by 
Από μια υπερυψωμένη δεξαμενή νερού, πρόκειται να γεμίσουμε δύο όμοια δοχεία (1) και (2), κυλινδρικού σχήματος και ύψους 2y. Για το γέμισμα χρησιμοποιούμε δυο όμοια λάστιχα-σωλήνες διατομής Α1, τα οποία συνδέονται κοντά στον πυθμένα της δεξαμενής σε βάθος 4y, από την επιφάνειά της. Κατά τη διάρκεια του γεμίσματος του πρώτου δοχείου, προσέχουμε κάθε στιγμή το άκρο του σωλήνα-λάστιχου να έρχεται σε επαφή με την επιφάνεια του νερού, ενώ στο δεύτερο δοχείο ο σωλήνας καταλήγειστον πυθμένα του δοχείου. Για τις θέσεις του σχήματος, όπου το ύψος του νερού στα δοχεία είναι y:
i) Αν η ταχύτητα εκροής στο (1) δοχείο είναι υ1 και η αντίστοιχη ταχύτητα στο (2) δοχείο υ2, ισχύει:
α) υ1 < υ2, β) υ1 = υ2, γ) υ1 > υ2.
ii) Αν το εμβαδόν της βάσης των δοχείων είναι Α, τότε για τις δύο παροχές ισχύει:
α) Π1=Α1∙υ1 και Π2=Α∙υ2.
β) Π1=Α1∙υ1 και Π2=Α1∙υ2.
γ) Π1=Α∙υ1 και Π2=Α∙υ2.
Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό, καθώς και οι ροές μόνιμες και στρωτές και στις δύο περιπτώσεις.
ή
Ένα καλαμάκι έχει διάμετρο 5 mm, δηλαδή διατομή κάπου 2*10-5 m3.
Στο πείραμα του Παντελή έχουμε αρχική διαφορά ύψους 10 cm , δηλαδή αρχική ταχύτητα 1,41 m/s. Αρχική παροχή 2,82*10-5 m3/s.
Θα μεταγγισθούν κάπου 200 ml νερού ,δηλαδή 2*10-4 m3 νερού.
Η διάρκεια μετάγγισης υπολογίζεται θεωρητικά πως είναι 14s περίπου.
Και είναι τόσο, αν πρόχειρα χρονομετρήσουμε.
Δηλαδή το μοντέλο του ιδανικού υγρού έπεσε πάρα πολύ κοντά στην πραγματικότητα.
Το θεωρητικό μοντέλο δεν δείχνει ότι η επιφάνεια κινείται με ταχύτητα 1,41 m/s , οπότε θα είχαμε μετάγγιση σε λιγότερο από 1/20 του δευτερολέπτου.
Αυτή είναι η πρόβλεψη της εξίσωσης της συνέχειας Γιάννη, όχι της Bernoulli. Αν δε η ροή είναι αστρόβιλη και στο δοχείο που εισρέει το ιδανικό νερό, η πρόβλεψη της εξίσωσης δεν είναι η ταχύτητα που θα είχε η μάζα αν έφτανε στην επιφάνεια (όπως η πρόβλεψη της ταχύτητας εξόδου στο θεώρημα Torricelli για δεδομένο ύψος, δεν είναι η ταχύτητα ενός σημείου της επιφάνειας όταν φτάσει στην οπή εξόδου, αν λάβουμε υπόψιν την αλλαγή της στάθμης).
Το ότι ένα προσεγγιστικό μοντέλο αποτυγχάνει δεν σημαίνει ότι το εγκαταλείπουμε, απλά το εφαρμόζουμε μόνον εκεί όπου οι προσεγγίσεις είναι έγκυρες. Για το θεώρημα Torricelli το μοντέλο του ιδανικού ρευστού είναι μια χαρά. Για το δοχείο και το λάστιχο προφανώς όχι. Ποια προσέγγιση αποτυγχάνει, το ιδανικόν του ρευστού ή η μορφή της ροής στο δοχείο;
Στάθη πως υπολόγισα την ταχύτητα 1,41 m/s ;
Δεν θα μπορούσα να το είχα κάνει και με Bernoulli από την επιφάνεια αριστερά ως το σημείο εξόδου του σωλήνα;
Φυσικά το μοντέλο του ιδανικού υγρού δουλεύει άριστα και για την περίπτωση του δοχείου με το λάστιχο. Αν φυσικά το μήκος του λάστιχου δεν είναι τεράστιο και η διατομή του δεν είναι μικρή. Αν το λάστιχο είναι 5 m και η διατομή του 5 τ.εκ. δουλεύει άριστα.
Δεν καταλαβαίνω γιατί λες "προφανώς αποτυγχάνει". Ποια προσέγγιση αποτυγχάνει;
Ότι προβλέπουμε στο χαρτί επιβεβαιώνεται με ακρίβεια 2ου δεκαδικού ψηφίου (τουλάχιστον).
Οι προσεγγίσεις εδώ είναι έγκυρες. Τόσο πολύ ώστε δεν εξυπηρετεί να βάλεις το ιξώδες στο παιχνίδι.
Για παράδειγμα:
Έκανα ένα λάθος λέγοντας ότι επηρεάζει το 2ο δεκαδικό ψηφίο. Μάλλον το 3ο δεκαδικό επηρεάζει.
Στάθη και Γιάννη καλησπέρα.
Αν δείτε και την ανάρτηση την οποία έβαλα σήμερα, θα διαπιστώσετε ότι το ότι το μέρος «τι θα γίνει μετά την έξοδο από το σωλήνα», δεν με απασχολεί.
Σε προηγούμενο σχόλιο μίλησα για …χάος.
Αλλά αφού Στάθη βλέπω να επιμένεις, ας κάνω μια προσπάθεια να δώσω μια φαντασιακή! περιγραφή.
Πολύ κοντά στον πυθμένα ενός δοχείου που ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο ανοίγουμε μια τρύπα και εξέρχεται νερό. Θα δημιουργηθεί μια φλέβα που στην απολύτως ιδανική περίπτωση, θα μεταφερθεί αμετάβλητη ως προς το σχήμα της και με σταθερή ταχύτητα προς τα δεξιά.
Αν τώρα στην επιφάνεια ενός δοχείου με νερό τοποθετήσουμε οριζόντιο σωλήνα από τον οποίο εκρέει νερό, τι θα γίνει;
Θα δημιουργηθεί η φλέβα (με πιο σκούρο χρώμα) η οποία θα κινηθεί με σταθερή ταχύτητα στην επιφάνεια, μέχρι την απέναντι πλευρά του δοχείου. Και εκεί; Εκεί το νερό θα συγκρουσθεί με το τοίχωμα. Και μετά; Και μετά θα ανακλαστεί! Δηλαδή θα επιστρέψει και θα έχουμε νέες κρούσεις με τα σωματίδια ρευστού που κινούνται προς τα αριστερά….
Δεν θα διαλυθεί η φλέβα; Μπορεί να διατηρηθεί πια η «πολύ όμορφη» αρχική εικόνα; Άρα μετά από ελάχιστο χρόνο, στην επιφάνεια του δοχείου δεν θα υπάρχει καμιά συγκεριμένη ροή, σαν αυτή που είχαμε στο εσωτερικό του σωλήνα…
Και αν ανοίγαμε την κάνουλα στο παρακάτω σχήμα για να διοχετεύσουμε νερό από το μεγάλο στο μικρό δοχείο;
Τι θα συναντήσει η φλέβα με το που θα μπει στο μικρό δοχείο; Θα πρέπει να σπρώξει το νερό που είναι μπροστά της, θα χάσει ενέργεια, οι μαζούλες νερού δεξιά της φλέβας θα πρέπει να «κάνουν στην άκρη» για να περάσει η μεγαλειοτάτη; Μάλλον δεν θα το κάνουν τόσο εύκολα, πάντως σίγουρα κάποιες μάζες θα κινηθούν προς τα πάνω (δεν λέω κατακόρυφα, γιατί όχι πλάγια), για να… αφήσουν χώρο. Βέβαια και το μέρος της αρχικής φλέβας που θα βγει νικήτρια! φτάνοντας στην δεξιά πλευρά του δοχείου θα ανακλαστεί και επιστρέφοντας κάθε σωματίδιο θα συγκρουστεί με άλλα σωματίδια…. Καμιά ροή «οργανωμένη» η οποία θα μπορούσε να συνδεθεί με πιέσεις ή με διαφορά πίεσης, δεν πρόκειται να υπάρξει… Κάποια σωματίδια ρευστού ίσως από τα σκούρα στο σχήμα, ίσως από τα ανοιχτόχρωμα, θα φτάσουν και στην επιφάνεια, με τι ταχύτητα; Ποιος ξέρει μετά από τόσες αλληλεπιδράσεις, τυχαίες αλληλεπιδράσεις. Ποιος μπορεί να προβλέψει;
Αλλά και αν κάποιος μπορούσε να υπολογίσει μέσα σε αυτό το χάος, κάποια ταχύτητα (προσωπικά, προφανώς δεν μπορώ να το κάνω…) τι σχέση θα έχει αυτή η ταχύτητα με την ταχύτητα της επιφάνειας και την παροχή; Καμία.
Φανταστείτε τώρα εσείς συνάδελφοι, πόσο μεγαλύτερο είναι το χάος αν το λάστιχο μπει υπό γωνία και το νερό βγει έχοντας πλάγια ταχύτητα προς τα κάτω, όπως στην παρούσα ανάρτηση… Αρκετά «φαντασιώθηκα» εγώ…
Καλησπέρα Διονύση.
Δεν είναι τόσο τρομερό το χάος πριν ανακλαστεί στο τοίχωμα. Εν πάση περιπτώσει και αν ήταν δεν επηρεάζονται σημαντικά οι υπολογισμοί που κάνουμε, οι σχετικοί με την άνοδο της στάθμης του δοχείου, την πίεση εντός της φλέβας, την ταχύτητα και την παροχή της φλέβας.
Οι υπολογισμοί μας θα επιβεβαιωθούν πειραματικά με εντυπωσιακή προσέγγιση.
Γιάννη δεν μίλησα για χάος πριν την ανάκλαση
Μίλησα για το τι θα γίνει μετά….
Αν εννοείς στην 3η περίπτωση, μπορεί να μην είναι μεγάλο το χάος πριν την ανάκλαση, αλλά δεν κινείται η φλέβα όπως και στο 1ο ή 2ο σχήμα!!! Πρέπει να σπρώξει ποσότητες υγρού το οποίο πρέπει να βρει διέξοδο προς τα πάνω ή προς τα κάτω, για να …κάνει χώρο!
Θα σπρώξει ναι, θα μεταβιβάσει μέρος της ενέργειάς της ναι. Όμως μην φανταζόμαστε εντυπωσιακή διασπορά.
Ξανά η εικόνα:
Μια όμορφη φλέβα χρωματιστού νερού!
Και ας πούμε ότι η εικόνα ήταν αυτή:
ή ακόμα αυτή:
Ένα χάος όντως.
Πόσο θα επηρεασθούν οι υπολογισμοί μας, οι σχετικοί με την παροχή;
Αυτοί που θα επηρεασθούν, θα είναι υπολογισμοί πιέσεων στην περιοχή της τυρβώδους ροής.
Η πίεση θα έχει μεταβολή περί μια μέση τιμή.
Οι "καλλιτεχνικές" φωτογραφίες δεν ξέρω σε ποιες συνθήκες ελήφθησαν
Η τελευταία μου πάει καλύτερα, αλλά:
"Πόσο θα επηρεασθούν οι υπολογισμοί μας, οι σχετικοί με την παροχή;"
Μα ακριβώς αυτό υποστηρίζω με τις δύο τελευταίες αναρτήσεις…
Η παροχή δεν καθορίζεται από το τι συμβαίνει μετά την έξοδο από το σωλήνα. Ας γίνεται ό,τι νάναι. Ο νόμος του Bernoulli εφαρμόζεται μέχρι την έξοδο από το σωλήνα, βρίσκουμε από εκεί ταχύτητα και επομένως παροχή…
Τι να σου πω που έχω χάσει το βίντεο που γυρίσαμε στο σχολείο.
Μια όμορφη φλέβα χρωματιστού νερού μέσα στο σύνηθες νερό.
Πόσο να διέφεραν υψομετρικά τα δύο δοχεία;
Μερικούς πόντους.
Είχε άλλο στόχο το βίντεο τότε. Ήταν για συζήτηση.
Έπειτα να ξεκαθαρίσουμε τι σημαίνει αυτό το:
-Η σχέση Bernoulli δεν ισχύει σε τυρβώδη ροή.
Δεν σημαίνει φυσικά ότι οι παροχές που υπολογίζονται μέσω αυτής δεν είναι σωστές.
Για έναν πολύ απλό λόγο:
Την ταχύτητα εκροής την υπολογίζουμε και με διατήρηση ενέργειας.
Η "μεγάλη κυρία" δεν ασχολείται με ρευματικές γραμμές, στροβίλους, πιέσεις, φλέβες κ.λ.π. Υπολογίζει την ταχύτητα εκροής, άσχετα αν έπειτα γίνει ο κακός χαμός στο δοχείο.
Αν τώρα η σχέση Bernoulli μου δώσει την ίδια ταχύτητα εκροής, ευκολότερα, γιατί να μην την χρησιμοποιήσω;