by 
Μια δεξαμενή τροφοδοτεί μια άλλη όπως στο σχήμα. Ένας σωλήνας, μικρής διατομής σε σχέση με τις δεξαμενές αλλά σημαντικής ώστε να μην υπολογίζουμε την επίδραση του ιξώδους, γεμίζει με νερό μέχρι κάποιο ύψος.
Κάποια στιγμή το νερό στις δεξαμενές απεικονίζεται στο σχήμα.
Το ύψος h του νερού στον σωλήνα είναι:
- Ίσο με το h1.
- Ίσο με το h2.
- Έχει τιμή h : h2 < h < h1.
- Είναι h < h2.
Κάποιοι φίλοι διαφωνούν. Οι θέσεις τους:
Ο 1ος και ο 2ος γιατί θεωρούν ίσες τις ταχύτητες υΑ=υΒ και υΒ=υΓ
Αν το δοχεία απέχουν αρκετά ώσπου να φτάσει το νερό στο δεύτερο δεν θα έχει ανέβει λίγο στο σωλήνα
Αν πάλι θεωρήσουμε Ν-σωλήνες σε ίσες αποστάσεις οι ελεύθερες επιφάνειες του νερού στους σωλήνες θα σχηματίζουν ένα κεκλιμένο επίπεδο;;
ΚΑΛΟ ΑΠΟΓΕΥΜΑ
Καλησπέρα Γιάννη. Το ποια είναι η σωστή λύση, είναι εύκολο να καταλήξουμε.
Νομίζω όμως ότι η απόρριψη των λύσεων και το γιατί απορρίπτονται, έχει ιδιαίτερη αξία.
Ας το παίξουμε λοιπόν το παιχνίδι.
Οι λύσεις 1 και 2 είναι λάθος αφού:
«Ο νόμος του Bernoulli ισχύει για δυο σημεία της ίδιας ρευματικής γραμμής», ενώ εδώ εφαρμόζεται για σωλήνα που δεν υπάρχει ροή. (Το ότι αν φύγουμε από μια ρευματική γραμμή και πάμε και λίγο πιο πέρα σε άλλο σημείο και μαθηματικά προκύπτει ότι ισχύει ο νόμος είναι …σύμπτωση)!
Ας το δούμε λοιπόν την περίπτωση που περιγράφει το σχήμα:
Έστω ότι κάποιος δίνει την πρώτη λύση εφαρμόζοντας τον νόμο όπως εσύ, στο κείμενο. Τότε βρίσκει ίδιο ύψος νερού στη δεξαμενή και στο λεπτό σωλήνα.
Αλλά τότε η πίεση στο Α είναι ίση pΑ=pατμ+ρgh και είναι επίσης ίση με την πίεση στο Β που είναι pΒ=pατμ. Άτοπο.
Το ίδιο ισχύει και για τη 2η λύση.
Και να προσθέσω κάτι. Αν ισχύει ο νόμος Bernoulli από τη μια επιφάνεια στη άλλη, θα ισχύει και μεταξύ της επιφάνειας του λεπτού σωλήνα και του σημείο Α στη βάση του. Αν τον εφαρμόσουμε θα πάρουμε:
Γιάννη και Διονύση καλησπέρα.
Χωρίς να θέλω να εκτραπεί η συζήτηση να σημειώσω κάτι Διονύση στο σχόλιο σου,
«Ο νόμος του Bernoulli ισχύει για δυο σημεία της ίδιας ρευματικής γραμμής»… (Το ότι αν φύγουμε από μια ρευματική γραμμή και πάμε και λίγο πιο πέρα σε άλλο σημείο και μαθηματικά προκύπτει ότι ισχύει ο νόμος είναι …σύμπτωση)!.
Σε όλες τις περιπτώσεις της ροής των ιδανικών ρευστών που εξετάζουμε, στα πλαίσια του σχολικού βιβλίου, το πεδίο της ταχύτητας είναι ή το θεωρούμε αστρόβιλο. Ταυτόχρονα η κλίση της ταχύτητας είναι στην μόνιμη ροή ίση με το μηδέν (εξίσωση της συνέχειας). Αυτές οι δύο ιδιότητες είναι το χαρακτηριστικό των συντηρητικών πεδίων (για παράδειγμα το βαρυτικό και το ηλεκτροστατικό, όπου ο στροβιλισμός και η κλίση της έντασής τους είναι επίσης μηδέν). Άμεση συνέπεια στα δύο τελευταία πεδία είναι ότι διατηρείται η μηχανική ενέργεια. Ακριβώς με τον ίδιο τρόπο, στην μόνιμη, αστρόβιλη ροή, ιδανικού ασυμπίεστου ρευστού, διατηρείται η πυκνότητα ενέργειας που εμφανίζεται στην εξίσωση Bernoulli. Αν μάλιστα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα της ταχύτητας σε οποιαδήποτε κλειστή διαδρομή εντός της ροής (όχι απαραίτητα κατά μήκος μίας ρευματικής γραμμής), το αποτέλεσμα είναι μηδέν, όπως στην ένταση των συντηρητικών πεδίων. Συνεπώς το ότι η εξίσωση ισχύει σε δύο οποιαδήποτε σημεία της ροής, δεν είναι μαθηματική σύμπτωση, αλλά το βασικό χαρακτηριστικό της ροής σε αυτές τις περιπτώσεις. Είναι δηλαδή η άμεση συνέπεια του ότι το πεδίο της ταχύτητας είναι συντηρητικό.
Το σχολιάζω, Διονύση, μόνον επειδή ξεκινάς την απόρριψη των δύο πρώτων λύσεων με την παραπάνω πρόταση. Φυσικά βλέπω και τα εισαγωγικά και τις τρεις τελίτσες πριν το "σύμπτωση".
Καλησπέρα Στάθη.
Δεν διαφωνώ με αυτό που γράφεις, αλλά επέλεξα να το διατυπώσω έτσι, αφού μόνο τότε θα αποφευχθεί το λάθος στις δυο πρώτες λύσεις.
Μιλάς για πεδίο ροής, αλλά αυτό ποιο είναι; Συμπεριλαμβάνεται ο κατακόρυφος σωλήνας στο πεδίο ροής;
Πώς μπορεί να είναι ξεκάθαρο το πλαίσιο εφαρμογής, αν διδάξουμε ότι:
"παίρνουμε δύο σημεία και εφαρμόζουμε το νόμο…"
Καλησπέρα.
Οι δύο πρώτοι κάνουν εμφανέστατα λάθος.
Το λάθος που υποδεικνύεις στο τελευταίο σου σχόλιο είναι ίδιας τάξης και ίδιου "φυράματος". Φτάνουμε στο παράλογο υΑ=0, κάτι εμφανώς άτοπο. Η λογική και των δύο είναι λανθασμένη. Αν έχουμε το δικαίωμα εφαρμογής του νόμου μεταξύ δύο οιωνδήποτε σημείων, τότε θα καταλήξουμε και στο ότι και τα τρία ύψη είναι ίσα. Αυτό είναι άτοπο.
Το ότι το υγρό το θεωρούμε ιδανικό, δεν σημαίνει ότι εφαρμόζουμε τον νόμο μεταξύ οιωνδήποτε σημείων.
Το ότι όμως έδωσαν λανθασμένες λύσεις δεν σημαίνει ότι κατέληξαν και οι δύο σε λανθασμένο συμπέρασμα.
Γνωρίζεις και εσύ και πολλοί φίλοι ποια ταχύτητα εκροής θεωρώ σωστή. Οπότε είναι φανερό το ποιο ύψος πιστεύω ότι έχει το νερό του σωλήνα.
Η παρούσα ανάρτηση ξανακοιτάζει το θέμα "η εκρέουσα μάζα έχει την πίεση του περιβάλλοντός της;".
Στάθη γράφαμε μαζί και διάβασα τώρα το σχόλιο.
Έχω υπ' όψιν μου το "εφαρμόζουμε τον νόμο μεταξύ δύο σημείων αν η ροή είναι….".
Εν προκειμένω θεωρείς ότι κάποιος από τους 1ο και 2ο έδωσε σωστή λύση;
Και οι δύο εφάρμοσαν τον νόμο μεταξύ σημείων της επιλογής τους. Όμως καταλήγουν σε αντιφατικές λύσεις.
Διονύση φυσικά και δεν θα το διδάξουμε έτσι, εφ' όσον το σχολικό το αντιμετωπίζει διαφορετικά. Το σχόλιό μου αναφέρεται στα πλαίσια αποκλειστικά αυτής της συζήτησης.
Όσο για τον κατακόρυφο σωλήνα, στα γρήγορα απαντώ ότι μπορεί να θεωρηθεί ως μέρος του πεδίου της ροής, όπου η "ένταση" (δηλαδή η ταχύτητα) του πεδίου ισούται με το μηδέν (όλα τα σημεία του είναι σημεία αποκοπής).
Στάθη ποιο προβλέπεις ότι θα είναι το ύψος;
Όχι βέβαια. Αναφέρθηκα στα του Bernoulli και όχι στις δύο απαντήσεις. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα η ροή δεν είναι μόνιμη, άρα οι δύο πρώτοι εφαρμόζουν λάθος της εξίσωση. Είμαι σε διάλειμμα στην δουλειά, οπότε περισσότερα αργότερα.
Στάθη ο γενικευμένος νόμος Bernoulli εφαρμόζεται και σε μη μόνιμες ροές.
Γενίκευση του νόμου Bernoulli σε μια ροή όχι μόνιμη. Με πολύ απλά λόγια.
Ακόμα και αυτός αν εφαρμοσθεί μεταξύ Α και Β, θα δώσει το ίδιο αποτέλεσμα με εκπληκτική προσέγγιση. Τούτο διότι οι υπάρχουσες επιταχύνσεις είναι μικρές και τα ολοκληρώματα στα οποία εμπλέκονται έχουν μηδαμινές τιμές.
Πιστεύω ότι όλοι συμφωνούμε σε τέσσερα πράγματα:
1. Οι ταχύτητες στα Δ και Ε είναι ίδιες.
2. Οι πιέσεις στα Δ και Ε είναι ίδιες.
3. Αν βρω ποια είναι η ταχύτητα στο Ε, βρίσκω την πίεση στο Ε και επομένως και στο Δ.
4. Αν αντίστροφα ξέρω την πίεση στο Ε, ξέρω και την πίεση στο Δ. Δεν χρειάζεται να βρω την ταχύτητα στο Ε.
Νομίζω ακόμα ότι όλοι συμφωνούμε στο ότι:
Η σωστή τιμή της πίεσης στο Δ (και στο Ε) είναι εκείνη που "συμφωνεί" με την σωστή τιμή της ταχύτητας στο Ε. Αν μια πρόβλεψη πίεσης στο Δ και στο Ε, δίνει άλλη ταχύτητα στο Ε από την σωστή, τότε η πρόβλεψη είναι λανθασμένη.
Το πρόβλημα λοιπόν θα μπορούσε να αναχθεί στον υπολογισμό της ταχύτητας στο Ε. Εκτός φυσικά αν όλοι συμφωνούμε στο "ποια είναι η πίεση στο Ε". Αν όλοι συμφωνούμε στο ποια είναι η πίεση στο Ε, τότε ίδια είναι και στο Δ.
Αν διαφωνούμε, τότε ο υπολογισμός της ταχύτητας στο Ε θα έλυνε την διαφωνία. Σωστή εκτίμηση της πίεσης στο Ε είναι αυτή που συμφωνεί με την σωστή τιμή της ταχύτητας στο Ε.
Γιάννη, το προχωράς πολύ!!!
Κάτσε να επιλύσουμε το 1ο
και μετά πάμε στα επόμενα…
Νομίζω ότι είναι ευκαιρία να ξεκαθαριστούν πράγματα.
Γράφω κάτι, σαν συνέχεια της προηγούμενης απάντησης στο Στάθη και επιστρέφω.
Διονύση ποιο εννοείς 1ο ;
Το ότι έκαναν λάθος αμφότεροι, ασχέτως προβλέψεων;
Το ότι ο νόμος πρέπει να εφαρμοσθεί σε ροϊκή γραμμή;
Η θέση μου είναι απλή (και νομίζω λογική). Αν ένας κάνει λανθασμένη πρόβλεψη, τότε κακώς εφάρμοσε τον νόμο μεταξύ των δύο σημείων.
Δεν φταίει ο νόμος φυσικά για την όποια λανθασμένη εφαρμογή του.
Γενικότερα μιλώντας, η εφαρμογή του νόμου μεταξύ δύο οιωνδήποτε σημείων θα έπρεπε να μας "φοβίζει".
Στο παρελθόν έχουμε δει επίπεδες πλάκες να σηκώνονται από εφαρμογή του νόμου Bernoulli μεταξύ τυχαίων σημείων.
Ένα σημείο πάνω από την πλάκα και ένα από κάτω. Βγάζαμε ότι είχαμε υποπίεση στο σημείο που η ταχύτητα ήταν μεγάλη.
Το πείραμα αλλά και η σωστή εφαρμογή, έδειξαν ότι δεν σηκώνονται. Πρέπει λοιπόν να προσέχουμε μεταξύ ποίων σημείων εφαρμόζουμε τον νόμο.
Εφαρμόζοντας τον νόμο Bernoulli (απλούν ή γενικευμένο για να καλύψουμε και μη μόνιμες ροές) μεταξύ δύο οιωνδήποτε σημείων, βγάζουμε ότι θέλουμε και στήνουμε σπαζοκεφαλιές του τύπου:
-Γιατί 2<-4 ;;