by 
Μια δεξαμενή τροφοδοτεί μια άλλη όπως στο σχήμα. Ένας σωλήνας, μικρής διατομής σε σχέση με τις δεξαμενές αλλά σημαντικής ώστε να μην υπολογίζουμε την επίδραση του ιξώδους, γεμίζει με νερό μέχρι κάποιο ύψος.
Κάποια στιγμή το νερό στις δεξαμενές απεικονίζεται στο σχήμα.
Το ύψος h του νερού στον σωλήνα είναι:
- Ίσο με το h1.
- Ίσο με το h2.
- Έχει τιμή h : h2 < h < h1.
- Είναι h < h2.
Κάποιοι φίλοι διαφωνούν. Οι θέσεις τους:
Γιάννη 1ο εννοώ την πρώτη απάντηση στο κείμενό σου…
Στάθη επανέρχομαι για να ξεκαθαρίσω την προηγούμενη θέση μου.
Ο νόμος Bernoulli αποδείχτηκε για μια φλέβα και όχι για οποιαδήποτε σημεία σε ένα υγρό. Εφαρμόζεται λοιπόν τυπικά για σημεία μιας ρευματικής γραμμής ή για σημεία που δεν ανήκουν στην ίδια ρευματική γραμμή, αλλά βρίσκονται μέσα στη φλέβα.
Ας πάρουμε λοιπόν το προηγούμενο σχήμα:
Και έστω δύο σημεία Α και Β της επιφάνειας που ξεκινούν δύο ρευματικές γραμμές που έχουν σχεδιαστεί.
Ας πάρουμε τώρα μια οριζόντια τομή του οριζόντιου σωλήνα, καθώς και την επιφάνεια του δοχείου σε κάτοψη:
Η ρευματική γραμμή που ξεκινά από το Α καταλήγει σ το Κ και αυτή από το Β στο Λ. Οι ταχύτητες ροής στα Κ και Λ είναι ίσες.
Εφαρμόζουμε Bernoulli μεταξύ των Α και Κ και βρίσκουμε:
Εφαρμόζουμε Bernoulli μεταξύ των Β και Λ και βρίσκουμε:
Προφανώς τα πρώτα μέλη είναι ίσα οπότε και τα δεύτερα…
Αλλά αν κάποιος πει ότι θα εφαρμόσει Bernoulli μεταξύ των Α και Λ τι θα πάρει; Προφανώς την (2), παρότι τα σημεία Α και Λ δεν βρίσκονται στην ίδια ρευματική γραμμή.
Άρα το να πούμε ότι ισχύει ο νόμος για δυο σημεία του πεδίου βολής που δεν ανήκουν στην ίδια ρευματική γραμμή, είναι σωστό. Αλλά αν τον εφαρμόσουμε για τα σημεία Α και Ρ του πρώτου σχήματος, προφανώς είναι λάθος, αφού το Ρ δεν βρίσκεται στο πεδίο ροής…
Συμφωνώ απόλυτα Διονύση. Είναι εμφανές ότι h = 0 (έτσι όπως σχεδίασες τις διατομές).
Μια εφαρμογή του νόμου Bernoulli μεταξύ Α και Ρ θα έδινε h όσο το βάθος του δοχείου.
Στην ένσταση “Η ροή δεν είναι μόνιμη” έχω δύο αντιενστάσεις:
1. Μπορώ να την καταστήσω μόνιμη αν μια βρύση τροφοδοτεί το δοχείο με την δέουσα παροχή.
2. Αν δεν θέλω κάτι τέτοιο, μπορώ να εφαρμόσω των γενικευμένο νόμο Bernoulli.
Όχι με Β αλλά με Σ φυσικά. Ο όρος με το ολοκλήρωμα θα είναι μικρομικρότατος. Θα επηρεάσει το 3ο (και βάλε) δεκαδικό ψηφίο. Φυσικά δεν θα δείξει ότι h = 0. Θα δείξει κάτι λιγότερο από το βάθος της δεξαμενής.
Επίσης θα μπορούσα να καταστήσω μόνιμη την ροή, πολύ εύκολα:
Η αριστερή τροφοδοτείται με την σωστή παροχή και από την δεξιά χύνεται νερό.
Η ροή είναι υπόδειγμα μόνιμης ροής.
Μπορούμε να εφαρμόσουμε τον νόμο από το Α στο Β και από το Β στο Γ, επειδή η ροή είναι τώρα μόνιμη;
Θα μπορούσα να είχα στείλει ακριβώς το ίδιο κείμενο με το τελευταίο σχήμα, ώστε να καταστήσω μόνιμη την ροή.
Τίποτε δεν θα άλλαζε, ούτε στην ουσία, ούτε στις απαντήσεις.
Τότε ο 1ος και ο 2ος θα είχαν δίκιο εφαρμόζοντας τον νόμο Βernoulli μεταξύ Α και Β ή μεταξύ Β και Γ;
Πάλι δεν θα οδηγούμαστε στο άτοπο h1=h2 ;
Πιστεύω ότι το λάθος δεν βρίσκεται στο ότι η ροή της ανάρτησής μου δεν είναι μόνιμη.
Συμφωνώ Γιάννη, ότι δεν μπαίνει θέμα μη μόνιμης ροής.
Αλλά ας περιμένουμε το Στάθη, να τελειώσει τη δουλειά…
Καλό βράδυ σε όλους.
Για να ξεκαθαρίσω την θέση μου σχετικά με τον Bernoulli (στην μόνιμη ροή) τώρα που τέλειωσα και γράφω με ηρεμία.. Συμφωνώ αρχικά ότι εφαρμόζεται μέσα στο πεδίο ροής, οπότε στο σχήμα σου Διονύση το Ρ είναι μετά τα σημεία αποκοπής στην βάση του λεπτού σωλήνα, άρα εκτός πεδίου ροής. Συνεπώς δεν εφαρμόζεται μεταξύ των σημείων Α και Ρ. Το αρχικό σχόλιό μου αφορούσε το πώς εφαρμόζεται η εξίσωση μέσα στο πεδίο της ροής, όπου αν είναι αστρόβιλη, ιδανική και μόνιμη δεν έχει σημασία το ποια σημεία θα επιλέξω.
Όσον αφορά στην μονιμότητα της ροής στο συγκεκριμένο παράδειγμα. Οι στάθμες σε κάθε δοχείο μεταβάλλονται, άρα η ροή δεν είναι μόνιμη. Συμφωνώ ότι οι ταχύτητες στην επιφάνεια είναι μικρές αλλά στον οριζόντιο σωλήνα που ενώνει τα δοχεία μπορεί να γίνουν πολύ μεγάλες. Το ότι στιγμιαία θεωρούμε την ταχύτητα στην ελεύθερη επιφάνεια μηδέν, είναι μία προσέγγιση επίσης στιγμιαία. Σε διαφορετικές χρονικές στιγμές τα ύψη των επιφανειών διαφέρουν, και κάνουμε την προσέγγιση από την αρχή για να υπολογίσουμε για παράδειγμα την πίεση στην βάση του δοχείου 1. Το σχήμα Γιάννη διαφέρει γιατί εκεί χρησιμοποιεί μία εξωτερική παροχή για να καταστήσει την ροή μόνιμη στα σημεία μακριά από την είσοδο του νερού στο δοχείο 1 και μακριά από την υπερχείλιση στο δοχείο 2.
Τέλος για το ύψος της στάθμης h. Σύμφωνα με την εξίσωση της συνέχειας σε όλο το σύστημα,
Α1 dh1/dt – A dh/dt – A2 dh2/dt = 0 => dh1/dt – (A/A1) dh/dt – (A2/A1) dh2/dt = 0.
Αν υποθέσω από το σχήμα ότι Α<<Α1 τότε Α/Α1->0 και
dh1/dt = (A2/A1) dh2/dt.
Η τελευταία εξίσωση θα μου δώσει την χρονική μεταβολή της καθόδου της στάθμης στο δοχείο 1 και της ανόδου στο δοχείο 2 αν επιπλέον θέσω h1 = H1 – y και h2 = y. Όλο το νερό μεταβαίνει αρχικά από το δοχείο 1 στο δοχείο 2.
Στάθη τι θα λέγαμε για την τροποποιημένη περίπτωση (που έβαλα τελευταία) στην οποία η ροή είναι μόνιμη;
Δικαιούμαστε να εφαρμόσουμε τον νόμο Bernoulli από το Α ως το Β;
Στην συγκεκριμένη περίπτωση, της παρούσης ανάρτησης, δικαιούμαστε να εφαρμόσουμε τον γενικευμένο νόμο Bernoulli από το Α ως το Β;
Θα υπάρχει νερό στο Β, Γιάννη; Αν υπάρχει και ισορροπεί τότε όχι, τα σημεία στην βάση του λεπτού σωλήνα είναι σημεία αποκοπής, οπότε η ροή σταματά εκεί.
Ποιο ύψος προβλέπεις πως θα έχει το νερό στον σωλήνα;
Η δράση του ιξώδους μπορεί να αμεληθεί με κατάλληλες διατομές των σωλήνων.
Αν είναι λεπτός, μηδέν. Κάνω λάθος;
Πιστεύω Στάθη πως το ύψος θα είναι h2. Μιλώ για την ανάρτηση της συζήτησης και όχι για το παράδειγμα του Διονύση στο οποίο h =0.
Γράφω αυτό διότι θεωρώ την 3η λύση ορθή (αν και υπερβολικά σύντομη).
Εννοείς ότι οι στάθμες στον λεπτό σωλήνα και στο δοχείο 2 ανεβαίνουν ταυτόχρονα;
Ναι (πιστεύω φυσικά ότι) ανεβαίνουν ταυτόχρονα.
Το επιβάλλει η ισότητα πιέσεων στα Δ και Ε.
Αν κάνεις την υπόθεση ότι το ύψος είναι μηδέν, τότε η πίεση στο Δ είναι ίση με την ατμοσφαιρική. Η πίεση στο Ε είναι ρ.g.h2.
Δεν είναι δηλαδή ίσες. Αυτό όμως δεν μπορεί να ισχύει διότι οι διατομές είναι ίσες και επομένως και οι ταχύτητες στα Δ και Ε.