-
Ο/η Σπύρος Τερλεμές σχολίασε το άρθρο Μη αβαρές νήμα και κυκλική επιφάνεια πριν από 4 έτη, 3 μήνες
Ευχαριστώ κ. Γιάννη.
Όπως εύκολα μπορεί να δει κάποιος, έχοντας υπολογίσει τις οριακές συνθήκες για ισορροπία, μπορούμε να μελετήσουμε και την κινηματική του προβλήματος για τιμές που δεν ικανοποιούν την ανισότητα (15) – είτε δηλαδή για μικρούς συντελεστές, είτε για μεγάλη διαφορά προεξέχοντων μηκών.
Το έχω κάνει σε χαρτί – δεν βγαίνει κ…[Περισσότερα]
-
H/o Σπύρος Τερλεμές έγραψε ένα νέο άρθρο πριν από 4 έτη, 3 μήνες
Έστω ότι έχουμε ένα ομογενές ανελαστικό νήμα με πυκνότητα ρ(r)=ρ το οποίο βρίσκεται πάνω σε ακλόνητη κυκλική επιφάνεια ακτίνας R όπως στο παρακάτω σχήμα. Μεταξύ νήματος και επιφάνειας εμφανίζεται […]
-
Ο/η Σπύρος Τερλεμές σχολίασε το άρθρο Ολίσθηση και κύλιση σφαίρας σε ημισφαιρική επιφάνεια. πριν από 4 έτη, 3 μήνες
Καλημέρα κ. Πρόδρομε! Ευχαριστώ για τα όμορφα λόγια!
Όσον αφορά το πρόβλημα τώρα.
Κάνοντας υπολογισμούς, καταλήγω ότι οι συντελεστές τριβής που απαιτούνται για να επιτευχθεί ικανοποιητικά κάτι τέτοιο (δηλαδή το διάστημα ολίσθησης της ράβδου να είναι πολύ μικρό) χρειάζεται να είναι μεγάλοι.
Για πιο μικρούς συντελεστές τριβής, η ράβδος θα ξεκι…[Περισσότερα]
-
Ο/η Σπύρος Τερλεμές σχολίασε το άρθρο Ολίσθηση και κύλιση σφαίρας σε ημισφαιρική επιφάνεια. πριν από 4 έτη, 3 μήνες
κ. Πρόδρομε, αν θεωρήσουμε μεγάλους συντελεστές – άρα μικρότερο διάστημα ολίσθησης – τότε το πρόβλημα ναι μπορεί να λυθεί λυκειακά θεωρώντας μόνο κύλιση.
Η γωνιακή ταχύτητα θα είναι από την στιγμή του χασίματος της επαφής και μετά, σταθερή, άρα ο χρόνος που θα χρειαστεί για να γίνει κατακόρυφη θα είναι t=(θ+π/2)/ω, όπου θ και ω προκύπτουν άμε…[Περισσότερα]
-
Ο/η Σπύρος Τερλεμές σχολίασε το άρθρο Ολίσθηση και κύλιση σφαίρας σε ημισφαιρική επιφάνεια. πριν από 4 έτη, 3 μήνες
Ευχαριστώ κ. Γιάννη!
-
H/o Σπύρος Τερλεμές έγραψε ένα νέο άρθρο πριν από 4 έτη, 3 μήνες
Είναι γνωστό ότι κινήσεις σφαιρικών σωμάτων πάνω σε ημισφαιρικές επιφάνειες – όπως στο σχήμα – δεν είναι τόσο απλές. Με το θέμα είχε ασχοληθεί παλαιότερα ο κ. Στάθης Λεβέτας εδώ , μελετώντας την κύλιση της σφαίρ […]
-
Πάντα πολύ καλός!
-
Ευχαριστώ κ. Γιάννη!
-
-
Καλημέρα Σπύρο και ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ για τη μελέτη σου, που θα μπορούσε να είναι σημείο αναφοράς για Πανεπιστημιακή έρευνα!!
Δεν άφησες τίποτε που να μην το εξέτασες!
Θέλω να μελετήσεις αν έχεις χρόνο, και το εξής πρόβλημα:
Στην κόχη ενός τραπεζιού που εμφανίζονται τριβές, αφήνουμε μια λεπτή κυλινδρική ράβδο, π.χ. μια ατσάλινη βελόνα μήκους 20cm . Λόγω ασταθούς ισορροπίας αυτή αρχίζει να πέφτει στρεφόμενη γύρω από το σημείο στήριξης, κάποια στιγμή ολισθαίνει, και τελικά εγκαταλείπει το τραπέζι.
Ζητάμε με ποια γωνιακή ταχύτητα ω θα εγκαταλείψει.
Υπόψιν ότι όταν θα είναι στον αέρα, η γωνιακή ταχύτητα διατηρείται. Την άσκηση αυτή είχα βάλει στο διαγωνισμό φυσικής της ε.ε.φ. το 2001 ή 2002.
Έλεγα ότι δεν θα έχουμε ολίσθηση, και θέλαμε να βρει η ράβδος το πάτωμα (σε δεδομένο ύψος Η από το τραπέζι) σε κατακόρυφη θέση.
Και κάτι άλλο προσωπικό: θα δώσεις Πανελλαδικές εξετάσεις ή όχι;-
Καλημέρα κ. Πρόδρομε! Ευχαριστώ για τα όμορφα λόγια!
Όσον αφορά το πρόβλημα τώρα.
Κάνοντας υπολογισμούς, καταλήγω ότι οι συντελεστές τριβής που απαιτούνται για να επιτευχθεί ικανοποιητικά κάτι τέτοιο (δηλαδή το διάστημα ολίσθησης της ράβδου να είναι πολύ μικρό) χρειάζεται να είναι μεγάλοι.
Για πιο μικρούς συντελεστές τριβής, η ράβδος θα ξεκινήσει να ολισθαίνει για σημαντικό διάστημα και η κίνηση της θα γίνει περίπλοκη – θα προκύψουν παρόμοιες εξισώσεις με της παρούσας ανάρτησης.
Το ερώτημα είναι για ποιους συντελεστές έχουμε πολύ σύντομη ολίσθηση καθώς η ράβδος πέφτει?
Δίνω την απάντηση παρακάτω
Εφόσον η ράβδος (θεωρώ μήκους 2L) δεν ολισθαίνει, ισχύει xcm=Lcosθ και ycm=Lsinθ, όπου θ η γωνία με τον ορίζοντα.
Παραγωγίζοντας διπλά παίρνουμε xcm”=xcm”(θ,θ’,θ”) και ycm”=ycm”(θ,θ’,θ”).
Στροφικά είναι -mgLcosθ=(1/3)m(2L)^2.θ”, οπότε έχουμε την έκφραση θ”(θ).
Ολοκληρώνοντας (δηλαδή διατήρηση ενέργειας) παίρνουμε θ’^2=(3g/2)(1-sinθ), δηλαδή έχουμε και την έκφραση θ'(θ).
Συνεπώς, είναι γνωστές οι χωρικές εκφράσεις xcm”=xcm”(θ) και ycm”=ycm”(θ). Από τον δεύτερο νόμο του νεύτωνα έχουμε Τ=απόλυτο(mxcm”) και N-mg=mycm”. Η επαφή χάνεται όταν Ν=0, άρα λύνοντας θα πάρουμε μια γωνία θmax. Δηλαδή εμείς θέλουμε για 0<θ<θ1<θmax να μην έχουμε ολίσθηση, όπου θ1 μια γωνία πριν χάθεί η επαφή την οποία θεωρούμε ικανοποιητική για να θεωρηθεί μικρό το διάστημα ολίσθησης. Άρα πρέπει να ισχύει Τ(θ)<μΝ(θ) για 0<θ<θ1.
Αυτό γράφεται μ>(απόλυτο(xcm”(θ)))/(g+ycm”(θ))=λ(θ), για 0<θ<θ1
Κάνοντας πράξεις, βγάζω ότι λ(θ)=(3/4)(cosθ. απόλυτο(2-sinθ))/(1+(3/4)(3sin^2θ-2sinθ-1).
Για γωνία θ1 τέτοια ώστε λ(θ1)=μ, ξεκινάει η ολίσθηση.
Παρακάτω φαίνεται η γραφική παράσταση της λ(θ) – πράσινη, της αντίδρασης Ν – κόκκινη, και το σημείο που χάνεται η επαφή – μαύρη.
Βλέπουμε ότι όσο η γωνία πλησιάζει την γωνία αποχώρησης, τόσο μεγαλύτερη γίνεται η λ(θ),άρα η συνθήκη μ>λ(θ) δεν μπορεί να ικανοποιηθεί πλέον.
Αξίζει να αναφερθώ στο γεγονός ότι όταν sinθ=2/3, η τριβή μηδενίζεται (αφού μηδενίζεται η xcm”) στιγμιαία και ύστερα αλλάζει φορά. Δηλαδή, αρχικά η τριβή είναι προς τα δεξιά μέχρι να φτάσει σε γωνία sinθ=2/3, μετά την οποία αλλάζει φορά και είναι προς τα αριστερά. Οριζόντια δηλαδή, το κέντρο μάζας επιταχύνεται για ένα διάστημα και μετά επιβραδύνεται.
-
-
Μπράβο Σπύρο, ανταποκρίθηκε άμεσα και το έλυσες!!
Βέβαια το θέμα το έθεσα στο διαγωνισμό φυσικής, έτσι ώστε να μην έχουμε ολίσθηση, πολύ μεγάλος συντελεστής τριβής.
Οπότε η ράβδος στρέφεται μέχρι να γίνει Ν=0 και Τs=0.
Με Λυκειακή φυσική αντιμετωπίζεται το πρόβλημα. Ζητούσαμε και το ελάχιστο ύψος Η από το τραπέζι, ώστε όταν βρίσκει το δάπεδο να είναι κατακόρυφη. Νομίζω ότι το είχε λύσει μόνο ένας!!
Αν θα δώσεις Πανελλαδικές εξετάσεις νομίζω ότι πρέπει να προσαρμόσεις τις απαντήσεις σου με τις Λυκειακές γνώσεις .
Κι αυτό γιατί ίσως δεν κατανοηθεί αυτή από αυτόν που θα το βαθμολογήσει!
Να είσαι καλά.-
κ. Πρόδρομε, αν θεωρήσουμε μεγάλους συντελεστές – άρα μικρότερο διάστημα ολίσθησης – τότε το πρόβλημα ναι μπορεί να λυθεί λυκειακά θεωρώντας μόνο κύλιση.
Η γωνιακή ταχύτητα θα είναι από την στιγμή του χασίματος της επαφής και μετά, σταθερή, άρα ο χρόνος που θα χρειαστεί για να γίνει κατακόρυφη θα είναι t=(θ+π/2)/ω, όπου θ και ω προκύπτουν άμεσα από την διατήρηση της ενέργειας (θ ως προς τον ορίζοντα). Βγάζουμε λοιπόν τον χρόνο.
Η συνθήκη ταυτόχρονης επαφής της ράβδου με το δάπεδο όταν η ράβδος είναι κατακόρυφη, μας δίνει το ύψος, αφού το κέντρο μάζας επιταχύνεται ομαλά και ο χρόνος καθόδου είναι γνωστός και ίσος με t.
Είναι πολύ όμορφη η άσκηση σας!
Τέλος, ευχαριστώ για την συμβουλή, θα δώσω Πανελλήνιες.
Καλό απόγευμα!
-
-
-
Ο/η Σπύρος Τερλεμές σχολίασε το άρθρο Το κρεμασμένο βάρος και η στροφορμή. πριν από 4 έτη, 3 μήνες
Καλημέρα κ. Στάθη και κ. Γιάννη.
Μια και συνέχισε ο κ. Στάθης ας κάνω και μια προσθήκη ακόμα:
-
Ο/η Σπύρος Τερλεμές σχολίασε το άρθρο Το κρεμασμένο βάρος και η στροφορμή. πριν από 4 έτη, 3 μήνες
Καλημέρα κ. Γιάννη!
Όμορφη ιδέα.
Στον συνδυασμό των σχέσεων (1) και (2), αν βλέπω σωστά, δεν έχετε λάβει υπόψην ότι το ω2 είναι στο τετράγωνο στην σχέση (2). Άρα η τελική έκφραση για το r θα είναι η τρίτη ρίζα κάποιας ποσότητας (αν δεν κάνω λάθος βγαίνει περίπου 25cm). Επίσης, θα πρέπει και το κλάσμα να είναι αντεστραμμένο.
Εγώ το έκανα λί…[Περισσότερα]
-
Ο/η Σπύρος Τερλεμές σχολίασε το άρθρο Κίνηση σωματιδίου σε ελεύθερο καμπυλωμένο σώμα πριν από 4 έτη, 3 μήνες
Καλημέρα σε όλους.
κ. Κωνσταντίνε και κ. Γιάννη Φ καλή Χρονιά! Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά λόγια και ευχαριστώ κ. Κωνσταντίνε για το βιβλίο!
-
Ο/η Σπύρος Τερλεμές σχολίασε το άρθρο Κίνηση σωματιδίου σε ελεύθερο καμπυλωμένο σώμα πριν από 4 έτη, 3 μήνες
Καλησπέρα κ. Γιάννη και κ. Στάθη!
Ευχαριστώ για τα καλά λόγια!
κ. Στάθη, η μέθοδος που χρησιμοποιώ είναι ουσιαστικά τροποποιημένος κανόνας Simpson όπου έχω θεωρήσει ένα τόξο P0P1P2. Προκύπτει δηλαδή απευθείας από τον κανόνα του Simpson – η απλούστερη εκδοχή του, με τον μικρότερο αριθμό τόξων.
Στα γενικά μαθηματικά του Ayres (SCHAU…[Περισσότερα]
-
Ο/η Σπύρος Τερλεμές σχολίασε το άρθρο Κίνηση σωματιδίου σε ελεύθερο καμπυλωμένο σώμα πριν από 4 έτη, 3 μήνες
Καλησπέρα και Καλή Χρονιά σε όλους, με υγεία και δημιουργικότητα!
Μερικές εβδομάδες πριν, ο κ. Ανδρέας Ριζόπουλος, ανάρτησε μια άσκηση με ένα καμπυλωμένα σώμα όπως στο σχήμα της παραπάνω εργασίας. Δυστυχώς δεν είχα βρει μέχρι τώρα χρόνο να δημοσιεύσω μια περαιτέρω ανάλυση του φαινόμενου, οπότε καθυστέρησα.
Ελπίζω να αξίζει, μιας και δημ…[Περισσότερα]
-
H/o Σπύρος Τερλεμές έγραψε ένα νέο άρθρο πριν από 4 έτη, 3 μήνες
Κίνηση σωματιδίου σε ελεύθερο καμπυλωμένο σώμα υπό την επίδραση βαρυτικού πεδίου
Έστω ένα σώμα μάζας Μ, καμπυλωμένο με ακτίνα R όπως στο σχήμα, το οποίο μπορεί να κινείται χωρίς τριβές πάνω […]
-
Καλησπέρα και Καλή Χρονιά σε όλους, με υγεία και δημιουργικότητα!
Μερικές εβδομάδες πριν, ο κ. Ανδρέας Ριζόπουλος, ανάρτησε μια άσκηση με ένα καμπυλωμένα σώμα όπως στο σχήμα της παραπάνω εργασίας. Δυστυχώς δεν είχα βρει μέχρι τώρα χρόνο να δημοσιεύσω μια περαιτέρω ανάλυση του φαινόμενου, οπότε καθυστέρησα.
Ελπίζω να αξίζει, μιας και δημοσιευμένη την πρώτη μέρα της νέας χρονιάς. Την αφιερώνω λοιπόν στον κ. Ανδρέα. Καλό βράδυ σε όλους!
Να ευχαριστήσω επίσης τον κ. Γιάννη για την εικόνα της προσομοίωσης.
-
Καλή Χρονιά Σπύρο.
Μακάρι να θυμόμουν όσα χρησιμοποιείς.
Δεν μπορώ να φανταστώ τι θα κάνεις και τι θα ξέρεις όταν θα είσαι δευτεροετής. -
Καλημέρα Σπύρο, καλή χρονιά.
Συγχαρητήρια, η πρόοδός σου είναι εντυπωσιακή (μήπως να αφήσεις σιγά -σιγά την μηχανική… αν δεν το έχεις κάνεις ήδη).
Μια ερώτηση: ποια είναι η “πρισματική μέθοδος ολοκλήρωσης”; Μου θυμίζει τον κανόνα του Simpson, αλλά πάνε πολλά χρόνια… -
Καλησπέρα κ. Γιάννη και κ. Στάθη!
Ευχαριστώ για τα καλά λόγια!
κ. Στάθη, η μέθοδος που χρησιμοποιώ είναι ουσιαστικά τροποποιημένος κανόνας Simpson όπου έχω θεωρήσει ένα τόξο P0P1P2. Προκύπτει δηλαδή απευθείας από τον κανόνα του Simpson – η απλούστερη εκδοχή του, με τον μικρότερο αριθμό τόξων.
Στα γενικά μαθηματικά του Ayres (SCHAUM’S OUTLINE SERIES) αναφέρεται ως τύπος του πρίσματος.
-
Καλησπέρα σε όλους.
Σπύρο Χρόνια Πολλά και καλή χρονιά.
Πολλά συγχαρητήρια για την εργασία- μελέτη σου. Η πρόοδος σου είναι πράγματι εκπληκτική!
(Η μέθοδος του πρίσματος,την οποία δεν θυμόμουν καν σαν όρο και ίσως και να μη την είχα “συναντήσει” , αναφέρεται πράγματι στο βιβλίο του Ayres, στη σελίδα 254) -
Kαλησπερα Σπυρο.Χρονια πολλα,Καλη χρονια με καθε επιτυχια. Πολυ ωραια δουλεια!Εισαι σε πολυ υψηλο επιπεδο οποτε μπορεις να αρχισεις να διαβαζεις αυτο.Ειναι πολυ υψηλου επιπεδου γραμμενο απο εναν φοβερο μαθηματικο. Σε πολυ υψηλο επιπεδο η φυσικη ειναι κατα 90% μαθηματικα.
Δες εδώ. -
Καλημέρα σε όλους.
κ. Κωνσταντίνε και κ. Γιάννη Φ καλή Χρονιά! Σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά λόγια και ευχαριστώ κ. Κωνσταντίνε για το βιβλίο!
-
-
Ο/η Σπύρος Τερλεμές σχολίασε το άρθρο Υπολογισμός ροπής αδράνειας χωρίς ολοκλήρωμα πριν από 4 έτη, 4 μήνες
Καλησπέρα,
Είναι πολύ ωραία εργασία, όμως εν τέλει, οι αποδείξεις σας χρησιμοποιούν την έννοια του ολοκληρώματος. Όταν υπολογίζετε τα όρια των αθροισμάτων, ουσιαστικά υπολογίζετε ένα ολοκλήρωμα – κάνετε μια διαμέριση και έπειτα παίρνετε το όριο της.
-
Ο/η Σπύρος Τερλεμές σχολίασε το άρθρο Ο ρόλος του τοίχου πριν από 4 έτη, 4 μήνες
Καλημέρα σε όλους.
κ. Ανδρέα πολύ όμορφη άσκηση!
Όσον αφορά το αν το ημικύκλιο θα ξαναφτάσει στον τοίχο, η απάντηση είναι ότι πράγματι δεν θα ξαναφτάσει. Ναι μεν η κίνηση είναι περιοδική αλλά το εύρος των τιμών της απόστασης του ημικυκλίου από τον τοίχο δεν ξεκινάει από μηδέν (μετά την πρώτη περίοδο).
https://i0.wp.com/arxeialykeioy.files.word…[Περισσότερα] -
Ο/η Σπύρος Τερλεμές σχολίασε το άρθρο Χρόνια πολλά (και το 2021)! πριν από 4 έτη, 4 μήνες
Καλημέρα σε όλους και ευχαριστώ για τις ευχές!
-
Ο/η Σπύρος Τερλεμές σχολίασε το άρθρο Βρείτε το έργο. πριν από 4 έτη, 4 μήνες
Καλησπέρα κ. Διονύση,
Νομίζω ότι πράγματι δεν παίζει ρόλο ο τρόπος επιτάχυνσης. Επεκτείνοντας την πανέξυπνη σκέψη του κ. Διονύση Μητρόπουλου, ας υποθέσουμε ότι το πάνω σώμα κινείται με επιτάχυνση α (μεταβαλλόμενη ή μη) και έχει τελική ταχύτητα υ=2m/s.
Τότε ο κινούμενος παρατηρητής βλέπει μια δύναμη D’ Alembert ίση με m.α. Το στοιχειώ…[Περισσότερα]
-
Ο/η Σπύρος Τερλεμές σχολίασε το άρθρο Βρείτε το έργο. πριν από 4 έτη, 4 μήνες
Η απλοποίηση που έκανα εγώ σύμφωνα με το σχήμα σας, ήταν να θεωρήσω την άρθρωση σημειακή, δηλαδή πολύ μικρής ακτίνας. Αυτό σημαίνει ότι το έργο των ροπών των τριβών είναι πολύ μικρό (αμελητέο). Έτσι, το έργο μας ισούται με την κινητική ενέργεια του σώματος, δηλαδή 2J.
Αν δεν κάνουμε αυτήν την θεώρηση και ζητάτε αριθμό σαν λύση, θα πρέπει με κάπ…[Περισσότερα]
-
Ο/η Σπύρος Τερλεμές σχολίασε το άρθρο Βρείτε το έργο. πριν από 4 έτη, 4 μήνες
κ. Γιάννη, δεν έχω i.p οπότε δεν μπορώ να το δω.
-
Ο/η Σπύρος Τερλεμές σχολίασε το άρθρο Βρείτε το έργο. πριν από 4 έτη, 4 μήνες
Η τριβή έχει μηδενικό έργο στο σύστημα.
-
Ο/η Σπύρος Τερλεμές σχολίασε το άρθρο Βρείτε το έργο. πριν από 4 έτη, 4 μήνες
Καλησπέρα κ. Γιάννη,
Κάποια στιγμή, η ράβδος θα πάψει να κινείται ως προς το Α (δηλαδή θα παραμένει κατακόρυφη). Έτσι θα κινείται με ταχύτητα ίδια με το Α και ίση με υ=2m/s.
Η δύναμη F που ασκούμε εμείς στο Α είναι ίση με την τριβή που ασκείται στο Α. Όμως η αντίδραση της τριβής ασκείται στην ράβδο, κινώντας την προς τα μπροστά. Οπότε το έργ…[Περισσότερα]
- Φόρτωσε Περισσότερα
Μπράβο Σπύρο.
Την έχω δει στην οριζόντια εκδοχή της όπου το βάρος κάθε κομματιού δεν δρα.
Έκανες κάτι πλήρες και δύσκολο.
Ευχαριστώ κ. Γιάννη.
Όπως εύκολα μπορεί να δει κάποιος, έχοντας υπολογίσει τις οριακές συνθήκες για ισορροπία, μπορούμε να μελετήσουμε και την κινηματική του προβλήματος για τιμές που δεν ικανοποιούν την ανισότητα (15) – είτε δηλαδή για μικρούς συντελεστές, είτε για μεγάλη διαφορά προεξέχοντων μηκών.
Το έχω κάνει σε χαρτί – δεν βγαίνει κομψό αποτέλεσμα λόγω της εξάρτησης της τάσης τόσο από την γωνιακή ταχύτητα όσο και από την γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος. Έτσι, η τελική διαφορική είναι κατά πάσα πιθανότητα άλυτη, τουλάχιστον αναλυτικά.
Αν απορρέουν ενδιαφέροντα αποτελέσματα θα γράψω και ένα δεύτερο μέρος της παρούσας που θα αφορά την κινηματική της μελέτη.
Αφιερώνοντας λίγο χρόνο σε πράξεις, βρίσκω ότι η περίπτωση της κίνησης του νήματος είναι τελικά αντιμετωπίσιμη αναλυτικά – αν θέσω μ=0 προκύπτει μάλιστα μηδενισμός του όρου Β, γεγονός που επιβεβαιώνει τα αποτελέσματα μας σύμφωνα με παλαιότερη ανάρτηση μου εδώ.
https://dmarg02.files.wordpress.com/2022/01/789.jpg