by 
Μια δεξαμενή τροφοδοτεί μια άλλη όπως στο σχήμα. Ένας σωλήνας, μικρής διατομής σε σχέση με τις δεξαμενές αλλά σημαντικής ώστε να μην υπολογίζουμε την επίδραση του ιξώδους, γεμίζει με νερό μέχρι κάποιο ύψος.
Κάποια στιγμή το νερό στις δεξαμενές απεικονίζεται στο σχήμα.
Το ύψος h του νερού στον σωλήνα είναι:
- Ίσο με το h1.
- Ίσο με το h2.
- Έχει τιμή h : h2 < h < h1.
- Είναι h < h2.
Κάποιοι φίλοι διαφωνούν. Οι θέσεις τους:
Καλημέρα Διονύση.
Η αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων αναφέρεται σε ακίνητα υγρά.
Όταν όμως λέμε ακίνητα υγρά τι εννοούμε;
Αντιλαμβάνομαι το "ακίνητα υγρά" ως υγρά μη επιταχυνόμενα. Δηλαδή αν το δοχείο επιταχύνεται, τότε η στάθμες θα σχηματίζουν κεκλιμένο επίπεδο. Όμως αν τροφοδοτηθεί το παρόν δοχείο με νερό από κάποιο σωλήνα στην βάση, οι στάθμες θα είναι στο ίδιο ύψος;
Νομίζω πως η απόδειξη είναι πολύ εύκολη. Εν τούτοις την παραθέτω σχετικά σύντομα.
Στα σημεία Α και Β οι ταχύτητες είναι ίδιες.
Συνεπώς είναι ίδιες οι πιέσεις.
Συνεπώς ίδια τα ύψη.
Αυτό θα συμβεί και σε άλλες περιπτώσεις αν η διατομή είναι ίδια.
Καλημέρα Γιάννη.
Δεν με βρίσκει σύμφωνο η λογική περί μη επιταχυνομένων υγρών. Η θέση του Αποστόλη είναι η ασφαλής!
Εκτός και αν με πείσεις ότι αν η δεξαμενή αριστερά και το δοχείο δεξιά που έχουν τεράστιες επιφάνειες, με αποτέλεσμα η ροή να είναι μόνιμη, στους δυο κατακόρυφους σωλήνες το νερό φτάνει στο ίδιο ύψος, αφού έχουμε:
Συγκοινωνούντα δοχεία….
Γράφαμε μαζί…
Σε πρόλαβα στο (η διατομή είναι ίδια…)!
Μην φτιάχνεις συμπεράσματα με προϋποθέσεις
Δηλαδή όταν δεν έχουμε ροή, τότε στα συγκοινωνούντα δοχεία έχουμε ίδιες στάθμες σε κάθε περίπτωση, ακόμα και αν η διατομή του σωλήνα δεν είναι η ίδια. Αν έχουμε ροή, οι στάθμες θα είναι ίδιες αν η διατομή του σωλήνα είναι ίδια και θα διαφέρουν αν έχουμε διαφορετικές διατομές. Όπως εδώ:
Γράφουμε μαζί. Κάναμε και ανάλογο σχήμα.
Δεν βλέπω διαφωνία.
Διορθώνω αβλεψία:
Δεν υπάρχει διαφωνία επί του συγκεκριμένου.
Απλά μπαίνει ένα θέμα αρχής
Ξέρεις ότι δεν συμφωνώ με επιμέρους πορίσματα και "συνταγές μαγειρικής"…
Τα "συγκοινωνούντα δοχεία" τα μελετάμε στην ισορροπία υγρών (ή και όταν βρίσκονται στην καρότσα φορτηγού που επιταχύνεται…)
Όταν έχουμε ροή, ας μην τα μπλέκουμε, ακόμη και αν, σε κάποιες περιπτώσεις, μπορούν να δώσουν σωστή πρόβλεψη.
Εν τάξει γιατί μπορεί να δώσουμε ότι θέλουμε.
Ένα βαρέλι τροφοδοτείται από σωλήνα 10 τ.εκ.
Στον πάτο έχει σωλήνα 1 τ.εκ. , μέσω του οποίου τροφοδοτεί άλλο βαρέλι.
Σιγά μην είναι στο ίδιο ύψος οι στάθμες.
Γιάννη σου έδωσα πολύ ωραία ιδέα με την ανάρτηση του θέματος Γ του διαγωνίσματός μου εδώ, κι έγινε πολύ ωραία συζήτηση, εύγε!!!
Έκανα κι εγώ μια προσέγγιση εδώ , δες την .
Καλησπέρα Πρόδρομε.
Μάλλον δεν παρακολούθησες τη συζήτηση!
Δεν υπάρχει καμιά ρευματική γραμμή που να πηγαίνει από το Δ στο Β. Δεν υπάρχει ταχύτητα στο σημείο Β.
Αλλά και δεν υπάρχει καμιά ροή από το Ε στο Γ και δεν ισχύει κανένας νόμος Bernoulli μεταξύ των δύο σημείων, ούτε προφανώς από το Α στο Γ.
Καλησπέρα συνάδελφοι.
Προσωπικά δεν μπορώ ακόμη να καταλάβω το γιατί δεχόμαστε ρευματικές γραμμές από το σημείο Α στα σημεία Δ και Ε, αλλά όχι από το σημείο Ε στο σημείο Γ. Η ρευματική γραμμή είναι εξ' ορισμού μία καμπύλη, σε κάθε σημείο της οποίας το διάνυσμα της ταχύτητας ροής είναι εφαπτόμενο. Τι αλλάζει από το σημείο Ε και μετά; Όλα τα σημεία του ρευστού έχουν μία κατά βάση ανοδική ταχύτητα στο δοχείο 2 και για αυτό η στάθμη του ανεβαίνει, όπως όλα τα σημεία στο δοχείο 1 έχουν μία κατά βάση καθοδική ταχύτητα και η στάθμη του κατεβαίνει. Μήπως το λάθος είναι ότι δεχόμαστε μηδενικές τις ταχύτητες στα σημεία των ελευθέρων επιφανειών Α και Γ;
Δηλαδή έστω ότι υπάρχουν παντού ρευματικές γραμμές μέσα στα δοχεία. Τότε η ποσότητα
Ε = p + 0.5 ρ υ^2 + ρ g h
είναι παντού σταθερή. Τότε ισχύει ότι
ΕΑ = pat + 0.5 ρ υΑ^2 + ρ g h1,
EΔ = pΔ + 0.5 ρ υΔ^2 = pat + ρ g h +0.5 ρ υΔ^2,
EB = pat + ρ g h +0.5 ρ υB^2,
ΕΕ = pΕ + 0.5 ρ υΕ^2 = pat + ρ g h2 + 0.5 ρ υΕ^2 ,
ΕΓ = pat + 0.5 ρ υΓ^2 + ρ g h2.
Έστω τώρα ότι ο οριζόντιος σωλήνας που συνδέει τα τρία δοχεία έχει διατομή Α0. Τότε η συνολική δύναμη στην φλέβα μεταξύ του σημείου εισόδου Ζ από το δοχείο 1 και του σημείου Δ ισούται με
ΣF = (pat + ρ g h1) A0 – (pat + ρ g h2) A0 =ρ g (h1-h2) > 0, άρα στο τμήμα αυτό το νερό επιταχύνεται γιατί αν και η διατομή της είναι σταθερή, αλλάζει η πίεση.
Στην οριζόντια φλέβα ΔΕ ισχύει ότι
ΣF = (pat + ρ g h) A0 – (pat + ρ g h2) A0 =ρ g (h-h2) = 0, γιατί h2 = h, άρα στο τμήμα αυτό το νερό κινείται με σταθερή ταχύτητα γιατί η οριζόντια βαθμίδα πίεσης είναι μηδέν και η διατομή σταθερή.
Αναλόγως στις φλέβες ΑΖ και ΕΓ, οι οποίες περιέχουν όλον τον όγκο του νερού σε κάθε δοχείο με διατομή βάσης Α1 και Α2,
ΣF = -ρ g h1 Α1 και ΣF = ρ g h2 Α2, δηλαδή στην μία το νερό επιταχύνεται στιγμιαία προς τα κάτω και στην άλλη το νερό επιταχύνεται στιγμιαία προς τα πάνω λόγω των κατακορύφων βαθμίδων πίεσης.
Επίσης από την εξίσωση Bernoulli μεταξύ των σημείων Α και Γ προκύπτει η διαφορά των τετραγώνων των ταχυτήτων στις δύο ελεύθερες επιφάνειες του νερού,
ΕΑ = ΕΓ => υΓ^2 – υΑ^2 = 2 g (h1-h2).
Οι ταχύτητες εξισώνονται στιγμιαία όταν h1 = h2.
Τέλος τα σημεία Α, Δ, Ε, Β, Γ μπορούν να είναι οπουδήποτε στο ίδιο ύψος για το καθένα, οπότε σε διαφορετικές ρευματικές γραμμές. Η Bernoulli εφαρμόζεται μεταξύ οποιονδήποτε σημείων της συνολικής ροής.
Πρόδρομε ευχαριστώ.
Αυτό που λέει ο Διονύσης μπερδεύει και μένα. Ταχύτητα στο Δ;
Στάθη ο νόμος ισχύει και εφαρμόζεται. Όμως τι δίνει, εφαρμοζόμενος μέχρι το Γ;
Προφανώς δεν δίνει την ταχύτητα της επιφάνειας του νερού στο δεξί δοχείο. Τούτο δε διότι προκύπτει εξωφρενική ταχύτητα και εξωφρενική παροχή. Παροχή που θα γέμιζε πισίνα σε δευτερόλεπτα.
Εφαρμοζόμενος μέχρι το Γ δίνει την ταχύτητα μικρής μάζας υγρού αν αυτή έφτανε στο Γ. Με μία κλίση του σωλήνα θα μπορούσε να γίνει αυτό. Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι όλη η επιφάνεια θα έχει την ταχύτητα αυτήν.
Καλησπέρα Στάθη.
Είχα μείνει με την εντύπωση, ότι στο θέμα αυτό είχαμε καταλήξει… Γι΄αυτό έγραψα στον Πρόδρομο ότι δεν διάβασε τη συζήτηση (και όχι μόνο στην παρούσα).
Δανείζομαι λοιπόν σχήμα του Γιάννη, τροποποιώντας το.
Αριστερά υπάρχει δεξαμενή με ελεύθερη επιφάνεια εμβαδού 2.000m2 και πάμε να γεμίσουμε το δεξιό δοχείο με εμβαδόν βάσης Α1=4m2, μέσω σωλήνα εμβαδού Α2=10cm2.
Δίνονται Η=1,8m και κάποια στιγμή στο δοχείο h=1m.
Έστω ότι ισχύει ο νόμος Bernoulli μεταξύ Α και Γ. Τον εφαρμόζουμε:
Θέτοντας υΑ=0 βρίσκουμε:
Τι βρήκαμε; Βρήκαμε ότι το σημείο Γ (αλλά και κάθε σημείο της επιφάνειας…) κινείται προς τα πάνω με ταχύτητα 4m/s!!! Δηλαδή η επιφάνεια ανεβαίνει με αυτήν την ταχύτητα…
Λογικό; Αυτό δεν μας λέει ότι ΔΕΝ μπορεί να ισχύει αυτό;
Ας το προχωρήσω λίγο ακόμη. Ποια η ταχύτητα στο εσωτερικό του οριζόντιου σωλήνα;
Από την εξίσωση συνέχειας:
υΒ∙Α2=υΓ∙ΑΓ → υΒ=16.000m/s.
Δηλαδή έχουμε παροχή ίση με Π=Α1υΓ=16m3/s!!! 16 τόνοι νερού βγαίνουν από σωλήνα ούτε μιας ίντζας!!! Και αυτό γίνεται επειδή υπάρχει μια υψομετρική διαφορά δεξαμενής δοχείου 0,8m!!!
Αν οι παραπάνω υπολογισμοί βγαίνουν σωστοί, δεν μας λέει ότι κακώς εφαρμόζουμε μεταξύ Α και Γ Bernoulli;