by 
Από μια υπερυψωμένη δεξαμενή νερού, πρόκειται να γεμίσουμε δύο όμοια δοχεία (1) και (2), κυλινδρικού σχήματος και ύψους 2y. Για το γέμισμα χρησιμοποιούμε δυο όμοια λάστιχα-σωλήνες διατομής Α1, τα οποία συνδέονται κοντά στον πυθμένα της δεξαμενής σε βάθος 4y, από την επιφάνειά της. Κατά τη διάρκεια του γεμίσματος του πρώτου δοχείου, προσέχουμε κάθε στιγμή το άκρο του σωλήνα-λάστιχου να έρχεται σε επαφή με την επιφάνεια του νερού, ενώ στο δεύτερο δοχείο ο σωλήνας καταλήγειστον πυθμένα του δοχείου. Για τις θέσεις του σχήματος, όπου το ύψος του νερού στα δοχεία είναι y:
i) Αν η ταχύτητα εκροής στο (1) δοχείο είναι υ1 και η αντίστοιχη ταχύτητα στο (2) δοχείο υ2, ισχύει:
α) υ1 < υ2, β) υ1 = υ2, γ) υ1 > υ2.
ii) Αν το εμβαδόν της βάσης των δοχείων είναι Α, τότε για τις δύο παροχές ισχύει:
α) Π1=Α1∙υ1 και Π2=Α∙υ2.
β) Π1=Α1∙υ1 και Π2=Α1∙υ2.
γ) Π1=Α∙υ1 και Π2=Α∙υ2.
Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό, καθώς και οι ροές μόνιμες και στρωτές και στις δύο περιπτώσεις.
ή
Γιάννη βάλαμε πολλά νούμερα και πολλά διαφορετικά δοχεία.
Αν συμφωνούμε στον ορισμό των ρευματικών γραμμών δεν μπορώ να δεχτώ ότι στο δεύτερο δοχείο δεν υπάρχουν γραμμές ροής. Και αν υπάρχουν, σε αυτές η Bernoulli πρέπει να προβλέπει σωστά. Άρα η πολύ μεγάλη ταχύτητα στην επιφάνεια του 2ου δοχείου σημαίνει απλά ότι ρευματική γραμμή από τον σωλήνα σε αυτήν δεν υπάρχει (μιλάω για ροϊκή γραμμή όχι για τροχιά). Και σε μένα δεν είναι ξεκάθαρο το γιατί.
Δεν διαφωνώ με την ανάρτηση, όπως και τις υπόλοιπες. Τον μηχανισμό προσπαθώ να καταλάβω.
Αποδεχόμαστε ότι ρευματική γραμμή είναι γραμμή σε όλα τα σημεία της οποίας η ταχύτητα των στοιχείων ρευστού είναι εφαπτόμενη.
Επομένως αν δεν υπάρχουν στοιχεία ρευστού κινούμενα μα τέτοιες ταχύτητες δεν υφίσταται τέτοια γραμμή ροής.
Στην παρούσα ανάρτηση γραμμή ροής από το Ζ στο Η σημαίνει ότι επ' αυτής υπάρχουν στοιχεία ρευστού κινούμενα προς τα πάνω, με ταχύτητες εφαπτόμενες στην γραμμή. Υπάρχουν΄όμως;
Καλημέρα Γιάννη, καλημέρα Στάθη,
Διαβάζω χθεσινοβραδινή ανταλλαγή ερωτημάτων και θέσεων, χωρίς να μου είναι ξεκάθαρο το ποιος είναι ο στόχος.
Γιάννη, η προσπάθεια είναι να οδηγηθούμε σε ένα απλό μοντέλο που θα το χρησιμοποιήσουμε στην ερμηνεία κάποιας κατάστασης, χωρίς το φόβο να είμαστε μακριά από την πραγματικότητα. Έτσι δεν με βρίσκει σύμφωνο η λογική να διευρύνουμε το χώρο μελέτης μας, βάζοντας και φανταστικά υποβρύχια ή ο,τιδήποτε άλλο, όπου θα προκύπτει μια εξίσωση που “θα θυμίζει” νόμο Bernoulli.
Δεν επιθυμώ καμιά διεύρυνση, ούτε τίποτα που να μοιάζει…
Στάθη, στην άσκηση, οδηγήθηκα σε μια πρόταση εργαστηριακής επιβεβαίωσης της μιας ή της άλλης πρότασης. Το πρόβλημα είναι εύκολα ελέγξιμο. Το αν υπάρχει μια ρευματική γραμμή το αν αυτή είναι σταθερή με το χρόνο, πόσο μόνιμη ή όχι είναι η ροή, το πόσο θα αλλάξει η πραγματικότητα από το αν η ροή είναι στρωτή ή τυρβώδης είναι για μένα δευτερεύοντα θέματα, όταν μιλάμε για το παραπάνω θέμα. Αν προσέξεις τα σχόλια μίλησα για χρονικά διαστήματα 0,25s ή 0,5s, ή1s σε αντιδιαστολή με τα 200s ή 250s.
Έδωσα δηλαδή περιοχές, αφού οι παραπάνω παράγοντες μπορούν να μεταβάλλουν το χρόνο πλήρωσης των δοχείων. Το πρόβλημα που είναι για μένα κυρίαρχο, είναι αν αυτοί οι χρόνοι είναι της τάξης του 1s ή των 200s. Ανάλογα με την απάντηση θα είμαστε υποχρεωμένοι να υποστηρίξουμε αν ο νόμος Bernoulli πρέπει ή όχι να εφαρμόζεται…
Νομίζω ότι κινείσαι στην αντίθετη πορεία, προσπαθώντας μέσα από θεωρητικά-μαθηματικά μοντέλα, να φτιάξεις “εικόνα” για το τι συμβαίνει….
Αλλά έγραψα παραπάνω σε σχόλιο, αναφερόμενος στο αριστερό δοχείο, όπου ο σωλήνας φτάνει στην επιφάνεια του νερού στο δοχείο:
“Αναρωτιέμαι γιατί δεν μας έχει απασχολήσει τι γίνεται στο αριστερό δοχείο, που το νερό χύνεται στο (1) δοχείο, με ταχύτητα υ1.
– Το νερό που φτάνει στο δοχείο έχει κινητική ενέργεια;
– Τι γίνεται αυτή η κινητική ενέργεια;
-Το νερό που φτάνει στο δοχείο, θα «τοποθετηθεί» στην επιφάνεια του νερού ή θα διασκορπιστεί μέσα στο υπόλοιπο νερό;
– Η ταχύτητα υ1 έχει κάποια σχέση με την ταχύτητα ανόδου της επιφάνειας του νερού στο δοχείο, αυτήν την ταχύτητα που παραπάνω υπολόγισα ίση με 1,6mm/s; Γιατί δεν έχει;
Αν τα παραπάνω ερωτήματα μπορούν να απαντηθούν, τότε μπορούμε να πάμε στο δεξιό δοχείο…”
Έχουμε σαφείς απαντήσεις και εικόνα για το τι συμβαίνει στο δοχείο αυτό; Θέλουμε να μελετήσουμε το πώς θα συμβεί η ανάμειξη του νερού; Συνεχίζουμε να γράφουμε εξισώσεις χρησιμοποιώντας ρευματικές γραμμές, φλέβες νόμους Bernoulli για την παραπέρα μελέτη της κίνησης του νερού που “ρίχνεται” στο δοχείο;
Καλημέρα Διονύση.
Γράφεις:
Γιάννη, η προσπάθεια είναι να οδηγηθούμε σε ένα απλό μοντέλο που θα το χρησιμοποιήσουμε στην ερμηνεία κάποιας κατάστασης, χωρίς το φόβο να είμαστε μακριά από την πραγματικότητα. Έτσι δεν με βρίσκει σύμφωνο η λογική να διευρύνουμε το χώρο μελέτης μας, βάζοντας και φανταστικά υποβρύχια ή ο,τιδήποτε άλλο, όπου θα προκύπτει μια εξίσωση που «θα θυμίζει» νόμο Bernoulli.
Μα εκεί εδράζεται το πρόβλημα. Η απόδειξη της σχέσης Bernoulli έγινε "σχολικά" για την περίπτωση φλέβας. Πράγματα απλά.
Όμως υπάρχει και άλλη απόδειξη με παιγνίδι μαθηματικό με ανάδελτα και γραμμές ροής. Εκεί τι σημαίνει η τιμή ενός επικαμπύλιου ολοκληρώματος αν όχι ένα προσφερθέν έργο σε στοιχείο ρευστού (μαζούλα);;
Μια τέτοια απόδειξη δεν μιλάει για ένα τμήμα φλέβας και την ενέργεια αυτού του τμήματος που διατηρείται.
Το ολοκλήρωμα είναι έργο επί μαζούλας.
Όταν λοιπόν η ίδια σχέση παρουσιάζεται από σένα ως άρρηκτα συνδεδεμένη με φλέβα και από άλλους φίλους ως ένα επικαμπύλιο, είναι λογικό να υπάρχει διχογνωμία για τα όρια εφαρμογής.
Θα σου πει λ.χ. ο Στάθης ότι δεν χρειάζομαι φλέβα για να χρησιμοποιήσω την σχέση.
Και δεν θα έχει άδικο. Απλά θα υπολογίζεται έτσι η ταχύτητα ενός μικροσκοπικού υποβρυχίου και όχι μιας επιφάνειας νερού.
Η διεύρυνση επομένως που δεν επιθυμείς είναι αναγκαία ώστε να κατανοήσουμε την διαφορά και την παρανόηση.
Άλλως θα μιλάμε ατέρμονα διότι πολλοί φίλοι θα πουν ότι έχουν δικαίωμα να εφαρμόσουν τον νόμο μεταξύ Ε και Η. Θα το τεκμηριώσουν με ρευματικές γραμμές. Θα ανταπαντάς ότι δεν υπάρχει φλέβα. Θα σου ξαναπούν ότι δεν παίζει ρόλο, και η συζήτηση θα κολλήσει εκεί.
Αυτός είναι ο βοηθητικός ρόλος του υποβρυχίου.
Η διαφορά των δύο αποδείξεων δεν είναι μόνο θέμα μαθηματικού στυλ. Γίνεται και ουσιαστική διαφορά.
Καλημέρα Γιάννη…
Καλημέρα Διονύση και Γιάννη.
Μπορεί να έχεις δίκιο ότι κινούμαι ανάποδα, αλλά μόνον έτσι μπορώ να καταλάβω. Έχεις ένα σύστημα όπου σε κάποια τμήματα του ισχύει μία εξίσωση και σε κάποια άλλα όχι. Το να καταλάβω το γιατί είναι σημαντικό. Το να την χρησιμοποιώ με τον ένα ή τον άλλο τρόπο και να επικαλεστώ το πείραμα για να επιβεβαιώσει την όποια απάντηση, είναι επίσης σημαντικό, αλλά μόνο η μισή εικόνα. Λείπει η κατανόηση.
Καλημέρα και πάλι Στάθη.
Το καταλαβαίνω αυτό που γράφεις, αλλά θα ήθελα να επαναφέρω τα ερωτήματα που έβαλα παραπάνω:
"«Αναρωτιέμαι γιατί δεν μας έχει απασχολήσει τι γίνεται στο αριστερό δοχείο, που το νερό χύνεται στο (1) δοχείο, με ταχύτητα υ1.
– Το νερό που φτάνει στο δοχείο έχει κινητική ενέργεια;
– Τι γίνεται αυτή η κινητική ενέργεια;
-Το νερό που φτάνει στο δοχείο, θα «τοποθετηθεί» στην επιφάνεια του νερού ή θα διασκορπιστεί μέσα στο υπόλοιπο νερό;
– Η ταχύτητα υ1 έχει κάποια σχέση με την ταχύτητα ανόδου της επιφάνειας του νερού στο δοχείο, αυτήν την ταχύτητα που παραπάνω υπολόγισα ίση με 1,6mm/s; Γιατί δεν έχει;
Αν τα παραπάνω ερωτήματα μπορούν να απαντηθούν, τότε μπορούμε να πάμε στο δεξιό δοχείο…»
Καλημέρα Στάθη.
Όταν προσπαθώ να κατανοήσω κάτι, με βοηθάει η απόδειξή του.
Κάνοντας την απόδειξη της σχέσης Bernoulli "σχολικά" καταλαβαίνω ποιοι περιορισμοί υπάρχουν και ποιο είναι το πεδίο εφαρμογής της.
Κάνοντας την απόδειξη μαθηματικότερα (αλλά σε κάθε βήμα να σκέπτομαι ποιο είναι το φυσικό περιεχόμενο της κάθε σχέσης) μπορούμε να κατανοήσουμε πάλι το πεδίο εφαρμογής και το περιεχόμενο της μαθηματικής σχέσης που αποδείξαμε.
Ας πούμε ότι έχουμε ροή Poiseuille. Σε ένα σημείο υπολογίζουμε μία ταχύτητα, η οποία όμως δεν καθορίζει την ροή. Ο υπολογισμός της ροής απαιτεί να συμπεριλάβουμε και τις ταχύτητες των γειτονικών στρωμάτων.
Όταν ένα λάστιχο σημαδεύει ψηλά και γίνεται πίδακας μέσα στο νερό, μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα του πίδακα.
Όμως δεν καθορίζει την ροή αυτή η ταχύτητα.
Η εφαρμογή του νόμου Bernoulli μεταξύ δύο σημείων Α και Β μπορεί να είναι απλά μια ενεργειακή σχέση που συνδέει την ενέργεια ενός ρευστού στο Α με αυτήν στο Β. Σα να συζητάμε δηλαδή πόση ενέργεια θα έχω αν πάω στον Βόρειο πόλο, κάτι που δεν θα κάνω.
Μπορεί όμως η σχέση Bernoulli να συνδέει τις ταχύτητες ροής και να υπολογίζει παροχές. Έτσι αποδείχθηκε στο σχολικό βιβλίο.
Η ανάμιξη των δύο διαφορετικών οπτικών γωνιών, προκαλεί κάποια λάθη. Ευτυχώς έχουν εντοπισθεί μερικά από αυτά.
Καλημέρα Διονύση και συγγνώμη αν σου χάλασα την ανάρτηση . Αν έχεις την καλοσύνη βάλε νέα ανάρτηση -συζήτηση . Ξεχωριστά την κάθε περίπτωση όπου ας τοποθετηθεί ο καθένας μία φορά με όλα τα επιχειρήματα , ώστε να προκύψει κάποιο τελικό συμπέρασμα .Το λέω επειδή χάθηκα στην ποσότητα στην οποία συνέβαλα και ο ίδιος.
Διονύση έχω δει επανελημένα τα ερωτήματα και προφανώς δεν έχω σίγουρες απαντήσεις. Εικάζω ότι η ταχύτητα εκροής δεν έχει σχέση με την ταχύτητα ανόδου της επιφάνειας. Μία μάζα νερού μόλις εξέρχεται συγκρούεται με το νερό του δοχείου, οπότε αν χρησιμοποιήσουμε Bernoulli από το σημείο εισόδου και μετά χρειάζεται να εντοπίσουμε την τροχιά της και να συμπεριλάβούμε όρους περιστροφής κινητική ενέργειας, δηλαδή τον στρόβιλισμό του πεδίου ταχύτητας. Επιπλέον θεωρώ ότι η τροχιά της θα είναι και χρονικά εξαρτημένη και χαοτική. Συνεπώς όλα αυτά καθιστούν τον υπολογισμό αδύνατο και άσκοπο.Σε πολύ μικρό χρόνο η ταχύτητα της μάζας θα μηδενιστεί εκτός από μία πολύ μικρή συνιστώσα προς τα πάνω. Αν δε ολοκλήρωσω σε όλον τον όγκο του δοχείου θα έβρισκα την ταχύτητα ανόδου της επιφάνειας. Αυτή θα ήταν η αναλυτική μικροσκοπική λύση.
Συνεπώς απομένει να αγνοήσω όλα τα παραπάνω, να εφαρμόσω την εξίσωση της συνέχειας, θεωρώντας ότι όλη η επιφάνεια ανέρχεται με την ίδια ταχύτητα και να εξισώσω τις παροχές στον σωλήνα και στο δοχείο, Α1 υ1 = Α u, οπότε θα βρω την μέση ταχύτητα ανόδου u = 1.6 mm/s.
Στο δεξιό δοχείο η παραπάνω διαδικασία είναι πιο κοντά στην πραγματικότητα γιατί η εκροή γίνεται στην βάση του δοχείου, οπότε η επιφάνεια θα έχει σε πολύ καλύτερη προσέγγιση παντού την ίδια ταχύτητα u.
Διευκρίνηση: Η ταχύτητα άνόδου δεν έχει σχέση με την ταχύτητα εκροής ως προς το μέτρο της, όχι ότι δεν εξαρτάται από αυτήν.
Στάθη επέμεινα στο τι γίνεται στο αριστερό δοχείο, επειδή συμφωνώ ότι:
"Μία μάζα νερού μόλις εξέρχεται συγκρούεται με το νερό του δοχείου, οπότε αν χρησιμοποιήσουμε Bernoulli από το σημείο εισόδου και μετά χρειάζεται να εντοπίσουμε την τροχιά της και να συμπεριλάβούμε όρους περιστροφής κινητική ενέργειας, δηλαδή τον στρόβιλισμό του πεδίου ταχύτητας. Επιπλέον θεωρώ ότι η τροχιά της θα είναι και χρονικά εξαρτημένη και χαοτική. Συνεπώς όλα αυτά καθιστούν τον υπολογισμό αδύνατο και άσκοπο.Σε πολύ μικρό χρόνο η ταχύτητα της μάζας θα μηδενιστεί εκτός από μία πολύ μικρή συνιστώσα προς τα πάνω. Αν δε ολοκλήρωσω σε όλον τον όγκο του δοχείου θα έβρισκα την ταχύτητα ανόδου της επιφάνειας. Αυτή θα ήταν η αναλυτική μικροσκοπική λύση. "
Ίδια κατάσταση (λίγο πιο εύκολη ή δύσκολη αδιάφορο), επικρατεί και στο δεξιό δοχείο…
Υποστηρίζω δηλαδή ότι η "οργανωμένη ροή"!!! για την οποία εφαρμόζουμε το νόμο Bernoulli φτάνει μέχρι την έξοδο του σωλήνα και από εκεί και πέρα…το χάος
Διονύση καλό μεσημέρι.
Μετά όσων ειπώθηκαν παραπάνω, ερχόμαστε στην ουσία του προβληματισμού μου. Η μη οργανωμένη ροή και η εμφάνιση στροβιλισμών στο πραγματικό νερό οφείλεται κατά κύριο λόγο στο ιξώδες του. Δηλαδή κατά την είσοδο μίας ποσότητας νερού στο δοχείο, οι δυνάμεις εσωτερικής τριβής με το νερό στο δοχείο προκαλούν ροπές, οπότε αναπτύσσονται στροβιλισμοί. Απουσία του ιξώδους ο μηχανισμός αυτός δεν υφίσταται. Υπάρχει επίσης ένα θεώρημα, το θεώρημα της κυκλοφορίας του Kelvin, που μας λέει ότι όταν σε μία ροή ο στροβιλισμός ισούται με το μηδέν (όπως στο λάστιχο), θα παραμείνει μηδέν όσο δεν αλλάζουν οι συνθήκες της ροής. Ποιες όμως νέες συνθήκες δημιουργούν στροβιλισμούς στο δοχείο και καθιστούν την Bernoulli άκυρη σε δύο τυχαία σημεία της ροής; Οι αλληλεπιδράσεις στο ιδανικό ρευστό είναι απόλυτα ελαστικές και όλες οι δυνάμεις είναι αυστηρά κάθετες στην επιφάνεια της ποσότητας που εισέρχεται. Συνεπώς το πεδίο της ταχύτητας συνεχίζει να είναι αστρόβιλο και τώρα οι ρευματικές γραμμές θα πρέπει να είναι κατά μήκος της επιφάνειας του νερού στο δοχείο (θα μπορούσαμε να στρίψουμε λίγο το λάστιχο ως προς την κατακόρυφο διεύθυνση). Σε αυτήν την περίπτωση η άνοδος της επιφάνειας θα έχει μεγαλύτερη ταχύτητα από 16 mm/s;
Αν έχω δύο δοχεία τα οποία επικοινωνούν στην βάση τους, χωρίς εξωτερικές παροχές και υποθέσω ιδανικά ρευστά, δεν έχω τον ίδιο μηχανισμό στην βάση του δοχείου που δέχεται το ρευστό; Δηλαδή την ύπαρξη μίας οριζόντιας φλέβας η οποία γεμίζει το δοχείο κατά οριζόντια επίπεδα, αυτή την φορά από κάτω προς τα πάνω (η φλέβα που συνεχώς δείχνει ο Γιάννης σε φωτογραφίες);
Στο σημείο αυτό μπερδεύομαι. Είναι ασφαλές το να πούμε ότι η μεγάλη διαφορά των ταχυτήτων ανόδου από το πείραμα και της θεωρητικής πρόβλεψης της εξίσωσης Bernoulli οφείλεται στο ότι το πραγματικό νερό έχει ιξώδες, οπότε εμφανίζεται διάχυση; Η δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε την εξίσωση καθόλου μετά την εισροή, άσχετα από το αν το νερό είναι ιδανικό ή όχι; Και αν η απάντηση είναι το δεύτερο, τι ακυρώνει την εξίσωση; Αν βέβαια η απάντηση είναι η πρώτη, όλα καλά.
Στάθη διαβάζω:
Είναι ασφαλές το να πούμε ότι η μεγάλη διαφορά των ταχυτήτων ανόδου από το πείραμα και της θεωρητικής πρόβλεψης της εξίσωσης Bernoulli οφείλεται στο ότι το πραγματικό νερό έχει ιξώδες….
Μα η διαφορά της θεωρητικής πρόβλεψης από την πειραματικώς μετρηθείσα είναι ασήμαντη. Της τάξης 2ου δεκαδικού ψηφίου αν ο σωλήνας σύνδεσης έχει διατομή 4 τ.εκ. και μήκος 1 μέτρο.
Η σωστή θεωρητική πρόβλεψη της ταχύτητας της επιφάνειας γίνεται αν υπολογίσουμε την ταχύτητα εκροής νερού από σωλήνα και έπειτα την ταχύτητα της επιφάνειας από την παροχή.
Ο νόμος Bernoulli δίνει μια ταχύτητα που δεν είναι αυτή της επιφάνειας.
Το νερό (υπό αυτές τις προϋποθέσεις) συμπεριφέρεται ως ιδανικό υγρό.
Αν το μοντέλο του ιδανικού υγρού έδινε προβλέψεις που διέφεραν τάξεις μεγέθους από την πραγματικότητα, θα το είχαμε εγκαταλείψει.
Δεν το εγκαταλείψαμε γιατί προβλέπει καλά όσα ισχύουν στο νερό.