by 
Από μια υπερυψωμένη δεξαμενή νερού, πρόκειται να γεμίσουμε δύο όμοια δοχεία (1) και (2), κυλινδρικού σχήματος και ύψους 2y. Για το γέμισμα χρησιμοποιούμε δυο όμοια λάστιχα-σωλήνες διατομής Α1, τα οποία συνδέονται κοντά στον πυθμένα της δεξαμενής σε βάθος 4y, από την επιφάνειά της. Κατά τη διάρκεια του γεμίσματος του πρώτου δοχείου, προσέχουμε κάθε στιγμή το άκρο του σωλήνα-λάστιχου να έρχεται σε επαφή με την επιφάνεια του νερού, ενώ στο δεύτερο δοχείο ο σωλήνας καταλήγειστον πυθμένα του δοχείου. Για τις θέσεις του σχήματος, όπου το ύψος του νερού στα δοχεία είναι y:
i) Αν η ταχύτητα εκροής στο (1) δοχείο είναι υ1 και η αντίστοιχη ταχύτητα στο (2) δοχείο υ2, ισχύει:
α) υ1 < υ2, β) υ1 = υ2, γ) υ1 > υ2.
ii) Αν το εμβαδόν της βάσης των δοχείων είναι Α, τότε για τις δύο παροχές ισχύει:
α) Π1=Α1∙υ1 και Π2=Α∙υ2.
β) Π1=Α1∙υ1 και Π2=Α1∙υ2.
γ) Π1=Α∙υ1 και Π2=Α∙υ2.
Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό, καθώς και οι ροές μόνιμες και στρωτές και στις δύο περιπτώσεις.
ή
Αν το νερό ήταν ιδανικό υγρό, τότε διατηρείται η ενέργειά του, διότι δύναμη από το νερό δεν δέχεται. Η άνωση είναι ίση με το βάρος του.
Εφαρμογή του νόμου Bernoulli θα μας έδινε ως ταχύτητα στο Η, αυτήν με την οποία εισήλθε στο δοχείο.
Μια απόδειξη θα ήταν:
Βγάλαμε μια σχέση ολόιδια με την σχέση Bernoulli.
Προέκυψε μεταξύ δύο σημείων μη συνδεομένων με φλέβα.
Δεν έχει κάποιο άλλο νόημα παρά ως λύση του συγκεκριμένου προβλήματος.
Δεν υπολογίζει ταχύτητα στάθμης.
Καλησπέρα σε όλους.
Παρακολουθώ τις συζητήσεις περί δοχείων τις τελευταίες μέρες και ανήκω σε αυτούς που έχουν μπερδευτεί από τα λεγόμενα. Αρχικά να τονίσω ότι δεν διαφωνώ με τα "νούμερα" που υπολογίζονται.
Θα ήθελα όμως να ξεκαθαρίσουν κάποιες έννοιες, ορίζοντάς τες με αυστηρά μαθηματικό τρόπο (όχι απαραίτητα με μαθηματικές σχέσεις, αλλά με αυστηρή μαθηματική λογική). Συγκεκριμένα:
Πώς ορίζεται η ρευματική γραμμή και πώς η τροχιά ενός στοιχείου νερού σε μία ροή; Είναι το ίδιο πράγμα ή διαφέρουν;
Πώς ορίζεται η μόνιμη ροή και πώς η μη μόνιμη;
Τί εννοούμε όταν μιλάμε για στρωτή ροή και τι εννοούμε όταν λέμε στροβιλώδης ροή; Μία στρωτή ροή μπορεί να είναι και στροβιλώδης;
Όλα τα παραπάνω αναφέρονται συνεχώς στις συζητήσεις και νομίζω ότι καλό θα ήταν να ορισθούν επακριβώς. Θα μπορούσαν αυτές οι ερωτήσεις να αποτελέσουν ίσως μία ξεχωριστή συζήτηση. Θα πρότεινα τέλος να ξεκινήσουμε από την πρώτη ερώτηση και αφού ξεκαθαριστεί το θέμα αυτό να προχωρήσουμε στις υπόλοιπες.
Καλησπέρα Σταθη.
Από Halliday-Resnick:
Ας θεωρήσουμε ένα σημείο Ρ μέσα σε ένα ρευστό.Αφού η v στο Ρ δεν μεταβάλλεται με τον χρόνο, κάθε σωμάτιο που φτάνει στο Ρ , θα διέρχεται με την ίδια ταχύτητα στην ίδια διεύθυνση. Το ίδιο συμβαίνει και για τα σημεία Q και R. Άρα αν σχεδιάσουμε την τροχιά του σωματίου, όπως γίνεται στο σχήμα, η καμπύλη αυτή θα είναι η τροχιά κάθε σωματίου που φτάνει στο Ρ. Αυτή η καμπύλη λέγεται ρευματική γραμμή.
Έχουν δηλώσει πριν ότι "Θα περιορίσουμε την συζήτησή μας πάνω στη δυναμική των ρευστών κυρίως στη στρωτή, αστρόβιλη, ασυμπίεστη, χωρίς εσωτερικές τριβές ροή."
Συνεπώς Γιάννη η ρευματική γραμμή κατά τον παραπάνω ορισμό έχει σταθερό ως προς τον χρόνο σχήμα και μπορεί να ορισθεί ακόμη και όταν μία μαζούλα δεν έχει πάει από το ένα σημείο στο άλλο. Είναι απλά η καμπύλη σε κάθε σημείο της οποίας η ταχύτητα της ροής, στο σημείο αυτό, είναι εφαπτόμενη.
Θα μπορούσαμε βεβαίως να αναλογιστούμε και καταστάσεις όπου η ταχύτητα μεταβάλλεται και χρονικά σε κάθε σημείο. Τότε οι ρευματικές γραμμές αλλάζουν με τον χρόνο. Σε κάθε χρονική στιγμή αποτελούν όλες μαζί ένα στιγμιότυπο της ροής, το οποίο μπορεί να αλλάξει σε επόμενη χρονική στιγμή.
Να παρατηρήσω ότι οι συγγραφείς (μάλλον) ταυτίζουν την στρωτή ροή με την μόνιμη.
Θα μπορούσαμε να πούμε ότι "ρευματική γραμμή είναι κάθε γραμμή στην οποία τα διανύσματα ταχυτήτων είναι εφαπτόμενα".
Είναι εύκολα αντιληπτό το ότι με μια μη μόνιμη ροή, ένα σωμάτιο του ρευστού δεν θα διαγράψει την ρευματική γραμμή στην οποία πάνω βρίσκεται την αρχική χρονική στιγμή. Τούτο διότι η μορφή κάθε ρευματικής γραμμής αλλάζει με τον χρόνο. Έτσι όταν φτάνει σε ένα σημείο Ρ η ρευματική γραμμή που διέρχεται από το Ρ είναι διαφορετική απ' ότι ήταν όταν το σωμάτιο ξεκίνησε.
Στάθη γράφαμε μαζί. Όπως βλέπεις συμφωνώ, πριν διαβάσω το σχόλιό σου.
Γράφαμε μαζί. Συμφωνώ. Άρα η ρευματική γραμμή ταυτίζεται με την τροχιά μόνο στην μόνιμη ροή.
Τι γίνεται στην περίπτωση όπου το σωματίδιο ξεκινά από το σημείο Α αλλά δεν φτάνει ποτέ στο σημείο Β. Υπάρχει γραμμή ροής από το Α στο Β;
Μια στιγμή. Καταλαβαίνω ότι έχει το ίδιο σχήμα αν η ροή είναι μόνιμη.
Γιατί να έχει το ίδιο σχήμα σε μια μη μόνιμη ροή;
Δεν καταλαβαίνω το γιατί.
Δεν διαφωνούμε σε αυτό. Στην μη μόνιμη ροή οι ρευματικές γραμμές αλλάζουν. Οπότε τότε η τροχιά και η γραμμή ροής δεν είναι το ίδιο πράγμα.
Σε μόνιμη ροή θα φτάσει από το α στο Β.
Σε μη μόνιμη μπορεί να μην φτάσει, διότι οι γραμμές άλλαξαν. Όμως η γραμμή υφίστατο ως ρευματική την στιγμή που ξεκίνησε.
Όμως λόγω αλλαγής, δεν κατέστη τροχιά.
Έτσι μάλλον συμφωνούμε στο ότι μια μαζούλα μπορεί να μην διαγράψει μια ρευματική γραμμή, αν η ροή δεν είναι μόνιμη.
Αν διαφωνούμε και δεν κατάλαβα, μου το λες.
Σύμφωνοι. Σε ένα δοχείο με μία οπή στην βάση και μόνιμη ροή, υφίσταται ρευματική γραμμή από την ελεύθερη επιφάνεια στην οπή γιατί κάποια στιγμή το σημείο της επιφάνειας θα φτάσει στην οπή. Αλλά η ταχύτητα που υπολογίζουμε στην οπή δεν είναι η ταχύτητα με την οποία το σημείο της επιφάνειας θα φτάσει στην οπή. Συμφωνούμε και σε αυτό;
Απολύτως. Μπορεί μάλιστα να μην φτάσει καθόλου.
Γιατί να μην φτάσει δεν θα αδειάσει όλο το δοχείο;