλές φορές λέω "η κεντρομόλος και η επιτρόχια επιτάχυνση του σημείου
του δίσκου λόγω της κυκλικής κίνησης που εκτελεί" ….Αλλά το κάνω συνειδητά,
γιατί το "περιβάλλον" της κίνησης είναι δύσκολο και προσπαθώ να αποφύγω τη φράση
"της υποθετικής κυκλικής κίνησης που εκτελεί"….
Όσο για την ανάλυση Fourier …. Πιστεύεις Διονύση, ότι όλες αυτές οι ασκήσεις
που κυκλοφορούν στη σύνθεση ταυτόχρονων ΑΑΤ έχουν στόχο να διευκολύνουν
στην κατανόηση της ανάλυσης Fourier;;;; Εγώ πάλι όχι…..
Κυματική διδάχτηκα στο Δ' Εξάμηνο από τον Κώστα Ευταξία….
Αν δεν κάνω σοβαρό λάθος, ελάχιστα ασχολήθηκε με την ανάλυση Fourier
και σίγουρα δεν μας ζήτησε κάτι σε θέμα εξετάσεων….
Αντίθετα μας έβαζε θέματα που απαιτούσαν διαστατική ανάλυση….
Ο Χρήστος τα "έμπλεξε" στη διατύπωση, κατά τη γνώμη μου πάντα, επειδή
θέλησε το "παραπάνω"….την τρίτη κίνηση…που χαρακτήρισε εξίσωση στην
ίδια διεύθυνση με την ίδια Θ.Ι…..
Προσωπικά θεωρώ άσκοπο, να χαραμίσω τη μία από τις δύο ασκήσεις που έχω
για να ζητήσω σύνθεση ταλαντώσεων…. Άσε που για να την "πουλήσω" θα πρέπει
να αρχίσω να ρωτάω για ενέργειες…….υποθετικών ΑΑΤ…. και αυτό για μένα
δεν συγχωρείται….
Αν θυμάμαι καλά, άσκηση σύνθεσης υπήρξε στις επαναληπτικές του 09 και του 18….
Προφανώς και θα κάνω 2-3 ασκήσεις σύνθεσης, στις οποίες όμως θα ζητάω τη σύνθεση
δύο εξισώσεων και αφού βρεθεί η εξίσωση της μίας κίνησης μπορείς να ζητάς
ερωτήματα όπως σε άσκηση μιας ΑΑΤ….
Και επειδή μπορεί 16 χρόνια να το λέω λάθος….
Στη συμβολή αρμονικών κυμάτων και αφού φθάσουν τα κύματα στο σημείο,
αυτό εκτελεί τρεις κινήσεις ή μία;;;;
Έχει τρεις απομακρύνσεις ή μία;;;
Απλά την απομάκρυνση αυτής της μίας, μπορούμε να την βρούμε είτε από την
εξίσωση που την περιγράφει, είτε αθροίζοντας τις απομακρύνσεις των κινήσεων
που θα εκτελούσε αν…. (υποθετική έγκλιση…)
Επαλληλία Εξισώσεων!
Σαν μαθηματικός όρος ακούγεται. Αν ρωτήσω έναν μαθηματικό θα ξέρει άραγε τι είναι; Αν είναι όρος της φυσικής, τι ακριβώς σημαίνει;
Ακόμα κι αν δεν υπάρχει αυτός ο όρος, δεν έχω αντίρρηση να τον υιοθετήσουμε, εφόσον μας εξυπηρετούσε κάπου.
Όταν μελετάμε τη σύνθεση ταλαντώσεων (ή γενικά μια σύνθετη κίνηση) αυτό που ανακύπτει ως ερώτημα είναι: "ΓΙΑΤΙ αν προσθέσω τις επιμέρους εξισώσεις κίνησης προκύπτει η εξίσωση κίνησης του σώματος;". Η εισαγωγή του όρου "Επαλληλία Εξισώσεων" δεν απαντά στο παραπάνω ΓΙΑΤΙ.
Τι παραπάνω έχει το: "εκτελεί ταλάντωση, η οποία περιγράφεται από εξίσωση που προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων…."
σε σχέση με το: "εκτελεί ταλάντωση με απομάκρυνση ίση με το άθροισμα των απομακρύνσεων…";
Καλημέρα παιδιά.
Θοδωρή γράφεις:
Και γιατί είναι κακό στην οριζόντια βολή να λέμε πως οι κινήσεις που χρησιμοποιούμε
για να περιγράψουμε τη μία κίνηση που εκτελεί το σώμα, είναι υποθετικές;;;;
Ή ακόμα καλύτερα, κινήσεις προβολών, ή ακόμα καλύτερα κινήσεις "σκιών" που
χρησιμοποιούμε επειδή δεν μπορούμε να κάνουμε αλλιώς;;;;
Ψέματα λέμε;;;;
Όχι δεν είναι κακό ούτε λέμε ψέματα.
Ούτε η έκφραση του Γιάννη "εκτελεί ταλάντωση με απομάκρυνση ίση με το άθροισμα των απομακρύνσεων…" έχει πρόβλημα.
Το λάθος είναι όχι η έκφραση αυτή, αλλά το να θεωρούμε ότι το "κάνει δύο κινήσεις" είναι λάθος.
Παραθέτω το "ηθικό δίδαγμα" από την:
Η αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων".
Μάλλον δεν υφίσταται ηθικό δίδαγμα. Δεν ξέρω τι να προτείνω σε έναν συνάδελφο ως μονοπάτι για την διδασκαλία του στο όλο θέμα. Οι μαθητές μου καταλαβαίνουν ότι αν η βάρκα απομακρυνθεί από εμένα 10 m και ο ψαράς περπατήσει 2m πάνω στη βάρκα, τότε απομακρύνεται από εμένα 12m.
Πολλοί φίλοι έχουν άριστα αποτελέσματα μιλώντας για μια μοναδική κίνηση που γράφεται ως άθροισμα δύο προσθετέων. Προς τι να υποδείξω κάτι που με βολεύει, ίσως διότι μου αρέσει;
Η αποτυχία είναι δεδομένη όταν κάνεις καθ’ υπόδειξιν κάτι που δεν σου ταιριάζει.
Τι θα συνέβαινε αν ο Σαμπόνις επείθετο να κινηθεί στην επίθεση σαν τον Γκάλη;
Τι θα συμβεί αν ο Γκάλης επίθετο να δίνει πάσες προς τα πίσω, πάνω από το κεφάλι του;
Πέραν του γελοίου της υπόθεσης θα ήσαν εντελώς αναποτελεσματικοί.
Όμως θα πρότεινα ανοχή αν όχι εγκώμιο της διαφορετικότητας. Ας μην διαμαρτυρόμαστε όταν διαβάζουμε:
-Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο κινήσεις ….
Ας μην το κράζουμε ως λανθασμένη διατύπωση, ζητώντας άμεση αντικατάστασή του από το:
-Σώμα εκτελεί κίνηση η οποία μπορεί να αναλυθεί ως επαλληλία …….
Δηλαδή το να λέμε ότι η "Καρτεσιανή" λογική είναι η μόνη ορθή, είναι λάθος.
Το παράδειγμα με το τύμπανο του αυτιού ή με την συμβολή κυμάτων είναι εντελώς άλλη υπόθεση.
Αναγκαζόμαστε να προσθέσουμε δύο όρους, διότι πρόκειται για υπέρθεση "σημάτων¨ και όχι για δύο κινήσεις.
Δεν κάνουμε πρόσθεση για τον ίδιο λόγο πάντα.
Δυστυχώς η μαθήτρια και η τότε συζήτηση έχουν ξεχαστεί.
Καλημέρα συνάδελφοι.
Θοδωρή νόμιζα ότι μετά από 8 χρόνια που το θέμα αυτό μας έχει απασχολήσει, θα είχαν ωριμάσει οι συνθήκες για μεγαλύτερη ευελιξία στις διατυπώσεις. Θυμάσαι φαντάζομαι τη συζήτησή μας, αν μπορώ να περπατώ και ταυτόχρονα να κουνάω το χέρι μου ή να μιλάω.
Μάλλον πρέπει να σταματήσω να το κάνω, (να μιλάω θέτοντας το πρόβλημα) αφού από ό, τι φαίνεται έκανα λάθος και θα χρειαστούν άλλα 8 ή 16 χρόνια …
Ούτε το Μακεδονικό να ήταν
Καλημέρα συνάδελφοι.
Προσπαθώ να καταλάβω την ουσία της όποιας διαφωνίας. Δάβασα όσο μπορούσα τις παλαιότερες συζητήσεις και την άποψη του Α. Κασσέτα (στην παραπομπή του Γιάννη Κυρ).
Για παράδειγμα στις βολές, είναι προφανές ότι το υλικό σημείο διαγράφει μία τροχιά, άρα εκτελεί μία κίνηση. Αλλά είναι επίσης προφανές ότι η ανάλυση της κίνησης απλοποιείται σημαντικά αν την εξετάσω σε κάθε καρτεσιανό άξονα ξεχωριστά. Σε αυτό συμφωνούμε νομίζω όλοι. Γιατί τότε είναι πρόβλημα να περιγράψω την κίνηση ως την επαλληλία, σύνθεση δύο ανεξάρτητων κινήσεων (προφανώς φανταστικών) σε κάθε άξονα; Ποιον μπορεί να μπερδέψει αυτό; Απλά υπονοείται με την έκφραση αυτη ότι το διάνυσμα θέσης στο κατακόρυφο επίπεδο και σε ένα καρτεσιανό, αδρανειακό σύστημα αναφοράς, ισούται σε κάθε χρονική στιγμή με
r = uo t x + 0.5 g t^2 y, (έντονα γράμματα υπονοούν διανύσματα),
με ανεξάρητες λύσεις σε κάθε άξονα. Γιατά αυτό είναι αντιπαιδαγωγικό και γιατί με αυτόν τον τρόπο μαθαίνουμε στα παιδιά λάθος πράγματα;
Διαφορετικά ας μελετήσουμε το πρόβλημα σε ένα μη αδρανειακό σύτσημα αναφοράς το οποίο κινείται μαζί με το σώμα, επιλέξουμε πολικές συντεταγμένες και βρούμε την κίνηση έτσι όπως την "βιώνει" ένας παρατηρητής που ταυτίζεται με το σώμα.