Η τελευταία ανισότητα δεν είναι λανθασμένη. Ισχύει. Απλά δεν δίνει όλες τις δυνατές τιμές που παίρνει το y. Αν πάρω την ανισότητα x<3 ισχύει και x<4. αν τις προσθέσω βγάζω 2x<7 ή x<3,5 που ισχύει (με βάση την αρχική ανισότητα x<3<3,5) αλλά δεν δίνει όλες τις αρχικές δυνατές τιμές του x π.χ. αν x=3,2 ισχύει η αρχική ανισότητα (χ<3) αλλά όχι η τελική.
Διονυση η αρχικη συναρτηση y=(1/x)+1 με 1<χ<2 ειναι μια φθινουσα συναρτηση οπου το y(1) = 2 ειναι η μεγαλυτερη τιμη της και το y(2) = 1.5 ειναι η μικροτερη τιμη της . Μαλιστα ειναι μια υπερβολη με ασυμπτωτη την y=1. Πρεπει να κρατησουμε την αρχικη μορφη της δηλαδη για να βρουμε αυτο που θελουμε !
Καλησπέρα σε όλους.Οι δύο μορφές της συνάρτησης δίνουν για 1<x<2 ότι 1,5<y<2. Κατά τη γνώμη μου το λάθος του μαθητή είναι στον πολ/σμό των δύο ανισοτήτων (α) και (β) καθώς δε λαμβάνει υπόψη πως οι δύο ελάχιστες τιμές που πολλαπλασιάζει δεν εμφανίζονται ταυτόχρονα για την ίδια τιμή του x, άρα δεν πρόκειται ποτέ να εμφανιστεί η συγκεκριμένη τιμή, το ίδιο και για τις μέγιστες.
by 
Θέλουμε να βρούμε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της παράστασης :
Η τελευταία ανισότητα δεν είναι λανθασμένη. Ισχύει. Απλά δεν δίνει όλες τις δυνατές τιμές που παίρνει το y. Αν πάρω την ανισότητα x<3 ισχύει και x<4. αν τις προσθέσω βγάζω 2x<7 ή x<3,5 που ισχύει (με βάση την αρχική ανισότητα x<3<3,5) αλλά δεν δίνει όλες τις αρχικές δυνατές τιμές του x π.χ. αν x=3,2 ισχύει η αρχική ανισότητα (χ<3) αλλά όχι η τελική.
Ευχαριστώ Χαράλαμπε.
Αλλά με την ίδια λογική θα μπορούσε να γράψει κάποιος -500<y<500.
Και αυτή ισχύει αλλά δεν δίνει το πεδίο τιμών, που αν δεν κάνω λάθος, είναι 1,5<y<2
Διονυση η αρχικη συναρτηση y=(1/x)+1 με 1<χ<2 ειναι μια φθινουσα συναρτηση οπου το y(1) = 2 ειναι η μεγαλυτερη τιμη της και το y(2) = 1.5 ειναι η μικροτερη τιμη της . Μαλιστα ειναι μια υπερβολη με ασυμπτωτη την y=1. Πρεπει να κρατησουμε την αρχικη μορφη της δηλαδη για να βρουμε αυτο που θελουμε !
Σε ευχαριστώ Κώστα.
"Πρεπει να κρατησουμε την αρχικη μορφη της δηλαδη για να βρουμε αυτο που θελουμε ! "
Αυτό ακριβώς ψάχνω…
Γιατί πρέπει να κρατήσουμε την αρχική της μορφή; Η 2η μορφή δεν είναι ισοδύναμη;
Πού το χάνουμε;
ΥΓ
Το ερώτημα δεν είναι "στημένο" για να προκαλέσω συζήτηση..
Είναι πραγματικό, με ρώτησαν και …κόλλησα.
Αυτη ειναι η γραφικη παρασταση
Σύμφωνοι Κώστα.
Πού είναι όμως το λάθος στην απάντηση του μαθητή; Πού κάνει λάθος;
Για να βρεις το πεδιο τιμων θα κρατησεις την απλουστερη μορφη της συναρτησης που ειναι το αθροισμα του
(1/Χ) συν (1) και οχι μια πιο μπλεγμενη μορφη που ειναι το γινομενο του (Χ+1) επι (1/Χ) .
Σκεψου λιγο οτι οταν θα κανεις γραφικη παρασταση θα στηριχθεις στην απλη μορφη της . Αυτη θα σου δωσει και την μονοτονια της .
Άλλο πράγμα το συνεπάγεται και άλλο το ισοδυναμεί.
Όντως από την 1<x<2 => 1<y<3.
Όμως από την 1<y<3=> 0<x<0,5 και όχι η 1<x<2.
"Άλλο πράγμα το συνεπάγεται και άλλο το ισοδυναμεί."
Αυτό είναι…
Γιάννη και Κώστα σας ευχαριστώ.
Μπορούμε εύκολα να βρούμε ότι x=1/(y-1).
Αν y=1,1 τότε x=10, δηλαδή βγήκε έξω από το όριο 1<x<2.
Kαλησπέρα Διονύση. Αν ο μαθητήs λύσει την αρχική συνάρτηση ωs προs χ=1/y-1 οπότε μετά με το προσδιορισμό χ>1 και χ<2 βρίσκει y<2 και y>1.5
Ευχαριστώ Ιωάννη.
Καλησπέρα σε όλους!
Ελπίζω να συμφωνείτε με την παρέμβσασή μου.
Θέλουμε να βρούμε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της παράστασης…
Η απάντηση -1.000.000<y<1.000.000 είναι σωστή αφού όντως το διάστημα (-1.000.000,1.000.000) περιέχει την y.
Παρόμοιο υπάρχει και στο βιβλίο της άλγεβρας Α΄Λυκείου.
Καλησπέρα σε όλους.Οι δύο μορφές της συνάρτησης δίνουν για 1<x<2 ότι 1,5<y<2. Κατά τη γνώμη μου το λάθος του μαθητή είναι στον πολ/σμό των δύο ανισοτήτων (α) και (β) καθώς δε λαμβάνει υπόψη πως οι δύο ελάχιστες τιμές που πολλαπλασιάζει δεν εμφανίζονται ταυτόχρονα για την ίδια τιμή του x, άρα δεν πρόκειται ποτέ να εμφανιστεί η συγκεκριμένη τιμή, το ίδιο και για τις μέγιστες.
Ρίξτε μια ματιά στην λύση που προτείνω και που θεωρώ ότι είναι πλήρης από μαθηματικής απόψεως.
https://www.overleaf.com/docs/11603336jrwyddkgsrmf/pdf.pdf