by 
Ένα σώμα αμελητέων διαστάσεων με μάζα m=1kg εκτελεί ταλάντωση που μπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων:
x1=4·ημ(4πt)S.I. και x2=4√3·ημ(4πt+π/2) S.I.
i) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης x της κίνησης σε συνάρτηση με τον χρόνο.
ii) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος, κάποια στιγμή που η απομάκρυνση της εξίσωσης x1=4m.
iii) Να βρείτε σε ποιες θέσεις της ταλάντωσης μηδενίζεται ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος. Πόσος χρόνος μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών του ρυθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας;
Αν το σώμα εκτελούσε ταλάντωση η οποία μπορούσε να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων x1, x2 και μιας άγνωστης x3, που έχει την ίδια διεύθυνση και την ίδια Θ.Ι. με τις x1 και x2, τότε το αποτέλεσμα της σύνθεσης και των τριών εξισώσεων είναι μια απλή αρμονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση x1,2,3=2·ημ(4πt+4π/3)S.I.
iv) Να γράψετε την εξίσωση που περιγράφει την απομάκρυνση x3 σε συνάρτηση με τον χρόνο.
Θεωρείστε ότι η αρχική φάση φ0 έχει πεδίο τιμών από [0, 2π).
Απάντηση στο blogspot ή σε word ή σε pdf
Χρηστο Καλημερα !
Η συνθεση μας εχει απασχολησει αρκετα στο παρελθον . Κατα καιρους εχουν δοθει θεματα σε εξετασεις που ειναι σχετικα με το θεμα . Η ασκηση σου εχει ερωτηματα που μπορει κανεις να συναντήσει σε τετοιες ασκησεις . Πολυ μου αρεσε το τελευταιο !
Παρακατω εχω ακολουθησει μια αποδειξη χωρις περιστρεφομενα . Η αποδειξη στηριζεται στην αρχη της επαλληλιας . Την εχω χρησιμοποιησει και για τις δυο περιπτωσεις που αναφερεις .
Καλημέρα Χρήστο. Πρέπει οι μαθητές να εκπαιδεύονται και στη σύνθεση ταλαντώσεων, βασικών εννοιών, ώστε να μπορούν να ανταπεξέλθουν σε πιθανό θέμα. Ιδιαίτερα , να μην ''ακινητοποιούνται'' όταν έχουμε παραπάνω από 3 ταλαντώσεις. Η αρχή της επαλληλίας των εξισώσεων κίνησης, οι διαφορές φάσης ,τα πλάτη κλπ., πρέπει να διακρίνονται από το μαθητή και να χρησιμοποιούνται είτε με στρεφόμενα διανύσματα είτε με εξισώσεις.
να'σαι καλά.
Κώστα και Πρόδρομε καλησπέρα
Ευχαριστώ για το σχόλιο. Το θέμα μας έχει απασχολήσει ουκ ολίγες φορές σχετικά με την εκλογή της γωνίας. Αν το σχολικό όριζε ότι η αρχική φάση έχει πεδίο τιμών [0, 2π) ή και να ανέφερε το στρεφόμενο τα πράγματα απλοποιούνται αισθητά. Κώστα πολύ ωραίος ο τρόπος λύσης σου. Το έχουμε συζητήσει ξανά. Για πρώτη φορά το είδα στην ανάρτηση του Ξενοφώντα εδώ και στο βιβλίο του Θρασύβουλου. Το κάνω και σαν σχόλιο σε μία περσινή δική μου. εδώ
Να πω επίσης πως κινούμαστε στα όρια του σχολικού που σημαίνει ότι λέμε σύνθεση ταλαντώσεων ενώ η κίνηση είναι μία, πλάτος διακροτήματος ενώ στην πραγματικότητα αποτελεί την περιβάλουσσα. κτλ. Αυτό το λέω γιατί πολλοί θα εκφράσουν αντίθετη άποψη σχετικά με το ότι χρησιμοποιώ ένα σώμα συμμετέχει σε δύο ταλαντώσεις κτλ αν και το έχω προσέξει όσο μπορώ.
Γειά σου Χρήστο. Θα το αξιοποιήσω. Αν και δουλεύω τη σύνθεση με στρεφόμενα, η λύση του Κώστα είναι μια καλή εναλλακτική.
Πολύ καλή.
Στη θέση σου δεν θα απέφευγα εντελώς γραφική λύση.
Αποστόλη και Γιάννη καλησπέρα
Ευχαριστώ για το σχόλιο.
Γιάννη και Αποστόλη και εγώ είμαι λάτρης των στρεφόμενων αλλά μόνο φέτος τα αναπαριστώ και χρησιμοποιώ υβριδικό τρόπο λύσης. Δηλ. με την αναπαράσταση στον κύκλο αναφοράς απλά να ξέρουν ποια γωνία να εκλέξουν.
Γιάννη και εγώ θα δεχόμουν λύση καθαρά γραφική αλλά δεν ξέρω κατά πόσο είναι αποδεκτή απο όλους τους διορθωτές.
Καλησπέρα Χρήστο.
Πολύ καλή η σύνθεση, που την κάνει ακόμη καλύτερη η τρίτη ταλάντωση που ζητείται.
Και τα περιστρεφόμενα καλά είναι, αλλά και ο υβριδικός τρόπος αντιμετώπισης, λαμβάνοντας υπόψη και τις αντίθετες θέσεις, είναι μια λογική στάση.
Χρήστο καταλαβαίνω τη στάση σου. Παιδιά προετοιμάζεις και φοβάσαι ότι θα τα πάρεις στο λαιμό σου αν πέσουν σε κάποιον που δεν αποδέχεται τα στρεφόμενα.
Το σχόλιό μου επιδιώκει στο να κάνει όποιον συνάδελφο δεν αποδέχεται τέτοια λύση να μην αισθάνεται άνετα. Είναι "ιδιοτελές σχόλιο".
Διονύση και Γιάννη καλησπέρα
Διονύση χαίρομαι που σου άρεσε. Όντως το τελευταίο ερώτημα είναι το πιο ωραίο και δε σου κρύβω ότι η άσκηση στήθηκε για το τελευταίο ερώτημα.
Γιάννη είσαι σαφής, μακάρι να εισακουστείς.
Χρήστο, ο ένας από αυτούς που θα διαφωνήσουν είμαι εγώ.
Με όλη την αγάπη και την εκτίμηση που σου έχω, θα σχολιάσω αυτά που με ενοχλούν,
όχι στη δική σου ανάρτηση, αλλά σε όλες όσες προσπαθούν την εφαρμοσμένη
τριγωνομετρία να την παρουσιάσουν με "άρωμα" φυσικής ανύπαρκτων
ταυτόχρονων κινήσεων…
Γράφεις:
1) "εκτελεί ταλάντωση που μπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων:"
Μήπως θα ήταν καλύτερα να έγραφες:
"εκτελεί ταλάντωση, η οποία περιγράφεται από εξίσωση που προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων….."
2) "κάποια στιγμή που η απομάκρυνση της εξίσωσης x1=4m"
Ίσως ήταν καλύτερα:
"κάποια στιγμή που η εξίσωση x1, δίνει απομάκρυνση x1=4m"
3) "προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων x1, x2 και μιας άγνωστης x3, που έχει την ίδια διεύθυνση και την ίδια Θ.Ι. με τις x1 και x2"
Εδώ αφήνεις να εννοηθεί πως οι εξισώσεις έχουν διεύθυνση και Θ.Ι
4) "το αποτέλεσμα της σύνθεσης και των τριών εξισώσεων είναι μια απλή αρμονική ταλάντωση "
Δεν καταλαβαίνω πώς συνθέτοντας εξισώσεις παίρνουμε ΑΑΤ και επίσης δεν καταλαβαίνω
γιατί ενώ αρχικά η επαλληλία των x1, x2 έδινε εξίσωση που περιέγραφε ταλάντωση, (αρμονική
υποθέτω αλλά όχι απλή αρμονική),
τώρα η επαλληλία των x1, x2, x3, δίνει εξίσωση που περιγράφει Απλή Αρμονική Ταλάντωση
Αυτό που εγώ καταλαβαίνω να εξετάζεται στο τελευταίο ερώτημα, είναι η τριγωνομετρική
ταυτότητα ημ(π+θ)=-ημθ…. Τίποτε άλλο…
Και αυτό που πάντα σκέφτομαι όταν βλέπω ασκήσεις με σύνθεση τριών εξισώσεων:
Γιατί τρεις και όχι τέσσερις;;;;;;
Θα ήταν ακόμα πιο μπερδεμένες οι τριγωνομετρικές σχέσεις……
Χρήστο καμία μομφή για σένα…..Για θεματοδότες όμως…….
Πώς είναι δυνατόν, όταν έχουν να επιλέξουν δύο ασκήσεις από ολόκληρη σχεδόν
τη μηχανική, να πετούν τη μία με εφαρμοσμένη τριγωνομετρία;;;;
Καλημέρα Χρήστο.
Πολύ καλή ,ομορφαίνει το "σοι" της …
Αν κρίνω ορθά, ο Θοδωρής διαφωνεί κύρια για φραστικές …΄΄λακκούβες΄΄
Για το θέμα των περιστρεφόμενων φοβόμουνα κι εγώ κάποτε παρ’όλο που μ’άρεσε (και μ’αρέσει) να χρησιμοποιώ ,αλλά πιστεύω πως τώρα πια είναι αποδεκτή η χρήση τους.
Ωραία σύνθεση Χρήστο με το τελευταίο ερώτημα σαφώς να δίνει ένα διαφορετικό τόνο και να "ανεβάζει" την άσκηση.
Καλημέρα οδωρή και Παντελή
Ευχαριστώ για το σχόλιο και τις παρατηρήσεις.
Θοδωρή οι ενστάσεις δεκτές και οι εκφράσεις που προτείνεις θα γίνουν όσο το δυνατό να γίνει πιο ορθό.
Βέβαια θα υπερασπιστώ τη θέση μου και να σου πω πως το ίδιο λάθος θα το ξανακάνω. Παρόλο που στην τάξη κάνω αναφορά τι είναι σωστό δεν μπορώ να μην πω ότι ένα σώμα κάνει ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις κτλ. και αυτό γιατί σε επικείμενο θέμα οι μαθητές θα ψάχνουν να βρουν τι είναι αυτό.
Παντελή η ένσταση του Θοδωρή δεν περιορίζεται μόνο σε λεκτικές εκφράσεις όσο ότι απο αυτές τις λεκτικές εκφράσεις καταστρέφεται η φυσική των πραγμάτων ότι δηλ. δεν μπορεί να γίνει η σύνθεση δύο ταλαντώσεων και να δώσει μια ταλάντωση κτλ.
Παρεμπιμπτόντως έχω μία έτοιμη στο διακρότημα και ετοιμαζόταν για αφιέρωση στον Θοδωρή μιας και το έχει θίξει το θέμα πιο παλιά. Κοιτάζοντας στο ιστολόγιο του Θοδωρή ύστερα απο ενημέρωση του Τάσου είδα ότι αυτό που έχω έτοιμο είναι σχεδόν ίδιο με του Θοδωρή!!!
Τάσο σε ευχαριστώ γράφαμε ταυτόχρονα.
Η όποια ένσταση δεν έχει αποδέκτη το Χρήστο, ο οποίος προετοιμάζει τους μαθητές του
για θέματα όπως αυτό:
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2018 – ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
"Το άκρο Ο (x=0) του ελαστικού μέσου εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας.
Οι δύο ταλαντώσεις του άκρου Ο περιγράφονται από τις σχέσεις:……"
Και όταν στο υλικονετ που δεν είναι σχολική ή φροντιστηριακή τάξη, παρουσιάζουμε
και επικροτούμε συνθέσεις ταυτόχρονων κινήσεων, ρίχνουμε νερό στο μύλο
τέτοιων θεματοδοτών…
Πριν το 2004, διδάσκοντας σε φροντιστηριακή τάξη, τους έκανα σύνθεση δύο ταυτόχρονων
ΑΑΤ (προφανώς…) με εξισώσεις x1=A1ημωt και x2=A2συνωt
Τους έμαθα το "τρομερό" κόλπο τη δεύτερη να τη γράφουν x2=A2ημ(ωt+π/2)
Μπαίνει ίδια άσκηση σε διαγώνισμα σχολείου…
Μέτριος μαθητής γράφει 19…. Έρχεται η μητέρα του να με βρει:
"Κύριε Παπασγουρίδη, είστε εξαιρετικός καθηγητής…. Μάθατε στο γιο μου ΦΥΣΙΚΗ
Έγραψε 19 στο διαγώνισμα…"
Τα συμπεράσματα δικά σας