by 
Ή τι σημαίνει δουλεύουμε με χρήση αλγεβρικών τιμών.
Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα και σε μια στιγμή t0=0, περνά από ένα σημείο Α, κινούμενο προς τα δεξιά με ταχύτητα μέτρου 10m/s, ενώ έχει σταθερή επιτάχυνση με φορά προς τα αριστερά, μέτρου 2m/s2.
i) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος τις χρονικές στιγμές:
α) t1=4s και β) t2=7s.
ii) Ποια χρονική στιγμή το σώμα αλλάζει κατεύθυνση κίνησης;
iii) Πόσο απέχει το σώμα από την αρχική θέση Α, τη χρονική στιγμή που ενώ κινείται προς τα αριστερά έχει ταχύτητα μέτρου 10m/s;
Οι απαντήσεις να δοθούν:
Α) Θεωρώντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική.
Β) Θεωρώντας την προς τα αριστερά κατεύθυνση ως θετική.
ή
Πώς υπολογίζουμε ταχύτητες σε μια ΕΟΜΚ
Πώς υπολογίζουμε ταχύτητες σε μια ΕΟΜΚ
Θα επιμείνω και σε σένα Νίκο.
Γιατί ο Αλεξόπουλος μιλάει για εφθ και για εμβαδόν;
Γιατί δεν λέει “είναι αριθμητικά ίσο” και λέει “είναι ίσο”;
Μήπως του ξέφυγε διότι άνθρωπος ήτο και σφάλμα διέπραξε; (Κοινούσης, Δούκισσα).
Ο άνθρωπος χρησιμοποιεί περιφράσεις, παραστάσεις,αφαιρέσεις, αναλογίες. Το κάνει για να διευκολύνει την ζωή του και όχι για να την κάνει ποδήλατο.
Επανέρχομαι….
Φυσικά έχουν να προσφέρουν κάτι επί της ουσίας.
Δεν έχει σημασία το αν έχεις πρόχειρο τον Αλεξόπουλο ή όχι. Το λέει.
Γιατί;
Έκανε λάθος που εμείς αποφύγαμε;
Περίμενε ένα λεπτό.
Γιατί άραγε ο Αλεξόπουλος αναφέρει ως εφαπτομένη και ως εμβαδόν “οντότητες” που ένας πιτσιρικάς (τότε) το 1972 είχε καταλάβει ότι δεν είναι τέτοια;
Του ξέφυγε;
Πάμε στο διάγραμμα:
Οι γωνίες έχουν για εφαπτόμενες πραγματικούς αριθμούς.
Οι παρούσες “γωνίες” έχουν εφαπτόμενες 1 m/s2 και 3 m/s2 δηλαδή όχι αριθμούς.
Όμως η “παράσταση” αυτή και η αφαίρεση αυτή με βοηθούν πολύ.
Ξέροντας ότι η επιτάχυνση είναι ίση με την εφαπτομένη λέω ότι η μία γωνία είναι μεγαλύτερη από την άλλη και έχει μεγαλύτερη εφαπτομένη-επιτάχυνση.
Λέω επίσης ότι μέχρι την στιγμή t1 προηγείται το κόκκινο διότι…… το εμβαδόν είναι μεγαλύτερο.
Προηγείται τόσο όσο εμβαδόν έχει το πάνω τρίγωνο.
Τα χειρίζομαι ως εμβαδά χωρίς να είναι και διευκολύνω την σκέψη μου και τη μελέτη μου.
Περισσότερο διευκολύνεται ένας μαθητής έτσι, είτε ξέρει ολοκληρώματα, είτε όχι.
Μήπως έτσι σκέφτηκε ο Αλεξόπουλος;
Στην Φυσική υπάρχουν πολλές αφαιρέσεις.
Ένα σώμα κάνει δύο κινήσεις. Φυσικά μία κάνει, αλλά θα προτιμούσαμε να λέγαμε ότι "ένας παρατηρητής βλέπει το σώμα να κινείται με ταχύτητα υ1 και ένας άλλος βλέπει τον προηγούμενο παρατηρητή να κινείται με ταχύτητα υ2";;
Δεν βοηθούν οι "ραψωδίες".
Το στρεφόμενο λύνει προβλήματα, παρακολουθώντας στενά έναν ταλαντωτή, χωρίς να υπάρχει. Επινόηση είναι.
Το ίδιο και η i.L.ω ενός πηνίου. Επινόηση είναι.
Μια από τις πρώτες (για μικρούς μαθητές) επινοήσεις είναι και τα εμβαδά που δίνουν ενέργειες, φορτία, μετατοπίσεις, ωθήσεις, μεταβολές ταχυτήτων και όχι στρέμματα. Εξ άλλου δεν έχουμε χωράφια των -4 στρεμμάτων.
«Φίλος μεν Πλάτων, φιλτάτη δε η αλήθεια.»
Χωρίς παρεξήγηση, αλλά το ότι επειδή το είπε ή το έγραψε ο Αλεξόπουλος σημαίνει ότι είναι και σωστό, αυτό δεν το δέχομαι. Δεν χρειάζόμαστε να κάνουμε επίκληση στην «αυθεντία» για να αποδείξουμε κάτι.
Αυτό που έχουν να προσφέρουν είναι μια «νηπιακή» προσέγγιση τού ζητήματος για τους μαθητές που έρχονται σε πρώτη επαφή. Δηλαδή, μόνον για διδακτικούς σκοπούς μπορούν να χρησιμοποιηθούν και συγκεκριμένα σε γυμνασιακό-λυκειακό επίπεδο.
Στην καθαυτή επιστήμη τής Φυσικής είναι αχρείαστα.
Φυσικά. Όχι επειδή το έγραψε ο Αλεξόπουλος …..
Δεν είμαι δογματικός ούτε προβάλω αυθεντίες αντί επιχειρημάτων.
Όμως σκέψου εμένα. Κοιτάζω το βιβλίο, ξέρω τι γίνεται και σκέφτομαι:
-Αφού ξέρει Φυσική πολύ περισσότερο από μένα, γιατί το κάνει;
Και αντελήφθην την πρόθεση που περιέγραψα. Ίσως δεν αντελήφθην ότι έπρεπε να αντιληφθώ.
Το πιο εύκολο θα ήταν να μείνω στην πρώτη αντίδραση:
-Λάθος!! Οι εφαπτόμενες δεν έχουν μονάδες!
Πάμε σε κάτι ελαφρότατα σχετικό. Ακούνε το Μαρκοπουλικόν ” Ο πάτερ Γυμνάσιος” και αμέσως…
-Λάθος! πάτερ είναι η κλητική του πατρός. Ονομαστική “ο πατήρ”.
Όμως διαβάζουμε στον Σαραντάκο ότι ο (προφανώς γνωρίζων καλά Ελληνικά) Παπαδιαμάντης γράφει “ο πάτερ” και όχι σε διαλόγους μεταξύ χωρικών αλλά στο κανονικό κείμενο.
Ούτε τον Σαραντάκο επικαλούμαι ως αυθεντία. Απλώς βρίσκω λιγότερα λάθη απ’ όσα ανακάλυπτα νεώτερος.
Καλησπέρα Θεόκλητε.
Σε παρακαλώ μετέτρεψε το Latex σε εικόνα, αφού η προηγούμενη προσπάθεια με την εγκατάσταση του αντίστοιχου Plugin, μας δημιουργούσε προβλήματα και το αφαίρεσα.
Σε κάθε επιλογή, κάτι χάνεις κάτι κερδίζεις…
Καλησπέρα παιδιά.
Να ευχαριστήσω κατ΄αρχήν το Νίκο για την εμφάνιση του κειμένου, κάνοντας εικόνα το κείμενο με τις μαθηματικές πράξεις.
Γιάννη, δεν καταλαβαίνω τις αντιρρήσεις σου.
Δεν είπε κανείς ότι ο μαθητής δεν θα “δει” τις κλίσεις στις ευθείες και τα “εμβαδά” και δεν θα δει γεωμετρικά μεγέθη, ενώ θα θέλει να συγκρίνει φυσικά μεγέθη.
Αλλά δεν βλέπω το πρόβλημα που δημιουργείται αν διδαχτεί ότι η κλίση ή το αντίστοιχο εμβαδόν είναι “αριθμητικά ίσο” και όχι απλά ίσο με την ταχύτητα ή με την μετατόπιση.
Το σίγουρο είναι ότι ένα εμβαδόν δεν μπορεί να είναι ίσο με μια μετατόπιση. Πώς αυτό θα πρέπει να διδαχτεί και να “εκπαιδευτεί” το νέο παιδί να μην συγκρίνει ανόμοια μεγέθη; Ρώτησε σε παρακαλώ στην τάξη τη Δευτέρα τα παιδιά της Α΄τάξης, για ένα σώμα αν μπορεί να έχει επιτάχυνση 20m/s2 και ταχύτητα …μόνο 4m/s να δεις το αποτέλεσμα…
Εσύ μπορεί να μην μπερδεύεσαι ο μαθητής όμως …χάνεται και τα θεωρεί όλα ίδια…
Αλλά μιας και το συζητάμε αν η ταχύτητα είναι αρνητική σε ένα χρονικό διάστημα, το αντίστοιχο ολοκλήρωμα είναι επίσης αρνητικό και η υπολογιζόμενη μετατόπιση αρνητική. Πόσες φορές οι μαθητές δεν μίλησαν για αρνητικό εμβαδόν;
Να προσθέσω και κάτι ακόμη.
Ούτε την εφαπτομένη ξέρει ο μαθητής καλύτερα από την κλίση.
Νομίζουμε ότι έχει πλήρη κατανόηση της εφαπτομένης στο διάγραμμα και ότι εκεί πάνω μπορούμε να κτίσουμε.
Νομίζω ότι δεν ισχύει ή δεν ισχύει πια…
Διονύση αναχωρώ εις Λεβάδειαν έτσι δεν μπορώ να κάνω παραδείγματα με σχήματα που σκέφτηκα.
Ουδεμίαν αντίρρησιν έχω αν πεις “αριθμητικά ίσο” ή “οιονεί ίσο” ή “γκλογκ” ή ότι θέλεις.
Πάντως δεν είναι ούτε “άριθμητικά ίσα” διότι δεν είναι εμβαδά. Τα τρίγωνα δεν είναι τρίγωνα κ.λ.π. Σ’ αυτά τα τρίγωνα μόνο το ένα ύψος έχει νόημα. Τα άλλα ύψη δεν είναι τίποτα. Τα λέμε έτσι για να δουλεύουμε.
Βγάζουμε δύο “τρίγωνα” ίσα διότι έχουν δύο γωνίες ίσες ως κατά κορυφήν και βάσεις ίδιες.
Αφαιρούμε δύο “εμβαδά” ως εάν ήσαν εμβαδά.
Συγκρίνουμε εφαπτόμενες ή συνεφαπτόμενες (ποτέ ημίτονα ή συνημίτονα) ως εάν επρόκειτο περί γωνιών.
Η Φυσική είναι και τσαχπίνα και αρκουδιάρα. Δεν έχει την αυστηρότητα και το “μουντρούχικο” των Μαθηματικών που φυσικά δεν μπορούν να μιλήσουν για εμβαδά σε μη ορθοκανονικό σύστημα αξόνων.
Αυτή κάνει έναν πραγματικό φανταστικό αριθμό, μετά μιγαδικό και όταν τελειώνει ξανά πραγματικό και λύνει κυκλώματα και ταλαντώσεις.
Δεν προλαβαίνω περισσότερα.
Πες τα όπως θέλεις. Ο Αλεξόπουλος τα λέει “εμβαδά” και “εφαπτόμενες” , οπότε ας προσέχουμε πριν μιλάμε για λάθος.
Έπειτα ας σκεφτούμε αν είχε κάποιο λόγο γι’ αυτό και ποιον.
Λόγου χάριν, τα εμβαδά είναι ίσα διότι έχουν κοινή βάση και ίσα ύψη.
Οι μετατοπίσεις είναι ίδιες.
Πρέπει να παραθέσω υπολογισμό;
Φυσικά δεν πρόκειται για τρίγωνα, ούτε έχει νόημα να μιλάμε για ισότητα των άλλων υψών.
Αλήθεια τι είναι τα άλλα ύψη;
Τι μονάδες έχουν;
Αν τα τρίγωνα είναι “αριθμητικά ίσα” δεν είναι και τα άλλα ύψη “αριθμητικά ίσα”;
Καλημέρα σε όλους.
Γενικά υπάρχει θέμα με την Α΄ Λυκείου, τάξη στην οποία τα παιδιά καλούνται να "βουτήξουν στα βαθιά" απότομα από τη gentle Φυσική της Γ' γυμνασίου! Ο καθηγητής φυσικής πρέπει να εφευρίσκει τρόπους για να εξηγεί πράγματα που συνάδουν και με μαθηματικές γνώσεις. Όμως, πιστεύω ότι πρέπει πάση θυσία να προσπαθούμε να μην απέχουμε πολύ από τις αληθινές και σωστές έννοιες. Θεωρώ ότι πάντα πρέπει να γίνεται υπενθύμιση και ενασχόληση με μαθηματικές έννοιες που χρειαζόμαστε στο μάθημά μας, ακόμα και αν δε γίνουν απόλυτα κατανοητές από τους περισσότερους μαθητές. Η ωμή πραγματικότητα είναι ότι σε ελάχιστους αρέσει η Φυσική.
Καλημέρα Γιάννη, καλά να περάσεις στη Λειβαδιά.
Για μετά την επιστροφή σου λοιπόν…
“Έπειτα ας σκεφτούμε αν είχε κάποιο λόγο γι’ αυτό και ποιον.”
Ποιον λόγο λες να είχε ο Αλεξόπουλος; Πες τον και μην μας καλείς να τον μαντέψουμε. Εγώ θα έλεγα ότι μερικά πράγματα πριν χρόνια τα διατυπώναμε πιο απλά, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι τα λέγαμε και πιο σωστά.
Γράφεις:
“Αλήθεια τι είναι τα άλλα ύψη;
Τι μονάδες έχουν;
Αν τα τρίγωνα είναι «αριθμητικά ίσα» δεν είναι και τα άλλα ύψη «αριθμητικά ίσα»;”
και δυσκολεύομαι να σε παρακολουθήσω.
Η γεωμετρική ερμηνεία του ολοκληρώματος μας διδάσκει ότι ένα ολοκλήρωμα “μετράει” κάποιο εμβαδόν ενός υποθετικού χωρίου στο επίπεδο xy. Αυτό το χωρίο μπορεί να έχει τυχαίο γεωμετρικό σχήμα (μη βολική κατάσταση που καθόλου δεν μας βοηθάει) ή να είναι ένα τρίγωνο ή ένα τραπέζιο. Στην περίπτωση του απλού και βολικού γεωμετρικού σχήματος, μπορούμε να πάμε ανάποδα και αντί να δουλέψουμε με ολοκληρώματα, κάνουμε γεωμετρία, υπολογίζουμε το εμβαδόν του χωρίου και είμαστε βέβαιοι ότι τόση είναι η τιμή και του ολοκληρώματος.
Τώρα αν έχεις δύο τέτοια χωρία, σχήματος τριγώνου, με ίσα εμβαδά, αυτά τα χρησιμοποιούμε για να υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα
Αν θέλουμε απλά να συγκρίνουμε μετατοπίσεις, δεν χρειάζεται να “υπολογίσουμε” εμβαδά, λέμε απλά ότι έχουμε ίσα εμβαδά, οπότε θα έχουμε και ίσες μετατοπίσεις. Αν θέλουμε όμως ακριβή υπολογισμό της μετατόπισης, αντί να υπολογίσουμε το παραπάνω ολοκλήρωμα, πάμε στο τρίγωνο, υπολογίζουμε το εμβαδόν του (μόνο αριθμούς, χωρίς μονάδες και τ.μ,) βρίσκουμε 25 και “ανακοινώνουμε ότι το σώμα μετατοπίσθηκε κατά 25m. Νομίζω ότι αυτό κάνουμε.
Τώρα το να με ρωτάς για το άλλο ύψος και τι κάνει, πόσο είναι, αν έχει μονάδες, αν έχουμε “αριθμητικά” ίσα ύψη, τι να σου πω… Δεν βλέπω καμιά σύνδεση.
Τα δύο τρίγωνα μπορεί να είναι ισοεμβαδικά. Αυτό δεν σημαίνει ότι είναι ίσα, ούτε αριθμητικά ίσα. Είναι του ίδιου εμβαδού. Τα εμβαδά είναι ίσα. Οι μετατατοπίσεις που μας ενδιαφέρουν είναι ίσες.
Το εμβαδόν του τριγώνου και η αντίστοιχη μετατόπιση που έχουμε στο μυαλό μας, έχουν την ίδια αριθμητική τιμή με την έννοια ότι, αν το εμβαδόν το υπολογίσουμε 13,63 τ.μ. η αντίστοιχη μετατόπιση είναι 13,63 m.
Καλημέρα και καλό ΣΚ Νίκο.
Έγραφα και αφού δημοσίευσα το σχόλιο, είδα το δικό σου…
Καλημέρα Διονύση και καλό ΣΚ και σε εσένα. Εύχομαι να σε βοηθήσει ο καιρός στο νησί σου και να ευχαριστηθείς την "απόδραση" από την Αθήνα.