Μεταλλική σφαίρα ακτίνας R και φορτίου Q>0 βρίσκεται σε απόσταση r>R από σημειακό φορτίο q>0. Μπορεί να έχουμε έλξη αντί άπωσης και πότε μπορεί να συμβεί αυτό;
Το να βρεθεί η ( επιφανειακή ) κατανομή φορτίου στην επιφάνεια της σφαίρας δεν είναι κάτι τόσο απλό. Πρέπει να υπολογιστεί η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Αυτό σημαίνει λύση της Laplace…
Στα σοβαρά τώρα, νομίζω ότι αδικείς όλους του συμμετέχοντες στη συζήτηση, οι οποίοι προσπάθησαν να δώσουν (και οι περισσότεροι έδωσαν) πολλοί σοβαρές απαντήσεις.
Προσωπικά απλά το τράβηξα λίγο περισσότερο, (σε επίπεδο έως … προβοκατόρικο!), αφού θεώρησα ότι είναι ένα θέμα που θα άξιζε να μας προβληματίσει… και να μην μείνουμε απλά σε μια μαθηματική απόδειξη, την οποία συναντάμε στα βιβλία.
Γιάννη Μπατσαούρα η τοποθέτηση του φορτίου +q κοντά στη μη γειωμένη μεταλλική σφαίρα φορτίου +Q, έχει σαν αποτέλεσμα ηλεκτρόνια σε αυτή να μετακινηθούν προς τη μεριά του +q , ενώ το αριστερό μέρος της να φορτισθεί περισσότερο θετικά αφού''έχασε''ηλεκτρόνια.
Το συνολικό φορτίο της σφαίρας θα είναι πάλι +Q, απλώς έχει γίνει άλλη κατανομή του υπάρχοντος φορτίου. Αν τα ηλεκτρόνια που μετακινήθηκαν προς τα δεξιά έχουν συνολικό φορτίο -|q'|, τότε το αριστερό μέρος της θα έχει φορτίο Q+|q'|.
Πως προσεγγίζουμε τη λύση του προβλήματος;
Θεωρούμε ένα ισοδύναμο σύστημα 3 φορτίων +q, -|q'|, Q+|q'| που αλληλεπιδρά με ηλεκτροστατικές δυνάμεις Coulomb , εκ των οποίων
τα +q, -|q'| δημιουργούν ηλεκτρ. πεδίο έτσι ώστε το συνολικό δυναμικό σε κάθε σημείο της επιφάνειας της σφαίρας να είναι μηδέν, καθώς και η ένταση σε κάθε σημείο της επιφάνειας της σφαίρας να είναι στη διεύθυνση της ακτίνας, κι αυτό γα να μην μετακινούνται ηλεκτρόνια εξαιτίας του πεδίου τους.
Άρα μένει το φορτίο Q+|q'| που κι αυτό με τη σειρά του πρέπει να δημιουργήσει ίδιο δυναμικό σε κάθε σημείο της επιφάνειας της σφαίρας, έτσι ώστε ούτε αυτό να μπορεί να μετακινήσει ηλεκτρόνια, αφού έχουμε σταθερή κατάσταση. (Διαφορά δυναμικού θα συνεπάγονταν και μετακίνηση ηλεκτρονίων, άρα παραγωγή έργου, κάτι που δεν μπορεί να συμβεί στην ισορροπία του συστήματος, ενώ συμβαίνει σε αμελητέο χρονικό διάστημα όταν προσεγγίζαμε το φορτίο +q .)
Πρέπει επίσης η ένταση σε κάθε σημείο της επιφάνειας της σφαίρας να έχει τη διεύθυνση της ακτίνας, οπότε εξασφαλίζεται η μη μεταφορά ηλεκτρονίων στην ισορροπία. Και επειδή τα φορτία +q, -|q'| δημιουργούν μηδέν δυναμικό σε κάθε σημείο της επιφάνειας της σφαίρας και η ένταση Ε+Ε' που οφείλεται σε αυτά είναι ακτινικής διεύθυνσης στην επιφάνειά της, αναγκαστικά το φορτίο Q+|q'| πρέπει να τοποθετηθεί στο κέντρο της Κ.
Οι προσωπικές μου αντιρρήσεις, κάμφθηκαν, αναγνωρίζοντας το δίκιο της αντίθετης άποψης μετά το σχόλιο του Γιάννη Φιορεντίνου περί:
"η μοναδικότητα της λύσης της διαφορικής του Laplace (ή του Poisson) κάτω από συγκεκριμένες συνοριακές συνθήκες"
Και την αντίστοιχη τοποθέτηση του Γιάννη Κυριακόπουλου:
"Ας το πω διαφορετικά.
Έχουμε δύο συστήματα. Το ένα είναι το ζευγάρι σφαίρα-φορτίο. Το άλλο η πολυσυζητημένη τριάδα.
Και το ένα και το άλλο προκαλούν ίδια ηλεκτρική ροή περί την σφαίρα. Δηλαδή ίδια πλήθη δυναμικών γραμμών.
Και στις δύο περιπτώσεις οι δυναμικές γραμμές είναι κάθετες στη σφαίρα.
Τα δύο πεδία (εκτός σφαίρας) ταυτίζονται. Διαφορετικά δεν θα προκαλούσαν ίδιες δυναμικές γραμμές.
Είναι ισοδύναμα συστήματα (εκτός σφαίρας)."
Οπότε ευχαριστώ όλους που συμμετείχαν στην παραπάνω συζήτηση, αλλά κυρίως τους δυο Γιάννηδες, για την "χείρα βοηθείας" προς τον προσωπικό μου προβληματισμό.
Καλησπέρα Βαγγέλη όντως σε αδίκησα και δεν το έκανα από πρόθεση..δες στη σελίδα 2 ποιος γράφει πολύ νωρίς .Αξίζει να δικαιολογήσουμε γιατί το κέντρο θετικού φορτίου συμπίπτει με το κέντρο της σφαίρας…
Πρόδρομε Καλησπέρα ..σε όλα αυτά συμφωνώ ..τα έχω ήδη γράψει και εγώ πολύ αναλυτικά , επειδή είχα διδάξει σε φοιτητές το 1984 τη μέθοδο των ειδώλων..και το είχα ψάξει τότε αρκετά..Αυτό που πρέπει να ξεκαθαριστεί είναι α. Αν τα φορτία είναι στην επιφάνεια της σφαίρας
β. Αν μπορεί κάποιος με φυσικούς συλλογισμούς να αποδείξει
1. Ότι το εξ επαγωγής αναπτυσσόμενο αρνητικό φορτίο -q' είναι ανομοιόμορφα κατανεμημένο στην επιφάνεια της σφαίρας
2. Αν το αντισταθμιστικό φορτίο +q' κατανέμεται ομοιόμορφα στην επιφάνεια της σφαίρας
και μετά να αρχίσουν τα μαθηματικά τα οποία ελάχιστα με αφορούν ..Μπορείς να δείς μέρος από την παλιά μου δουλειά
Κατερίνα καλησπέρα κι ευχαριστώ για την ενδελεχή μελέτη της λύσης και διερεύνησής μου!!
Ως προς την ερώτησή σου
Από ποια γραφική παράσταση βγαίνει το συμπέρασμα που γράφεις στην προτελευταία σου σελίδα ότι
αν R ≤ r ≤ 1,125R ισχύει ΣF=0 ;
έγραψα λάθος ,λόγω κακού χειρισμού του graph.
Στην περιοχή αυτή το graph μου βγάζει ότι η δύναμη είναι απωστική και μάλιστα γίνεται εκατοντάδες φορές την ποσότητα k(q/R)^2 !!!
Μάλλον πρέπει να υπάρχει ασυνέχεια ή πολύ μεγάλο μέγιστο, κάτι που αδυνατώ να ερμηνεύσω. Φυσικά θεωρώντας ότι Q=4q, ίσως με άλλα δεδομένα να εξάγονται άλλα αποτελέσματα.
α. Σε αγωγούς τα φορτία κατανέμονται στην επιφάνειά τους.
β. Δεν νομίζω ότι είναι κατανεμημένo ομοιόμορφα το φορτίο -|q'|, το οποίο είναι υποθετικό φορτίο, που το χρησιμοποιήσαμε για να αναπτύξουμε το ισοδύναμο μοντέλο και να κάνουμε τους υπολογισμούς μας. Ενδεχομένως το δεξιό μέρος της σφαίρας να μην έχει καν αρνητικό φορτίο! Αυτό εξαρτάται από τον συσχετισμό των Q,q.
είδα την παλιά σου δουλειά και τη ..ξαναθυμήθηκα. Αφορά όμως γειωμένη μεταλλική σφαίρα, ενώ στο πρόβλημά μας δεν έχουμε κάτι τέτοιο.
Να είσαι καλά, έγινε μια ωραία συζήτηση , που ίσως έχει και ..συνέχεια!!
Σωστά, που η φυσική ερμηνεία μάλλον είναι δύσκολη!! Δηλαδή για r=R βγαίνει άπειρη δύναμη; Ή μήπως το μοντέλο που σκαρφιστήκαμε ..καταρρέει;
Ή μήπως εκεί αναλαμβάνει η κβαντική φυσική! Δεν νομίζω.
Μάλλον η διαφορά δυναμικού στην περιοχή λίγο πριν την επαφή τους, είναι πολύ μεγάλη, και ο αέρας ή το κενό έχουν μια πεπερασμένη διηλεκτρική αντοχή, οπότε μεταβιβάζονται φορτία από τη μια στην άλλη!
Δες αν θέλεις τη λύση μου στη διεύθυνση της προηγούνεης σελίδας, την εμπλούτισα και διόρθωσα τις γραφικές παραστάσεις στην εφαρμογή για Q=4q.
προσωπικά, Διονύση, μου φαίνεται πιο "δυνατή" αυτή η τοποθέτηση του Γιάννη:
Αν θέλεις παράδειγμα από κίνηση, όταν ασχολούμαστε με το πόση κινητική ενέργεια έχει ένα σώμα, δεν μας απασχολεί το πως απέκτησε αυτήν την ταχύτητα. Επιταχυνόταν επί 10s ή επιβραδυνόταν επί 2s. Μας ενδιαφέρει η κατάσταση."
Για την ώρα μπορούμε να πούμε ότι αν r =R σημαίνει ότι το φορτίο βρίσκεται στην επιφάνεια της σφαίρας, άρα άτοπο, γιατί έχουμε υποθέσει ότι δεν ανήκει στη σφαίρα, βρίσκεται έξω από αυτήν. Άρα πρέπει να πάρουμε περιορισμό η απόσταση r να είναι διαφορετική από R.
by 
Μεταλλική σφαίρα ακτίνας R και φορτίου Q>0 βρίσκεται σε απόσταση r>R από σημειακό φορτίο q>0. Μπορεί να έχουμε έλξη αντί άπωσης και πότε μπορεί να συμβεί αυτό;
Καλησπέρα.
Το να βρεθεί η ( επιφανειακή ) κατανομή φορτίου στην επιφάνεια της σφαίρας δεν είναι κάτι τόσο απλό. Πρέπει να υπολογιστεί η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ. Αυτό σημαίνει λύση της Laplace…
Καλησπέρα σε όλους.
Γιάννη διάλεξες τη μεριά του χαμένου
Γιατί;
Συνήθως πάμε με τον νικητή!!!
Στα σοβαρά τώρα, νομίζω ότι αδικείς όλους του συμμετέχοντες στη συζήτηση, οι οποίοι προσπάθησαν να δώσουν (και οι περισσότεροι έδωσαν) πολλοί σοβαρές απαντήσεις.
Προσωπικά απλά το τράβηξα λίγο περισσότερο, (σε επίπεδο έως … προβοκατόρικο!), αφού θεώρησα ότι είναι ένα θέμα που θα άξιζε να μας προβληματίσει… και να μην μείνουμε απλά σε μια μαθηματική απόδειξη, την οποία συναντάμε στα βιβλία.
Γιάννη Μπατσαούρα η τοποθέτηση του φορτίου +q κοντά στη μη γειωμένη μεταλλική σφαίρα φορτίου +Q, έχει σαν αποτέλεσμα ηλεκτρόνια σε αυτή να μετακινηθούν προς τη μεριά του +q , ενώ το αριστερό μέρος της να φορτισθεί περισσότερο θετικά αφού''έχασε''ηλεκτρόνια.
Το συνολικό φορτίο της σφαίρας θα είναι πάλι +Q, απλώς έχει γίνει άλλη κατανομή του υπάρχοντος φορτίου. Αν τα ηλεκτρόνια που μετακινήθηκαν προς τα δεξιά έχουν συνολικό φορτίο -|q'|, τότε το αριστερό μέρος της θα έχει φορτίο Q+|q'|.
Πως προσεγγίζουμε τη λύση του προβλήματος;
Θεωρούμε ένα ισοδύναμο σύστημα 3 φορτίων +q, -|q'|, Q+|q'| που αλληλεπιδρά με ηλεκτροστατικές δυνάμεις Coulomb , εκ των οποίων
τα +q, -|q'| δημιουργούν ηλεκτρ. πεδίο έτσι ώστε το συνολικό δυναμικό σε κάθε σημείο της επιφάνειας της σφαίρας να είναι μηδέν, καθώς και η ένταση σε κάθε σημείο της επιφάνειας της σφαίρας να είναι στη διεύθυνση της ακτίνας, κι αυτό γα να μην μετακινούνται ηλεκτρόνια εξαιτίας του πεδίου τους.
Άρα μένει το φορτίο Q+|q'| που κι αυτό με τη σειρά του πρέπει να δημιουργήσει ίδιο δυναμικό σε κάθε σημείο της επιφάνειας της σφαίρας, έτσι ώστε ούτε αυτό να μπορεί να μετακινήσει ηλεκτρόνια, αφού έχουμε σταθερή κατάσταση. (Διαφορά δυναμικού θα συνεπάγονταν και μετακίνηση ηλεκτρονίων, άρα παραγωγή έργου, κάτι που δεν μπορεί να συμβεί στην ισορροπία του συστήματος, ενώ συμβαίνει σε αμελητέο χρονικό διάστημα όταν προσεγγίζαμε το φορτίο +q .)
Πρέπει επίσης η ένταση σε κάθε σημείο της επιφάνειας της σφαίρας να έχει τη διεύθυνση της ακτίνας, οπότε εξασφαλίζεται η μη μεταφορά ηλεκτρονίων στην ισορροπία. Και επειδή τα φορτία +q, -|q'| δημιουργούν μηδέν δυναμικό σε κάθε σημείο της επιφάνειας της σφαίρας και η ένταση Ε+Ε' που οφείλεται σε αυτά είναι ακτινικής διεύθυνσης στην επιφάνειά της, αναγκαστικά το φορτίο Q+|q'| πρέπει να τοποθετηθεί στο κέντρο της Κ.
Διάβασε και τη λύση εδώ
υπάρχουν ενδιαφέροντα πράγματα!
Να προσθέσω κάτι.
Οι προσωπικές μου αντιρρήσεις, κάμφθηκαν, αναγνωρίζοντας το δίκιο της αντίθετης άποψης μετά το σχόλιο του Γιάννη Φιορεντίνου περί:
"η μοναδικότητα της λύσης της διαφορικής του Laplace (ή του Poisson) κάτω από συγκεκριμένες συνοριακές συνθήκες"
Και την αντίστοιχη τοποθέτηση του Γιάννη Κυριακόπουλου:
"Ας το πω διαφορετικά.
Έχουμε δύο συστήματα. Το ένα είναι το ζευγάρι σφαίρα-φορτίο. Το άλλο η πολυσυζητημένη τριάδα.
Και το ένα και το άλλο προκαλούν ίδια ηλεκτρική ροή περί την σφαίρα. Δηλαδή ίδια πλήθη δυναμικών γραμμών.
Και στις δύο περιπτώσεις οι δυναμικές γραμμές είναι κάθετες στη σφαίρα.
Τα δύο πεδία (εκτός σφαίρας) ταυτίζονται. Διαφορετικά δεν θα προκαλούσαν ίδιες δυναμικές γραμμές.
Είναι ισοδύναμα συστήματα (εκτός σφαίρας)."
Οπότε ευχαριστώ όλους που συμμετείχαν στην παραπάνω συζήτηση, αλλά κυρίως τους δυο Γιάννηδες, για την "χείρα βοηθείας" προς τον προσωπικό μου προβληματισμό.
Καλησπέρα Βαγγέλη όντως σε αδίκησα και δεν το έκανα από πρόθεση..δες στη σελίδα 2 ποιος γράφει πολύ νωρίς .Αξίζει να δικαιολογήσουμε γιατί το κέντρο θετικού φορτίου συμπίπτει με το κέντρο της σφαίρας…
Πρόδρομε, καλησπέρα
Πολύ ωραία και ενδιαφέρουσα η ανάλυσή σου!!
Να σου κάνω μια ερώτηση: Από ποια γραφική παράσταση βγαίνει το συμπέρασμα που γράφεις στην προτελευταία σου σελίδα ότι
αν R ≤ r ≤ 1,125R ισχύει ΣF=0 ;
Πρόδρομε Καλησπέρα ..σε όλα αυτά συμφωνώ ..τα έχω ήδη γράψει και εγώ πολύ αναλυτικά , επειδή είχα διδάξει σε φοιτητές το 1984 τη μέθοδο των ειδώλων..και το είχα ψάξει τότε αρκετά..Αυτό που πρέπει να ξεκαθαριστεί είναι α. Αν τα φορτία είναι στην επιφάνεια της σφαίρας
β. Αν μπορεί κάποιος με φυσικούς συλλογισμούς να αποδείξει
1. Ότι το εξ επαγωγής αναπτυσσόμενο αρνητικό φορτίο -q' είναι ανομοιόμορφα κατανεμημένο στην επιφάνεια της σφαίρας
2. Αν το αντισταθμιστικό φορτίο +q' κατανέμεται ομοιόμορφα στην επιφάνεια της σφαίρας
και μετά να αρχίσουν τα μαθηματικά τα οποία ελάχιστα με αφορούν ..Μπορείς να δείς μέρος από την παλιά μου δουλειά
Μέθοδος Ειδώλων
Κατερίνα καλησπέρα κι ευχαριστώ για την ενδελεχή μελέτη της λύσης και διερεύνησής μου!!
Ως προς την ερώτησή σου
Από ποια γραφική παράσταση βγαίνει το συμπέρασμα που γράφεις στην προτελευταία σου σελίδα ότι
αν R ≤ r ≤ 1,125R ισχύει ΣF=0 ;
έγραψα λάθος ,λόγω κακού χειρισμού του graph.
Στην περιοχή αυτή το graph μου βγάζει ότι η δύναμη είναι απωστική και μάλιστα γίνεται εκατοντάδες φορές την ποσότητα k(q/R)^2 !!!
Μάλλον πρέπει να υπάρχει ασυνέχεια ή πολύ μεγάλο μέγιστο, κάτι που αδυνατώ να ερμηνεύσω. Φυσικά θεωρώντας ότι Q=4q, ίσως με άλλα δεδομένα να εξάγονται άλλα αποτελέσματα.
Εντάξει… απλώς μου έκανε εντύπωση να ισχύει κάτι τέτοιο.
Επίσης αν αντικαταστήσουμε y=1 στην αγκύλη βγαίνει απροσδιοριστία 1/0 δηλαδή άπειρο!!
Γιάννη καλησπέρα. Για τα ερωτήματα που θέτεις:
α. Σε αγωγούς τα φορτία κατανέμονται στην επιφάνειά τους.
β. Δεν νομίζω ότι είναι κατανεμημένo ομοιόμορφα το φορτίο -|q'|, το οποίο είναι υποθετικό φορτίο, που το χρησιμοποιήσαμε για να αναπτύξουμε το ισοδύναμο μοντέλο και να κάνουμε τους υπολογισμούς μας. Ενδεχομένως το δεξιό μέρος της σφαίρας να μην έχει καν αρνητικό φορτίο! Αυτό εξαρτάται από τον συσχετισμό των Q,q.
είδα την παλιά σου δουλειά και τη ..ξαναθυμήθηκα. Αφορά όμως γειωμένη μεταλλική σφαίρα, ενώ στο πρόβλημά μας δεν έχουμε κάτι τέτοιο.
Να είσαι καλά, έγινε μια ωραία συζήτηση , που ίσως έχει και ..συνέχεια!!
Σωστά, που η φυσική ερμηνεία μάλλον είναι δύσκολη!! Δηλαδή για r=R βγαίνει άπειρη δύναμη; Ή μήπως το μοντέλο που σκαρφιστήκαμε ..καταρρέει;
Ή μήπως εκεί αναλαμβάνει η κβαντική φυσική! Δεν νομίζω.
Μάλλον η διαφορά δυναμικού στην περιοχή λίγο πριν την επαφή τους, είναι πολύ μεγάλη, και ο αέρας ή το κενό έχουν μια πεπερασμένη διηλεκτρική αντοχή, οπότε μεταβιβάζονται φορτία από τη μια στην άλλη!
Δες αν θέλεις τη λύση μου στη διεύθυνση της προηγούνεης σελίδας, την εμπλούτισα και διόρθωσα τις γραφικές παραστάσεις στην εφαρμογή για Q=4q.
Καλό βράδυ.
προσωπικά, Διονύση, μου φαίνεται πιο "δυνατή" αυτή η τοποθέτηση του Γιάννη:
Αν θέλεις παράδειγμα από κίνηση, όταν ασχολούμαστε με το πόση κινητική ενέργεια έχει ένα σώμα, δεν μας απασχολεί το πως απέκτησε αυτήν την ταχύτητα. Επιταχυνόταν επί 10s ή επιβραδυνόταν επί 2s. Μας ενδιαφέρει η κατάσταση."
Πρόδρομε, θα τη δω αύριο μάλλον και θα τα ξαναπούμε!!
Για την ώρα μπορούμε να πούμε ότι αν r =R σημαίνει ότι το φορτίο βρίσκεται στην επιφάνεια της σφαίρας, άρα άτοπο, γιατί έχουμε υποθέσει ότι δεν ανήκει στη σφαίρα, βρίσκεται έξω από αυτήν. Άρα πρέπει να πάρουμε περιορισμό η απόσταση r να είναι διαφορετική από R.
καλησπέρα σε όλους
και τελειώνοντας (υποθέτω…) αυτήν την πολύ ωραία συζήτηση να ξαναγράψω μια άποψη,
που μάλλον, μάλλον, πέρασε απαρατήρητη και δεν σχολιάστηκε
το φορτίο -q΄ είναι πραγματικό δεν είναι φανταστικό ή υποθετικό
"Δεν νομίζω ότι είναι κατανεμημένo ομοιόμορφα το φορτίο -|q'|, το οποίο είναι υποθετικό φορτίο"
διότι πρόκειται για ηλεκτρόνια που μετακινήθηκαν από τη Γη προς τη σφαίρα
αν αυτή γειώθηκε ούσα ουδέτερη,
ή μετακινήθηκαν από την μακρινή από το σημειακό φορτίο προς την κοντινή
αν η σφαίρα ήταν φορτισμένη
άλλωστε είδωλα (που δεν διδάσκονται πλέον στα Λύκεια, ετέρα πρωτοτυπία !)
υπάρχουν εκτός από φανταστικά και πραγματικά…