by 
Ας υποθέσουμε ότι ένα δοχείο περιέχει υγρό σταθερής πυκνότητας και βρίσκεται σε ομογενές βαρυτικό πεδίο. Λόγω του βαρυτικού πεδίου, η δυναμική ενέργεια στο σημείο Α είναι mgh και η πυκνότητα της δυναμικής ενέργειας (ενέργεια ανά μονάδα όγκου) σε αυτή τη θέση είναι ρgh (1). Σε ένα τυχαίο σημείο Β η δυναμική ενέργεια είναι mgh1, με ενεργειακή πυκνότητα ρgh1, και η πίεση στο ίδιο σημείο είναι ρgh2 . Το άθροισμα της ενεργειακής πυκνότητας στη θέση Β και της υδροστατική πίεσης στην ίδια θέση Β είναι:
ρgh1+ ρgh2 =ρg( h1+h2)= ρgh (2).
Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι το άθροισμα της ενεργειακής πυκνότητας και της υδροστατικής πίεσης, σε κάθε σημείο του υγρού, σταθερής πυκνότητας και μέσα σε ομογενές βαρυτικό πεδίο, είναι σταθερή. Σε σημείο στον πυθμένα του δοχείου η πυκνότητα της δυναμικής ενέργειας είναι μηδέν και η πίεση ίση με ρgh (επίπεδο αναφοράς ο πυθμένας του δοχείου), όσο δηλ. η πυκνότητα της δυναμικής ενέργειας σε σημείο της επιφάνειας. Αν το δούμε διαφορετικά: δηλ. η διαφορά πυκνοτήτων δυναμικής ενέργειας μεταξύ αυτών των δύο σημείων ισούται με την υδροστατική πίεση (ή γενικότερα με τη διαφορά των αντίστοιχων υδροστατικών πιέσεων), και αν μου επιτρέπετε απλά «ότι χάνει σε πυκνότητα δυναμικής ενέργειας το κερδίζει σε πίεση».
Νομίζετε ότι μπορούμε να συμπεράνουμε κάτι από αυτά; Ή προκύπτει κάτι που θα μπορούσε να μας βοηθήσει; Μπορεί να δίνει λύση σε ερωτήματα που μας έχουν απασχολήσει; Μπορεί να προκύψει από “σοβαρότερη” μαθηματική μαθηματική επεξεργασία;
με ιδιαίτερη εκτίμηση και (καθυστερημένες) ευχές για υγεία και ευτυχία σε όλους
Παναγιώτης Κουμαράς
Καλησπέρα παιδιά (που λέει και ο Γιάννης) η μάλλον πρώην παιδιά . Άργησα να απαντήσω γιατί υπήρχε ενδιαφέρουσα κουβέντα και προσπάθησα να ενημερωθώ και από παλιές ενδιαφέρουσες αναρτήσεις σας, εσείς απλά τα ξέρετε απέξω (εγώ θα τα μάθω).
Από ότι φαίνεται στα μαθηματικά συμφωνούμε όλοι: Το άθροισμα της δυναμικής βαρυτικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου και της πίεσης είναι σταθερό σε κάθε σημείο του υγρού για όλο τον όγκο του υγρού. Αυτό συνήθως προκύπτει από την εξίσωση Bernoulli 1/2ρv2 +ρgh+p = σταθερά , όπου αν το v τείνει στο 0 προκύπτει ρgh +p= σταθερά Το έδειξα στην υδροστατική απλά για να δείξω το κοινό. Όπως επίσης προκύπτει από τη λύση της διαφορικής εξίσωσης που παρουσίασε ο Νίκος, από την οποία απλά σημειώνω ότι φτάνουμε στη γνωστή μας σχέση για την πίεση.
Αυτά που καταλήξαμε μέχρι εδώ νομίζω ότι βοηθάνε όλους μας (και τους συγγραφείς βιβλίων) να συνειδητοποιήσουμε ότι:
Η πίεση είναι αριθμητικό μέγεθος
Ορίζεται σε κάθε σημείο του ρευστού
Δεν ενισχύει εκφράσεις που οδηγούν στη σύγχυση της έννοιας πίεση με την έννοια δύναμη, όπως: (η «προς τα πάνω πίεση», «η προς τα κάτω πίεση», «ασκείται πίεση», «η πίεση που δέχεται», «η πίεση δρα», «η πίεση που ασκεί το νερό», «η πίεση ωθεί κάθετα τα τοιχώματα» που αποδίδουν στην πίεση διανυσματικό χαρακτήρα και δε διευκολύνουν τη διαφοροποίησή της από τη δύναμη.
Το πρόβλημα που εγώ νομίζω ότι συνεχίζουμε να έχουμε είναι η φυσική σημασία του σταθερού αθροίσματος. Με απασχολεί το παρακάτω, το έθιξε και ο Διονύσης στην κουβέντα: Ένας στοιχειώδης όγκος (dV) υγρού, σταθερής πυκνότητας και μηδενικού ιξώδους, που περικλείει στοιχειώδη μάζα (dm) στην επιφάνεια (σημείο Α στο αρχικό σχήμα) έχει δυναμική ενέργεια (dm)gh1 και ενεργειακή πυκνότητα (dm)gh1/dV = ρgh1. Ο στοιχειώδης αυτός όγκος, αν θεωρηθεί ότι περικλείεται από τοίχωμα ίδιας πυκνότητας με το νερό, χωρίς καμιά δαπάνη ή απόδοση έργου μπορεί να βρεθεί σε κάποιο βάθος (σημείο Β στο σχήμα), όπου η πυκνότητα της δυναμικής του ενέργεια είναι ρgh2, μικρότερη από αυτήν στη θέση Α.
Για την μετακίνηση αυτή το έργο που απαιτείται (η αποδίδεται) είναι E=Fs Η ασκούμενη δύναμη τείνει στο μηδέν (θεωρούμε ότι δεν υπάρχουν τριβές, και το υγρό είναι σταθερής πυκνότητας). Αφού λοιπόν δεν αποδίδεται (ούτε δαπανάται) κανένα έργο και αφού η ενέργεια που είχε ο στοιχειώδης όγκος στη θέση Α ελαττώθηκε, πώς ισχύει η Αρχή διατήρησης τη Ενέργειας; Τι έγινε η υπόλοιπη ενέργεια; Σχετίζεται αυτό με το σταθερό άθροισμα που έχουμε ή όχι;
Καλησπέρα Παναγιώτη.
Αν απαντήσω ότι μειώθηκε μεν η δυναμική ενέργεια της μαζούλας που καταδύθηκε, αυξήθηκε δε η δυναμική ενέργεια του υπολοίπου υγρού;
Διότι η μαζούλα αντικαταστάθηκε από άλλη που “μετακόμισε στην θέση Α”;
Θα μπορούσα να δώσω και άλλη απάντηση, περιοριζόμενος μόνο στη μαζούλα. Μειώθηκε μεν η δυναμική της ενέργεια, αυξήθηκε δε το γινόμενο P.dV. Αυτό μοιάζει να “συντηρεί” την διατήρηση της ενέργειας της μαζούλας, στην οποία δεν προσφέρθηκε έργο, ούτε απέκτησε κινητική ενέργεια παρά την μείωση της δυναμικής της ενέργειας.
Αυτή η ποσότητα P.dV μοιάζει σαν δυναμική ενέργεια του πεδίου των ανώσεων. Σαν να έχουμε δύο πεδία, το βαρυτικό και το πεδίο ανώσεων. Στο πεδίο που συναποτελούν τα δύο πεδία δεν έχουμε μεταβολή δυναμικής ενέργειας.
Καλησπέρα Γιάννη
Μου φαίνεται ενδιαφέρουσα η δεύτερη απάντηση/σκέψη σου. Αυτό που λες “μοιάζει να “συντηρεί” την διατήρηση της ενέργειας της μαζούλας, στην οποία δεν προσφέρθηκε έργο, ούτε απέκτησε κινητική ενέργεια παρά την μείωση της δυναμικής της ενέργειας” θα μπορούσε να έχει κάποια σχέση με το σταθερό άθροισμα δυναμικής ενεργειακής πυκνότητας και πίεσης; Δεν ξέρω την απάντηση, με προβληματίζει απλά τι φυσική σημασία έχει αυτό το σταθερό άθροισμα πυκνότητας δυναμικής ενέργειας και πίεσης σε κάθε σημείο του ρευστού.
Αυτό που λες “η ποσότητα P.dV μοιάζει σαν δυναμική ενέργεια του πεδίου των ανώσεων” γιατί να μην είναι και αυτή του βαρυτικού πεδίου; Η πίεση (και η διαφορά πιέσεων) οφείλεται στο βαρυτικό πεδίο, γιατί όχι και η άνωση ως οφειλόμενη στη διαφορά πιέσεων. Και η δυναμική ενέργεια και η πίεση οφείλονται στο βαρυτικό πεδίο. Εκτός βαρυτικού πεδίου έχουμε πίεση μόνο αν το υγρό είναι περιορισμένο και είχε πίεση σε κάθε του σημείο, θυμήσου εκείνη την παλιά μεγάλη ιστορία με την πίεση που είχες ξεκινήσει όπου το νερό από τον πυθμένα του ωκεανού πήγαινε στο διάστημα μέσα σε δοχείο με ανένδοτα τοιχώματα..
Παναγιώτη είναι αλληλένδετα τα δύο πεδία. Φυσικά απουσία βαρύτητας δεν μιλάμε για άνωση.
Σκέφτομαι το εξής:
Ένα σωματάκι όγκου dV μεταβαίνει από πίεση P σε πίεση P΄. Το έργο της άνωσης είναι (P-P΄). dV (αν δεν έκανα λάθος).
Αν γράψουμε την παραπάνω διαφορά ως P.dV-P΄.dV μοιάζει σαν να έχουμε μια περίεργη ενέργεια. Όπως το έργο του βάρους είναι U-U΄ (διαφορά δυναμικών ενεργειών) έτσι εδώ το έργο της άνωσης είναι μια διαφορά δύο ποσοτήτων με διαστάσεις ενέργειας.
Θυμάμαι το δοχείο με το νερό και ποιος μου το έθεσε.
Καλησπέρα σε όλους,
Προσθέτω κι εγώ μερικές σκέψεις στο θέμα που έθεσε ο Παναγιώτης Κουμαράς:
Υδροστατική και υψομετρική πίεση
Καλημέρα και καλή Κυριακή σε όλους.
Παιδιά (ή πρώην παιδιά, κατά προηγούμενη ρήση του Παναγιώτη…), νομίζω ότι η παραπάνω τοποθέτηση του Διονύση, φωτίζει και το ερώτημα του Παναγιώτη.
Η σύνδεση βαρυτικής δυναμικής ενέργειας και υδροστατικής πίεσης, μπορεί να αναδειχτεί.
Πρέπει να συνδεθούν οι δυο ποσότητες; Προσωπικά διατηρώ επιφυλάξεις. Τις έχω γράψει από καιρό στην ανάρτηση:
Τι δεν είναι πίεση.
Να θυμίσω ένα απόσπασμα:
Προτιμώ δηλαδή τις πιέσεις να τις συνδέουμε με το έργο (μέσω των ασκούμενων δυνάμεων) και αυτό το έργο να μην αποδίδεται σε κάποια ενέργεια. Κατ΄αναλογία:
Κατά τη μετακίνηση του σώματος από τη θέση Α στη θέση Β, θα μπορούσα να εφαρμόσω μια διατήρησης “μηχανικής ενέργειας” αποδίδοντας δυναμική ενέργεια την οποία να συνδέσω με το έργο της δύναμης F.
Το αποτέλεσμα θα ήταν σωστό. Είναι λογικό να το κάνουμε;
Καλημέρα παιδιά.
Διονύση χάθηκες αλλά καλή δουλειά έφερες.
Διονύση (Μητ) σε ευχαριστώ για το κείμενο που ανέβασες, βοηθάει στον προβληματισμό μου. Διονύση (Μαρ) σε ευχαριστώ για την ερώτηση που βάζεις. Το δικό μου πρόβλημα είναι να απομακρυνθούν οι συνάδελφοι από την έντονη σύνδεση της πίεσης με τη δύναμη. Η πίεση υπάρχει σε κάθε σημείο του ρευστού και το χαρακτηρίζει, δεν δρα. Η πίεση είναι ένα καταστατικό μέγεθος και ορίζεται σε κάθε σημείο του ρευστού, χαρακτηρίζει την κατάστασή του, πολύ απλά ίσως θα μπορούσε να σχετίζεται με το βαθμό «συμπίεσης» του ρευστού σε αυτό σημείο. (και το νερό συμπιέζεται απλά το αντίστοιχο Κ ( The bulk modulus) είναι της τάξης του 10 στην ενάτη. ΄Η πρόταση του Άρη «τελικά θέλω να πω τουλάχιστον διδακτικά-ποιοτικά μπορούμε, έχοντας τα προηγούμενα κατά νου, να τονίζουμε την μια ή την άλλη όψη των πραγμάτων» νομίζω ότι θα ήταν χρήσιμη για προβληματισμό των συναδέλφων και των συγγραφέων των σχολικών βιβλίων, ίσως μετά τη διδασκαλία του νόμου Bernoulli. Εγώ απλά ψάχνομε για μια πιο «ενεργειακή» (συμπεριλαμβανομένου και του έργου) αντιμετώπιση της έννοιας πίεση (αρχικά για γνώση των Φυσικών) ώστε να μη συνδέεται τόσο με τη δύναμη με αποτέλεσμα να μπαίνει ακόμη και σε περιβάλλον στερεών. Απλά για το επίπεδο της ιδέας αν έχετε χρόνο δείτε το:
https://phys.libretexts.org/Courses/University_of_California_Davis/UCD%3A_Physics_7B/5%3A_Flow%2C_Transport_and_Exponential/5.2%3A_Steady-State_Energy_Density_Model_Applied_to_Fluids
σας ευχαριστώ
Ευχαριστούμε Παναγιώτη για τους προβληματισμούς που μας… παρασέρνεις.
Όσο για τα σχόλια, όταν μεταφέρεται κείμενο από Word (μάλλον από παλιότερες εκδόσεις…) κρατά πολλές φορές και κάποια …προκαταρκτικά που έχουν να κάνουν με τη μορφοποίηση.
Μια λύση είναι να γίνει η επικόλληση στον κεντρικό επεξεργαστή (υποκρινόμενοι ότι κάνουμε ανάρτηση) και από εκεί με copy-paste να το μεταφέρουμε στο σχόλιο.
Καλημέρα σε όλους,
Παναγιώτη σε ευχαριστώ για το σχόλιο και για τις ευκαιρίες προβληματισμού που μας δίνεις.
Διονύση, Γιάννη σας ευχαριστώ για τα σχόλια.
Πράγματι Διονύση, η υδροστατική πίεση αναδεικνύεται χρήσιμη μέσα στο ίδιο υγρό σε ισορροπία σαν βαθμίδα πίεσης, ή και σε εφαρμογές σε ανοικτές εγκαταστάσεις που περιβάλλονται από την ατμόσφαιρα.
Γιάννη προσπαθώ 🙂
Καλημέρα και καλή εβδομάδα.
Παρόλο που διάβαζα ,δεν συμμετείχα σχολιάζοντας ,οφείλω όμως ένα ευχαριστώ προς τον Καθηγητή Κουμαρά γιά τη σπίθα που ενεργοποίησε σκεπτόμενους κατοίκους της νησίδας με σκοπό να ξεκλειδώσουν τον προβληματισμό που έθεσε και φαίνεται πως έφτιαξαν ένα επι πλέον σκαλοπάτι για να πατήσει η σκέψη και να πλησιάσει την κλειδωνιά .
Ευχαριστώ όλους
Μια ανάρτηση, στην οποία διερευνάται τι συμβαίνει με την πίεση σε ένα σημείο (στην είσοδο του σωλήνα).
Η πίεση στο σωλήνα και η σπηλαίωση.
Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η τιμή της πίεσης, δεν καθορίζεται μόνο, από το τι υπάρχει πάνω από το σημείο Α, αλλά και από το τι υπάρχει, κάτω από αυτό, όπως είναι το μήκος ή η γεωμετρία του σωλήνα.