by 
Στο παρακάτω αρχείο δίνεται μία αναλυτική προσέγγιση των εξισώσεων κίνησης ενός υλικού σημείου το οποίο εκτελεί σπειροειδή τροχιά πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, υπό την επήρεια μίας δύναμης, όπως στο σχήμα.
Το έναυσμα δόθηκε από το Β2 θέμα των πανελληνίων εξετάσεων του 2018 και τις συζητήσεις που ακολούθησαν.
Το αρχείο σε pdf, εδώ.
Στάθη πολύ ωραία ανάλυση συγχαρητήρια.
1. Δε σου κρύβω ότι "ζηλεύω" την άνεση σου στη μαθηματική ανάλυση.
2. Ερώτηση: τις διαφορικές τις επιλύεις αναλυτικά ή με τη βοήθεια λογισμικού;
3. Από την ανάλυση παρατηρώ ότι στο παράδειγμα σου μετά τα 400sec οι τροχιές έχουν τρομερή επικάλυψη σαν να είναι όντως κυκλική η κίνηση και είναι περίπου σταθερή η γωνιακή ταχύτητα.
Νίκο σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια.
Ένα πολύ καλό λογισμικό, γενικά στα μαθηματικά, είναι το mathematica και το matlab. Είναι αλήθεια ότι μπορείς να επιλύσεις διαφορικές με αυτά τα προγράμματα, αλλά χρειάζεται μεγάλη προσοχή στις αρχικές συνθήκες, αλλιώς τα αποτελέσματα που βγάζουν δεν έχουν νόημα.
Στο συγκεκριμένο θέμα δεν έλυσα καμία διαφορική, απλά βρήκα την μορφή της για την ακτινική συνιστώσα και μέσω αυτής προσδιόρισα την δύναμη. Κινήθηκα δηλαδή "ανάποδα". Η αλήθεια βέβαια είναι ότι συμβουλεύτηκα το mathematica για το τελευταίο ολοκλήρωμα.
Έχεις δίκιο στο ότι μετά περίπου 600sec, το υλικό σημείο έχει προσεγγίσει με πολύ μεγάλη ακρίβεια την τελική του τροχιά. Πρακτικά η κίνησή του είναι κυκλική ομαλή από εκεί και πέρα.
Καλησπέρα Στάθη.
Συγχαρητήρια και από μένα.
Μια επιφύλαξη διατηρώ.Η δύναμη που υπολογίζεις είναι αν δεν κάνω λάθος συνεχής. Ποιος με εμποδίζει να ασκήσω όποια δύναμη θέλω, δεσμευόμενος η αρχική και η τελική της τιμή να είναι αυτές που η τιμή της κεντρομόλου υπαγορεύει;
Ποιος με εμποδίζει να ασκήσω την δύναμη:
Πολύ εύκολα έχω καταφέρει να ασκήσω την:
Επίσης την:
Όμως άσκησα και την:
Αντιλαμβάνεσαι ότι η αυθαιρεσία μου είναι αυθαίρετη.
Οι τιμές των έργων είναι όποιες θέλω να είναι. Το μόνο που θα μπορούσε να με εμποδίσει να αυθαιρετώ είναι ένας περιορισμός που θα μιλούσε για σπειροειδή τροχιά.
Γιάννη καλησπέρα.
Εχεις δίκιο ότι μπορώ να ασκησω οποία δύναμη θέλω. Απλά ήθελα να βρω όσο το δυνατόν μια δύναμη που να δίνει το ελάχιστο έργο. Οπότε και η τροχιά να είναι σπειροειδης με πολύ μικρό βήμα.
Μπορώ να υλοποιήσω και την πρώτη γραφική παράσταση, αλλά θα ήταν πιο κουραστικό και θα απαιτούσε από μένα περισσότερους υπολογισμούς και δοκιμές. Όμως πιστεύω πως φάνηκε αυτό που εννoώ.
Το μπαλάκι κινείται όπως θέλω. ΄Έχει επομένως αυθαίρετη επιτάχυνση και συνεπώς δέχεται αυθαίρετη δύναμη. Αυθαίρετη μεταξύ των δύο τιμών της κεντρομόλου που αναφέρεις.
Συμφωνώ Γιάννη. Στην αρχή μάλιστα πειραματιστικα και εγώ με δυνάμεις βήματος, όπως αυτή στο πρώτο σου σχήμα.
Και να μην είναι μικρό το βήμα, πιστεύω πως το ελάχιστο έργο είναι αυτό.
Πίστευα ότι το μικρό βήμα είναι προϋπόθεση. Δεν το πιστεύω πλέον.
Πιστεύω τώρα ότι αν εκτελέσει σπειροειδή τροχιά συνεχώς όλα όσα γράφεις στέκουν.
Τότε το ελάχιστο έργο πρέπει να είναι αυτό που προτάθηκε στο Β2 θέμα.
Στάθη ευχαριστώ.
Γιάννη καλησπέρα.
Στο πρόβλημα, η μόνη δέσμευση που υπήρχε ήταν η τελική ακτίνα να είναι R/2, άρα 8 φορές μεγαλύτερη κεντρομόλο σε σχέση με την αρχική. Η εκφώνηση υπονοούσε σπειροειδή τροχιά…
Na κάνω μία ερώτηση: τι σημαίνει στο πρόβλημα αυτό ελάχιστο έργο; και η "επιπλέον" ενέργεια που θα μπορούσε να δοθεί που πάει ;
Καλησπέρα
Στάθη συγχαρητήρια και
ευχαριστούμε
η ανάλυσή σου είναι άψογη
Για να ισχύει : "Σε όλη τη διάρκεια της μεταβολής της ακτίνας της κυκλικής τροχιάς, θεωρούμε ότι το σφαιρίδιο κινείται εκτελώντας κυκλική κίνηση στο οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές" – όπως είναι η ακριβής διατύπωση του θέματος – πρέπει οπωσδήποτε να έχω μια δύναμη φθίνουσα συνάρτηση της ακτίνας αλλά με δεύτερη παράγωγο αρνητική αφού θέλουμε να τείνει ασυμπτωτικά στην ανώτερη τιμή της για την μισή ακτίνα . Η συνάρτηση που προτείνεις είναι μια από αυτές που τηρούν όλες τις παραπάνω προϋποθέσεις ( και μάλλον είναι και αυτή και με το μικρότερο σφάλμα!! ) Μένω με την απορια πως έφθασες σε αυτήν ακριβώς την συνάρτηση ( απορώ = και θαυμάζω )
Να σαι καλά.
Θερμότητα Νίκο.
Τανύζεται το νήμα.
Σε ευχαριστώ Δημήτρη.
Η αλήθεια είναι οτι δοκίμασα πολλές εκδοχές της για να καταλήξω σε αυτήν την συνάρτηση.
Σιγουρα υπάρχουν και αλλες, ίσως καλύτερες, γιατί αυτή δεν δίνει ακριβώς μηδέν ακτινικη ταχύτητα για t ίσο με μηδέν.
Το σκέφτηκα αυτό, και αν αυτό δεν τανύζεται;
Δημήτρη η μεγάλη μαγκιά είναι νομίζω η σχέση (18)
Νίκο Καλησπέρα συμφωνώ.
Στάθη , νομίζω, μηδέν ακτινική ταχύτητα δεν μπορεί να δώσει καμιά μεταβολή της ακτίνας … οποιασδήποτε μορφής
Δημήτρη δεν θα μπορούσε να είναι μηδέν η ακτινικη ταχύτητα στην αρχή (για χρόνο μηδέν), αλλά μη μηδενική η επιτάχυνση;