by 
Έχουμε ένα στερεό σώμα και είναι Ιcm η ροπή αδράνειάς του ως προς άξονα διερχόμενο από το κέντρο μάζας του. Θα δείξουμε ότι η ροπή αδράνειάς του ως προς άξονα παράλληλο του προηγουμένου, ο οποίος απέχει d από αυτόν είναι Ι = Ιcm + m.d2 , όπου m η μάζα του σώματος.
Γράφαμε μαζί, αλλά τώρα με κάλυψες:
"Κυρίως διότι το θεώρημα από την Γεωμετρία απορρέει και όχι από την δυναμική."
Προφανώς πρέπει να προταχθεί (σ ένα βιβλίο) η απόδειξη του θεωρήματος Steiner του ορισμού της Στροφορμής.
Κυρίως για λόγους διδακτικούς και δευτερευόντως για λόγους "καθαρότητος" και "φύσης του θεωρήματος".
Όμως παραμένει απόδειξη μη κυκλική.
Το Πυθαγόρειο μπορεί να αποδειχθεί είτε με εμβαδά, είτε με όμοια τρίγωνα, χωρίς κάποια απόδειξη να είναι κυκλική.
Αν όμως αποδειχθεί με χρήση του θεωρήματος του συνημιτόνου, τότε έχουμε κυκλική απόδειξη.
Φαντάσου Διονύση να γράφει ένας βιβλίο και να θέλει να αποδείξει ότι η κινητική ενέργεια ενός στερεού είναι το άθροισμα……
Αυτός αντί να επιλέξει την πρώτη απόδειξη να επιλέξει την τρίτη απόδειξη.
Ούτε λάθος υπάρχει, ούτε κυκλικότητα. Όμως κάτι τέτοιο θα ήταν μειονέκτημα για το βιβλίο. Κυρίως διδακτικό.
Για τον λόγο αυτόν έγραψα τις αποδείξεις με την σειρά αυτήν. Ακόμα και η δεύτερη δεν θα μπορούσε να γραφεί πρώτη.
Όμως όταν σκέφτομαι κάτι η 3η απόδειξη κυριαρχεί στο μυαλό μου, αν θέλω να μην την πατήσω σε περίεργο τρισδιάστατο θέμα.
πολύ έξυπνη εξαγωγή του τύπου του θεωρήματος steiner
βέβαια θα μπορούσε κανείς να πεί ότι η Ι σχετίζεται με την κατανομή μάζας γύρω από άξονα και όχι
με το αν το σώμα έχει στροφορμή ή όχι
Ευχαριστώ.
Ναι η ροπή αδράνειας σχετίζεται με την κατανομή μάζας. Για αυτό η ενδεδειγμένη απόδειξη είναι η Αλεξοπουλική που Παρέθεσε ο παντελής.
Όμως στέκει ως απόδειξη. Θα έστεκε επίσης απόδειξη με χρήση κινητικής ενέργειας.
Γιάννη καλησπέρα.
Σύντομη και κομψή απόδειξη του θεωρήματος Steiner αυτή που παρέθεσες.
Προσωπικά διατηρώ επιφυλάξεις για την εισαγωγή της έννοιας της ροπής αδράνειας πριν τον υπολογισμό της κινητικής ενέργειας σε ένα στερεό σώμα (όπως στο σχολικό βιβλίο και σε όλα τα βοηθήματα). Κατά αυτόν τον τρόπο το μέγεθος ορίζεται αυθαίρετα και πολλές φορές παραλείπεται ότι ο συγκεκριμένος ορισμός είναι μία ειδική περίπτωση όταν ο άξονας περιστροφής είναι και κύριος άξονας αδρανείας του στερεού. Στην συνέχεια διατυπώνεται ο 2ος νόμος του Νεύτωνα, η στροφορμή και η κινητική ενέργεια στην περιστροφική κίνηση και αρχίζει το πανηγύρι με επεξηγήσεις ότι οι τύποι ισχύουν μόνον στην περίπτωση που ο άξονας περιστροφής είναι άξονας συμμετρίας, διέρχεται από το cm, είναι σταθερός κ.λπ…
Όλα αυτά μπορούν να αποφευχθούν και να εξηγηθούν αν πρώτα ορίζαμε την κινητική ενέργεια ως το άθροισμα των κινητικών ενεργειών κάθε σημείου του στερεού, το οποίο έχει δύο ταχύτητες, μία λόγω περιστροφής και μία μεταφορική και μηδενίζαμε τον όρο του διπλασίου γινομένου τους. Τότε ο "μεταφορικός" και ο "περιστροφικός" όρος αναδύονται από μόνοι τους καθώς και οι προϋποθέσεις για τον ορισμό της ροπής αδράνειας όπως στο σχολικό. Ακόμη και το θεώρημα Steiner θα μπορούσε να αιτιολογηθεί αν θέταμε τον τρίτο όρο, υπό τις κατάλληλες συνθήκες, όχι μηδέν αλλά Μ d^2 ω (ούτως ή άλλος απόδειξη δεν δίνεται).
Φυσικά με τα παραπάνω δεν εισηγούμαι την εισαγωγή της έννοιας του τανυστή αδράνειας σε μαθητές… απλά νομίζω ότι η τελευταία παράγραφος του σχολικού θα έπρεπε να βρίσκεται ακριβώς πριν την ροπή αδράνειας στην αρχή του κεφαλαίου.
Στάθη κατανοώ την ένσταση.
Υποθέτω ότι προτείνεις όλα αυτά να προτάσσονται της παρουσίασης του θεμελιώδους νόμου.
Διότι η παρουσίασή του προϋποθέτει την έννοια "ροπή αδράνειας".
Θα άξιζε μια περιληπτική σκιαγράφηση της δομής που θα ήθελες να έχει ένα βιβλίο.
Θα ακολουθήσουμε γραμμή Αλεξόπουλου ή Ρέσνικ, ή κάποια άλλη προσφορότερη που θα προταθεί;
Σε τέτοια θέματα ο Ανδρέας λείπει.
Γιάννη αν με έβαζες να διαλέξω μεταξύ των δύο βιβλίων, προτιμώ τον Αλεξόπουλο.
Όσο για το στερεό
Αρχικά μία παράγραφο που να ξεκαθαρίζει ότι στερεό είναι ένα σύνολο υλικών σημείων με σταθερές σχετικές θέσεις, στην οποία να ορίζονται και οι δύο βασικές κινήσεις, μεταφορά και περιστροφή.
Στην συνέχεια ισορροπία, κινητική ενέργεια, ροπή αδράνειας, νόμοι του Νεύτωνα και στροφορμή.
Υποθέτω Στάθη πως μετά την εισαγωγή της ροπής αδράνειας θέλεις την εμπλοκή της στην κινητική ενέργεια.
Θα το έλεγα διαφορετικά Γιάννη: θέλω την ροπή αδράνειας από την κινητική ενέργεια.
Δηλαδή ως συνελεστή αναλογίας Κ.Ε-0,5.ω^2 , αν καταλαβαίνω;
Ακριβώς, η συνολική κινητική ενέργεια για έναν άξονα περιστροφής ο οποίος διέρχεται από το cm ως
Κ = Σ 0.5 mi (υi + υcm)^2 = 0.5 (m1 +….+ mN) υcm^2 + 0.5 (m1 r1^2 + … + mN rN^2) ω^2 + (m1 υ1.υcm + … + m1 υΝ.υcm)
όπου με έντονα γράμματα διανύσματα.
Αν είναι και άξονας συμμετρίας τότε για κάθε υi υπάρχει το –υi, οπότε ο τρίτος όρος μηδενίζεται. Τότε
Ιcm = m1 r1^2 + … + mN rN^2.
Κατάλαβα.
Όχι απλά συμφωνώ με τον Στάθη με τη σειρά διδασκαλίας των εννοιών στο στερεό αλλά το εφάρμοσα για χρόνια.
Ειδικά η ενασχόληση πρώτα με την κινητική και μέσω αυτής με την ροπή αδράνειας έχω πειστεί εμπειρικά ότι βοηθά πολύ τα παιδιά.
Καλό απόγευμα σε όλους.
Θα συμφωνήσω με Στάθη και Άρη, τουλάχιστον για διδακτικούς λόγους.
Τα τελευταία χρόνια της διδασκαλίας μου, πριν διδάξω τη ροπή αδράνειας και το 2ο νόμο, δίδασκα την κινητική ενέργεια στερεού που εκτελεί περιστροφική κίνηση. Η εξαγωγή της εξίσωσης Κ= 1/2 Ιω^2 και τα σχόλια που ακολουθούσαν, οδηγούσαν νομίζω, φυσιολογικά στην κατανόηση του ρόλου της ροπής αδράνειας.