by 
Ή τι σημαίνει δουλεύουμε με χρήση αλγεβρικών τιμών.
Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα και σε μια στιγμή t0=0, περνά από ένα σημείο Α, κινούμενο προς τα δεξιά με ταχύτητα μέτρου 10m/s, ενώ έχει σταθερή επιτάχυνση με φορά προς τα αριστερά, μέτρου 2m/s2.
i) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος τις χρονικές στιγμές:
α) t1=4s και β) t2=7s.
ii) Ποια χρονική στιγμή το σώμα αλλάζει κατεύθυνση κίνησης;
iii) Πόσο απέχει το σώμα από την αρχική θέση Α, τη χρονική στιγμή που ενώ κινείται προς τα αριστερά έχει ταχύτητα μέτρου 10m/s;
Οι απαντήσεις να δοθούν:
Α) Θεωρώντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική.
Β) Θεωρώντας την προς τα αριστερά κατεύθυνση ως θετική.
ή
Πώς υπολογίζουμε ταχύτητες σε μια ΕΟΜΚ
Πώς υπολογίζουμε ταχύτητες σε μια ΕΟΜΚ
Καλησπέρα πέρα ως πέρα.
Κατ’αρχάς είναι ηλίου φαεινότερο το μπέρδεμα συμβόλων –εννοιών στο σχολικό και όχι μόνο με αποτέλεσμα να δημιουργείται πρόβλημα σε μαθητές και …διδάσκοντες (που θέλουν να κινούνται στη ‘’γραμμή’’ του σχολικού) μόνο που η ‘’γραμμή’’ δεν είναι σταθερή και συμβαίνουν εκτροχιασμοί.
Η γραμμή του Διονύση και όχι μόνο ,είναι σταθερή και σαφώς στην κινηματική της Α΄Λυκείου προσπαθούσα να την ακολουθώ και λέω προσπαθούσα γιατί αντιμετώπιζα πρόβλημα κατανόησης κυρίως όταν ο μαθητής έλυνε την άσκηση χωρίς να κάνει σχήμα ,να σχεδιάσει άξονες να τοποθετήσει τα σύμβολα των μεγεθών που πρέπει και να καταλήγει σε αποτέλεσμα ορθό αλλά…με μια ερώτηση κατάλληλη (και προσέχοντας να μη προσβάλω), φαινόταν η αδυναμία της κατανόησης.
Είπα, κάτι παραπάνω από το να σχεδιάζω στον πίνακα άξονες με τον προσανατολισμό τους και την αρχή τους έπρεπε να σκαρφιστώ για να προσεγγίσουν σε κατανόηση τις έννοιες θέση, μετατόπιση, διάστημα.
Εγώ ήμουν το κινητό με πλάτη στον πίνακα ορίζοντας μια ευθεία μπροστά μου και εξηγώντας ότι για να την κάνω άξονα (π.χ. Χ) πρέπει να την προσανατολίσω (θετικός μπροστά) και να σημειώσω την αρχή κάτω ακριβώς από τον πίνακα που είχα σταθεί(Χ=0). Μετά σε πρώτη φάση αρχίζω να περπατώ με αργά βήματα λέγοντας πως ένα βήμα στον άξονα μπροστά με πάει στη θέση 1 ,δύο βήματα στη θέση 2 ,…και αν γυρίσω πίσω το νούμερο της θέσης μειώνεται .
Πάμε λοιπόν 1,2,3,4 βήματα μπροστά :
Κ: παιδιά πια είναι η θέση μου;
Μ: το 4 κύριε
Κ: ας πούμε 4 βήματα ή 4 μέτρα. Ποια είναι η μετατόπιση ;
Μ: 4 βήματα (μέτρα)
Κ: Πόσο είναι το διάστημα που διένυσα;
Μ: 4 βήματα (μέτρα)
Από τη θέση λοιπόν 4 βήματα γυρίζω πίσω 3 βήματα και
Κ: παιδιά ποια είναι η θέση μου τώρα
Μ1: 3 βήματα (μέτρα)
Μ2: 1 βήμα (μέτρο)
Κ: εξηγώ το ορθό και νομίζω γίνεται κατανοητό. Ρωτώ στη συνέχεια
ποια η μετατόπιση από την αρχή;
Μ1: 7 βήματα
Μ2: 1 βήμα
Κ: εξηγώ το ορθό και ρωτώ . Ποιο το διάστημα;
Μ: 4+3=7 βήματα
Κ: Ποια η μετατόπισή μου από τη στιγμή που γυρίζω πίσω και μέχρι εδώ.
Μ: ;;
Κ: Λοιπόν για να τη βρούμε θα πούμε τελική θέση πλην αρχική θέση
Μ: άρα , 1-4=-3 βήματα (μέτρα)
Ε δεν θέλω τα αυτονόητα να γράφω και να κουράζω απλά μόνο να πω πως μετά γύρισα πίσω άλλο ένα βήμα για να πάω σε χ=0 και Δχ=0 και S=8 μέτρα και στη συνέχεια άλλαξα την αρχή του άξονα βάζοντάς την στο πρώτο θρανίο ώστε να έχω το περιθώριο να κάνω βήμα γυρισμού και πίσω από την αρχή (αρνητικά) .
Έντυσα θέση και μετατόπιση με διανυσματικό μανδύα, εξήγησα τα πρόσημα και στο πίνακα σχεδίασα τα πρακτέα με χρωματιστές κιμωλίες και κάναμε τους λογαριασμούς με τα σωστά σύμβολα!
Σιγά τα κάστανα θα μου πείτε ,και όμως έπιασαν τόπο τα βήματα και μου έδωσαν το δικαίωμα στη συνέχεια να γράφουμε τις εξισώσεις αλγεβρικά και όχι μόνο με αρχή το χ=0 .
Μια καλή γνωστή άσκηση (4 του σχολικού) για εφαρμογή είναι :
‘’πότε και που θα συναντηθούν δύο κινητά που απέχουν απόσταση d και κινούνται ομόρροπα η αντίρρροπα με ε.ο.κ αρχικά, η ε.ο.ε.κ. η συνδυασμός . Δίδονται….
Αποτελέσματα : πολύ καλά από τους εύστροφους ,ικανοποιητική προσέγγιση από τους μέτριους.
Είχα βέβαια ολίγες αντιδράσεις ως προς το αν μπορούν να δουλεύουν …αλλιώς και εννοείται ότι η απάντησή μου καλώς ή κακώς δεν ήταν απαγορευτική αλλά …
Γιάννη
ο δαίμων του "δεν μπορώ να συμπληρώσω", "έφαγε" την "ουρά" στην παραπάνω τοποθέτησή μου: "συνήθως ή κάποια αυθαίρετη τιμή xo"
δεν πρόσεξες ότι γράφω "κατ' αρχήν"
εννοώντας ότι νόμο και, άρα, υπολογισμό και διάγραμμα, με δεδομένα ταχύτητα, επιτάχυνση και χρόνο (χρονικό διάστημα) έχει, και ίδια για κάθε παρατηρητή, μόνο η μετατόπιση
η θέση έχει, καταχρηστικά, και άλλα για άλλον παρατηρητή, μόνο εφόσον έχει ορισθεί αρχική, αυθαίρετα και άρα, άλλη για άλλον παρατηρητή, θέση
(προφανώς η μετατόπιση αναφέρεται σε χρονικό διάστημα)
Διονύση καλημέρα. Μπορώ να διατυπώσω μία ερώτηση εδώ η οποία έχει σχέση με εμβαδόν στο διάγραμμα u – t;
Καλημέρα Παντελή. Έστω και λίγο αργά είδα το σχόλιό σου.
Σε ευχαριστώ που μας κατέθεσες την εμπειρία σου.
Νίκο, αν θεωρείς ότι "σηκώνει κουβέντα" ξεκίνησε νέα συζήτηση στο φόρουμ με αυτό το αντικείμενο.
Αν όχι, βάλτην εδώ.
Ok. Κάνω μία αναφορά και θα φανεί: Αφορά ένα τετριμμένο θέμα αλλά…: Κάνουμε γραφική παράσταση u – t και προκύπτουν τα γνωστά σχήματα, τρίγωνο, ορθογώνιο, τραπέζιο κ.λπ., με σκοπό να βρούμε τη μετατόπιση εμβαδομετρικά. Είναι σωστό πράγματι να χαρακτηρίζουμε τα σχήματα αυτά όπως τη γεωμετρία, με το ίδιο όνομα εφόσον οι διαστάσεις τους είναι ανόμοιες ( μανάδες μέτρησης) και αυτό που υπολογίζουμε είναι πράγματι εμβαδόν με τη γεωμετρική έννοια; Το αντίστοιχο με την εφαπτομένη που κανονικά λέγεται κλίση!
Καλημέρα και πάλι Νίκο.
Νομίζω ότι αν πούμε:
"Το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου τριγώνου είναι αριθμητικά ίσο με την μετατόπιση του σώματος στο χρονικό διάστημα…" δεν έχουμε πρόβλημα.
Δεν λέμε το εμβαδόν είναι ίσο με την μετατόπιση.
Το "αριθμητικά" μας απαλλάσσει από το να εμπλέξουμε μονάδες, αρκεί να είναι σαφές ότι δουλεύουμε στο S.I.
Ναι και εγώ αυτή τη φράση χρησιμοποιώ "Η μετατόπιση είναι αριθμητικά ίση με το εμβαδόν", αλλά μέσα μου δε "νιώθω" καλά. Εντάξει Διονύση ας μείνουμε στα γνωστά λοιπόν!
Ευχαριστώ.
Εγώ παιδιά δεν χρησιμοποιώ την έκφραση "αριθμητικά". Το εμβαδόν ολοκλήρωμα μπορεί να είναι αρνητικό.
Η εφαπτομένη-κλίση μπορεί να είναι 1 (πχ. y = 4+x) άσχετα με το ότι δεν επέλεξα ορθοκανονικό σύστημα και η γωνία μου βγήκε 10 μοίρες αντί 45.
Προφανώς συγχύσεις υπάρχουν. Δεν υπήρξε ούτε μία χρονιά που να ζητήσω εμβαδόν υ-t και να μην εισπράξω απάντηση:
-Είναι 20 τ.μ. κύριε.
-Θέλεις να πεις 20m;
-Το εμβαδόν μετράται σε τ.μ. Το μήκος μετράται σε μέτρα.
Χτες μάλιστα δέχθηκα από καλή μαθήτρια την στριφνή ερώτηση:
-Αν το διάγραμμα F-x είναι τεταρτοκύκλιο;
Τελικά πρόκειται όχι για εμβαδόν αλλά "εμβαδόν".
Χαιρετώ τους αξιότιμους συναδέλφους.
Θα ήθελα με την σειρά μου να επισημάνω κάποια πράγματα σχετικά με τις έννοιες κλίση – εφαπτομένη απ' την μια, καθώς και εμβαδόν – μετατόπιση (ή οποιοδήποτε άλλο μέγεθος προκύπτει μέσω “εμβαδού" από μια γραφική παράσταση φυσικών μεγεθών).
Στο 2ο μάθημα τού εργαστηρίου φυσικής στο 1ο εξάμηνο σπουδών, ο καθηγητής μάς δίνει την διορθωμένη εργασία τού 1ου μαθήματος. Βλέπουμε όλοι μας ένα στρογγυλό 4! Γιατί; Διότι:
Έτσι μας είχαν μάθει στο σχολείο!
Από τότε πήρα το μάθημά μου και προσπαθώ να το περάσω και στους μαθητές μου.
Η κλίση ενός φυσικού μεγέθους $A$ που αναπαρίσταται γραφικά ως προς ένα άλλο φυσικό μέγεθος $b$ ισούται με την παράγωγο
$$ \frac{dA}{db} $$
και δεν έχει ουδεμία σχέση με την $\text{tan}(\phi)$ της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη ευθεία στο τάδε σημείο. Η κλίση είναι φυσικό μέγεθος, και επομένως έχει μονάδες μέτρησης, ενώ η $\text{tan}(\phi)$ είναι καθαρός αριθμός.
Πάμε τώρα στα περί “εμβαδού".
Έστω π.χ. ότι έχουμε ένα διάγραμμα $v-t$ (ταχύτητας-χρόνου). Αρχόμενοι από τον ορισμό τής ταχύτητας παίρνουμε:
$$ v = \frac{dx}{dt} \Rightarrow \int_{x_0}^{x} \,dx' = \int_{t_0}^{t} \,vdt' \Rightarrow x – x_0 = \int_{t_0}^{t} \,vdt' $$
Αν η ταχύτητα $v$ είναι σταθερή, τότε
$$ x – x_0 = v(t – t_0) $$
Διαφορετικά, αναλόγως τής συνάρτησης τής ταχύτητας υπολογίζουμε το αντίστοιχο ολοκλήρωμα. Πρόκειται λοιπόν και εδώ για φυσικά μεγέθη με συγκεκριμένες κάθε φορά μονάδες μέτρησης κι όχι για εμβαδόν με την γεωμετρική έννοια όπου πάντα μετράται σε τετραγωνικές μονάδες.
Όλα τα παραπάνω (κλίση, εφαπτομένη, ολοκλήρωμα, εμβαδόν) ταυτίζονται μόνον αριθμητικά (κι όχι εννοιολογικά) στην περίπτωση ορθοκανονικού συστήματος αξόνων, με την επιπλέον προϋπόθεση τα φυσικά μεγέθη να έχουν τις ίδιες μονάδες μέτρησης και στους δύο άξονες.
Δυστυχώς, βλέπω ότι οι εντολές LaTeX δεν εμφανίζονται στο σχόλιό μου. Υπάρχουν διαθέσιμα plugins για το WordPress που μπορούν να ενσωματωθούν.
Θεόκλητε κατανοώ το ορθοκανονικό. Τι εννοείς λέγοντας:
(το ολοκλήρωμα ταυτίζεται με το εμβαδόν) με την επιπλέον προϋπόθεση τα φυσικά μεγέθη να έχουν τις ίδιες μονάδες μέτρησης και στους δύο άξονες.
Σε ένα διάγραμμα υ-t στους άξονες οι μονάδες δεν είναι ίδιες φυσικά.
Εννοείς ότι όσο μήκος έχει το 1s θα έχει και το 1m/s ;
Τώρα τα 4άρια ενός καθηγητή είναι και ολίγον "θεατρικά". Καλώς δηλαδή ώστε να αναγκασθούν οι φοιτητές να προσέξουν το όλο θέμα.
Προφανώς ο καθηγητής δεν θα διόρθωνε τον Αλεξόπουλο που γράφει εμβαδόν και όχι "εμβαδόν", ούτε φυσικά θα του έβαζε 4.
Προφανώς πρόκειται για αφαίρεση και όχι κυριολεξία. Ο Αλεξόπουλος προφανώς γράφοντας "εμβαδόν" δεν εννοεί "πόσα πλακάκια χωράνε στην γραφική παράσταση".
Επίσης ο Αλεξόπουλος γράφει:
εφθ=γ (το τότε σύμβολο της επιτάχυνσης) εξηγώντας στο περιθώριο ότι δεν πρόκειται για τον λόγο των εικονιζόμενων μηκών (που στο σχήμα του έχει την τιμή 1).
Φυσικά η επιτάχυνση έχει τιμές διάφορες και όχι 1m/s.s.
Θεόκλητε μετέτρεψα το κείμενο σου:
Σε ευχαριστώ Νίκο.
Το θέμα είναι να βρεθεί μια λύση ώστε να μπορουν όσοι θέλουν να γράφουν απευθείας κι όχι με την επισύναψη αρχείων.
Ας μην μείνουμε στην προσωπική μου διήγηση, αλλά ας εστιάσουμε στο ζήτημα. Δεν έχω πρόχειρο τον Αλεξόπουλο εδώ που είμαι. Η δική μου όμως άποψη (όχι επειδή μου έβαλε 4 τότε ο καθηγητής, αλλά μετά από χρόνια μελέτη της Φυσικής και των Μαθηματικών) είναι ότι το εφθ=γ ή το εμβαδόν = Δχ πρέπει να σταματήσουν να λέγονται διότι δεν έχουν επιστημονική βάση και απλώς προκαλούν σύγχυση.
Έχουν να προσφέρουν κάτι επί τής ουσίας;
Με την φράση μου
"με την επιπλέον προϋπόθεση τα φυσικά μεγέθη να έχουν τις ίδιες μονάδες μέτρησης και στους δύο άξονες."
θέλω να τονίσω ότι ακόμα κι αν το σύστημα αξόνων είναι ορθοκανονικό (κάθετοι άξονες με ίδιο μήκος υποδιαιρέσεων ) πάλι η εφθ είναι καθαρός αριθμός, ενώ η κλίση έχει αναγκαστικά μονάδες αφού αναπαριστά φυσικό μέγεθος. Υπάρχουν εσωτερικές συγκρούσης στην όλη ορολογία που κάποιοι χρησιμοποιούν.