by 
Μια δεξαμενή τροφοδοτεί μια άλλη όπως στο σχήμα. Ένας σωλήνας, μικρής διατομής σε σχέση με τις δεξαμενές αλλά σημαντικής ώστε να μην υπολογίζουμε την επίδραση του ιξώδους, γεμίζει με νερό μέχρι κάποιο ύψος.
Κάποια στιγμή το νερό στις δεξαμενές απεικονίζεται στο σχήμα.
Το ύψος h του νερού στον σωλήνα είναι:
- Ίσο με το h1.
- Ίσο με το h2.
- Έχει τιμή h : h2 < h < h1.
- Είναι h < h2.
Κάποιοι φίλοι διαφωνούν. Οι θέσεις τους:
Γράφαμε μαζί Γιάννη…
Καλησπέρα!
Γιάννη δεν λέω ότι οι ταχύτητες που προκύπτουν είναι και οι πραγματικές. Θα ήταν αν είχα ιδανικό ρευστό και ίσχυαν επακριβώς όλες οι προσεγγίσεις. Απλά δεν καταλαβαίνω ποια φυσική αρχή μας οδηγεί στο διαχωρισμό της ροής από το ένα δοχείο στο άλλο. Η άποψη ότι η Bernoulli απαιτεί ρευματική γραμμή για να εφαρμοστεί είναι λάθος, στην συγκεκριμένη περίπτωση. Άρα ή λέμε ότι οι προσεγγίσεις της εξίσωσης δεν είναι ικανοποιητικές και την απορρίπτουμε συνολικά, ή τις δεχόμαστε και την εφαρμόζουμε ως έχει. Ή, τέλος εξηγούμε γιατί ισχύει στο μισό σύστημα.
Στάθη η εξίσωση Bernoulli είναι δυσανάγνωστη.
Κάπως απεδείχθη αυτή. Πολλές φορές (όταν την εφαρμόζουμε) ξεφεύγουμε από τις συνθήκες που ίσχυαν στην απόδειξη.
Έτσι βλέπουμε πλάκες να σηκώνονται, ψεκαστήρες χωρίς στενώσεις να δουλεύουν κ.λ.π.
Ο νόμος προφανώς και δεν δουλεύει μόνο στο μισό σύστημα. Όμως πως ερμηνεύεται ο όποιος υπολογισμός ταχύτητας.
Διαφωνώ δε σε αυτό που λες:
Γιάννη δεν λέω ότι οι ταχύτητες που προκύπτουν είναι και οι πραγματικές. Θα ήταν αν είχα ιδανικό ρευστό και ίσχυαν επακριβώς όλες οι προσεγγίσεις.
Όχι δεν θα ήταν αυτές. Το νερό σε χοντρούς και μικρούς σωλήνες, ελάχιστα απέχει από το ιδανικό υγρό. Διαφορές δεκαδικού ψηφίου και βγάλε. Δεν μπορεί το μοντέλο του ιδανικού υγρού να προβλέπει ταχύτητα 2 m/s και να είναι αυτή 1mm/s.
Αν συνέβαινε αυτό, το μοντέλο θα ήταν εντελώς άχρηστο. Ουδείς θα ησχολείτο μαζί του.
Πάντως υπάρχει εναλλακτική λύση. Επίκληση της διατήρησης ενέργειας συστήματος. Εκεί φαίνεται τι είναι αυτό που υπολογίζεται από τη σχέση Bernoulli και τι δεν είναι. Πάντως ταχύτητα επιφάνειας δεν είναι. Αν το μοντέλο του ιδανικού υγρού προέβλεπε τέτοιες ταχύτητες επιφανειών, θα παραβίαζε την αρχή διατήρησης ενέργειας. Θα είχε εγκαταληφθεί και δεν θα το γνωρίζαμε σήμερα.
Παρέλειψα να πω ότι αν το μοντέλο του ιδανικό υγρού προέβλεπε τέτοιες ταχύτητες, δεν θα παραβίαζε μόνο την αρχή διατήρησης της ενέργειας, αλλά και της συνέχειας.
Σκέψου ταχύτητα αμελητέα της αριστερής επιφάνειας και ταχύτητα 1m/s της δεξιάς επιφάνειας. Η αριστερή δηλαδή παροχή είναι 1 λίτρο το δευτερόλεπτο και η δεξιά 2 κυβικά μέτρα το δευτερόλεπτο. Δεν μπορεί ένα μοντέλο ιδανικού υγρού να προβλέπει τέτοιες αντιφάσεις.
Γιάννη αυτό ακριβώς λέω: Ποια προσέγγιση στην εξαγωγή του νόμου δεν ισχύει; Αν δεν καταλάβουμε αυτό, δεν βγάζει νόημα η όποια λύση δίνουμε στην οποία επικαλούμαστε τον νόμο στο μισό δοχείο, αλλά απορρίπτουμε τα συμπεράσματά του στο άλλο μισό.
Και γιατί οι αφύσικα μεγάλες ταχύτητες παραβιάζουν την διατήρηση της ενέργειας; Απλά σημαίνει ότι κάποια προσέγγιση δεν ισχύει, η πυκνότητα ενέργειας διατηρείται μια χαρά απλά και μόνον επειδή εφαρμόζουμε την Bernoulli (δεν υπάρχει εξωτερική δύναμη η οποία να παράγει έργο εκτός από την πίεση). Για μένα η λύση είναι αλλού. Είτε η ροή είναι στροβιλώδης οπότε πρέπει απαραίτητα να βρούμε μία ρευματική γραμμή για να εφαρμόσουμε τον νόμο, είτε η ροή είναι μη μόνιμη, οπότε πρέπει να εφαρμόσουμε διαφορετικά τον νόμο. Στην πρώτη περίπτωση δεν μπορώ να καταλάβω τι γεννά τους στροβιλισμούς. Από την άλλη και στις δύο περιπτώσεις θα πρέπει πρώτα να βρω το πεδίο της ταχύτητας παντού μέσα στα δοχεία από τις αρχικές και τις συνοριακές συνθήκες για να καταλήξω σε ένα συμπέρασμα.
Στο τελευταίο σου δε σχόλιο, από που προκύπτει ότι το μοντέλο προβλέπει τέτοια διαφορά στις παροχές; Αν η μία ταχύτητα είναι της τάξεως του 1m/s τότε η άλλη θα είναι της ίδιας τάξεως, αν τα εμβαδά των δοχείων είναι επίσης ίδιας τάξεως, γιατί
dh1/dt = (A2/A1) dh2/dt.
Επαναλαμβάνω δε τον ορισμό των ρευματικών γραμμών, ως τις καμπύλες όπου σε κάθε σημείο η ταχύτητα είναι εφαπτόμενη. Τι αλλάζει στο δεύτερο μισό του συστήματος; Η στάθμη ανεβαίνει, οπότε έχουμε ταχύτητα. Γιατί δεν μπορώ να ορίσω ρευματική γραμμή; Αυτήν την απάντηση αναζητώ για να καταλάβω.
Στάθη ήμουν έτοιμος να γράψω κάτι ανάλογο, αλλά ο Διονύσης με πρόλαβε.
Ο Διονύσης έδειξε και το εξωπραγματικόν και την παραβίαση του νόμου της συνέχειας.
Το μοντέλο του ιδανικού υγρού δεν μπορεί να παραβιάζει τον νόμο της συνέχειας.
Σχεδόν αμέσως στο επόμενο σχόλιο θα εκμεταλλευτώ ακριβώς το παράδειγμα του Διονύση και τα νούμερα που έδωσε, ώστε να δείξω και την παραβίαση της αρχής διατήρησης της Ενέργειας. Μετά από αυτό θα είναι κατανοητό το λάθος που γίνεται κάποιες φορές όταν εφαρμόζουμε τον νόμο Μπερνούλι. Λάθος που κάναμε πολλές φορές στο υλικονέτ, με προεξάρχοντα τον υποφαινόμενο.
Διονύση τώρα είδα το σχόλιόνομα σου. Από που προκύπτει ότι υΑ = 0. Συμφωνώ ότι είναι μικρή, αλλά το μοντέλο του ιδανικού νερού Πώς το προβλέπει;
Πριν βγάλω τα νούμερα ας πω μια ιστορία. Πιτσιρικάς ήμουν και προόδους δεν ήξερα.
Μου παρουσίασαν το παράδοξο του Ζήνωνος με τον Αχιλλέα και τη χελώνα. Φυσικά δεν το βρήκα.
Όμως δεν πίστεψα ότι κάτι τέτοιο ισχύει, ούτε στην πράξη, αλλά ούτε και θεωρητικά.
Τώρα ξέρω ποιο είναι το λάθος του συλλογισμού.
Τα πρόσφατα χρόνια, όχι πιτσιρικάς πλέον (φευ) ταλαιπωρήθηκα από το παράδοξο του μπογιατζή.
Μέχρι να το καταλάβω όμως ήξερα πως είναι λάθος ο συλλογισμός.
Δεν μπορεί η θεωρητική κατάσταση να προβλέπει κάτι πέραν της κοινής λογικής.
Η λογική υπερέχει πάντων. Οι επιστήμες δεν μπορεί να αντιβαίνουν σ' αυτήν και δεν αντιβαίνουν. Εμείς εφαρμόζουμε κάτι λανθασμένα.
Παλιότερα είχα στείλει την γνωστή απόδειξη ότι μια οξεία γωνία ισούται με μια αμβλεία.
Κάποιοι φίλοι ίσως δεν βρήκαν την "λαθροχειρία". Δεν πιστεύω πάντως πως κάποιος αποδέχθηκε το συμπέρασμα.
Πάμε στο παράδειγμα του Διονύση ακριβώς. Με ίδια νούμερα ακριβώς.
Με διαφορά στάθμης αυτήν που ο Διονύσης επέλεξε έχουμε ταχύτητα στο Β 4 m/s.
Παροχή στον σωλήνα (αλλά και παντού) 0,004 m3/s.
Ταχύτητα αριστερής επιφάνειας 0,000002 m/s.
Ταχύτητα δεξιάς επιφάνειας 0,001 m/s.
Αυτά είναι αδιαμφισβήτητα διότι προκύπτουν και από ενεργειακή λύση χωρίς πιέσεις, Μπερνούλι κ.λ.π.
Αν με οιονδήποτε τρόπο βγάλουμε ταχύτητα δεξιάς επιφάνειας 4m/s αντί 0,001 m/s κάνουμε δύο λάθη:
Αυτά ακριβώς και όχι κατά προσέγγιση. Δεν μπορεί το ότι δουλεύουμε με ιδανικό υγρό να μας οδηγεί σε δύο ταυτοχρόνως παραβιάσεις θεμελιωδών αρχών.
Στάθη προκύπτει από υπολογισμό που έχω παραθέσει λίγο πριν Είναι ακριβώς 0,000002 m/s σε ιδανικό υγρό.
Σε πραγματικό υγρό με το ιξώδες του νερού, διατομή 10 τ.εκ. και σωλήνα 1 μέτρου πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον νόμο Poiseuille.
Μάλλον θα βγάλουμε ταχύτητα 0,00000199 m/s.
Γιάννη και Διονύση δεν αμφισβητώ τα νούμερα. Απλά δεν μπορώ να τα καταλάβω. Μία παράκληση, ας μην αλλάζουμε συνέχεια συνοριακές συνθήκες… Επιμένω στο αρχικό μου ερώτημα. Γιατί δεν μπορώ να ορίσω ρευματική γραμμή από το Ε στο Γ; Αν η απάντηση είναι γιατί μόνον έτσι βγαίνουν τα νούμερα, τότε καλώς. Αλλά αυτό δεν με κάνει να καταλαβαίνω καλύτερα την φυσική του συστήματος.
Και κάτι άλλο με ταχύτητα 0.000002 ο αριθμός Reynolds στον οριζόντιο σωλήνα του Διονύση βγαίνει περίπου μονάδα. Μπορώ να αγνοήσω το ιξώδες;
Αν λάβεις το ιξώδες υπ' όψιν και χρησιμοποιήσουμε τον νόμο Poiseuille σε ποιο δεκαδικό ψηφίο θα δούμε διαφορά με 10 τ.εκ. σωλήνα με μήκος 1 μέτρου;
Όχι βέβαια Στάθη. Δεν απαντάμε ότι είναι έτσι διότι έτσι βγαίνουν τα νούμερα.
Προφανώς και μπορείς να ορίσεις ροϊκή γραμμή τέτοια. Προφανώς μπορείς να εφαρμόσεις τον νόμο και να υπολογίσεις μια ταχύτητα.
Θα βγάλεις 4 m/s. Μετά όμως πρέπει να ερμηνεύσουμε το εξαχθέν:
-Ποιος έχει αυτήν την ταχύτητα;
-Την έχει η επιφάνεια του υγρού, και επομένως όλη η μάζα του;
-Την έχει μόνο ένα μικρό τμήμα του υγρού που ακολούθησε την ροϊκή αυτήν γραμμή;
Αν θυμάμαι καλά η ταχύτητα στο κέντρο είναι
υ = Δp/(4μ L) R^2, άρα για L = 1m, μ = 0.001, R=0.1, υ=2.5 Δp, όπου Δp η μεταβολή στην πίεση στα άκρα του σωλήνα.