by 
Στο παρακάτω αρχείο δίνεται μία αναλυτική προσέγγιση των εξισώσεων κίνησης ενός υλικού σημείου το οποίο εκτελεί σπειροειδή τροχιά πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, υπό την επήρεια μίας δύναμης, όπως στο σχήμα.
Το έναυσμα δόθηκε από το Β2 θέμα των πανελληνίων εξετάσεων του 2018 και τις συζητήσεις που ακολούθησαν.
Το αρχείο σε pdf, εδώ.
Εννοείς Στάθη ασυνέχεια στην αρχή ; Διότι η δύναμη οριακά πριν το 0 οφείλει να είναι κεντρομόλος , Για να έχουμε λοιπόν αρχική επιτάχυνση χρειαζόμαστε ασυνέχεια , όχι απλά ένα τίναγμα ( jerk )
Ίσως από την άλλη να είναι προτιμότερη μια δύναμη μεγαλύτερη στις μικρές ταχύτητες ( στο τέλος ) και μια μικρότερη δύναμη στις μεγάλες ταχύτητες (ακτινικές στην αρχή ) διότι μειώνουμε τον ρυθμό προσφοράς έργου … υποθέτω πως θα το θέλαμε αυτό .
Η δύναμη πάντως στο μηδέν οφείλει να είναι κεντρομόλος . Αν δεν υήρχε αυτή η αρχική συνθήκη όντως η σχέση 25 θα έδεινε μικρότερο σφάλμα για ακτινική ταχύτητα αρχικά διάφορη του μηδενός
Η τελευταία πρόταση μου βγήκε ακατανόητη.
Διορθώνω
Χωρίς αρχική ταχύτητα ακτινική και με ασυνέχεια στην δύναμη ( αρχικά μεγαλύτερη της κεντρομόλου ) έχουμε μικρότερα σφάλματα ( σχέσης 25 )για μεγαλύτερες τιμές της αρχικής δύναμης …
Καλημέρα Στάθη, καλημέρα και καλή βδομάδα σε όλους.
Στάθη και από μένα τα συγχαρητήρια για την μελέτη σου.
Μια απορία που μου δημιουργήθηκε είναι το πώς κατέληξες στη σχέση 18. Θέλεις δηλαδή να προσεγγίσεις την τελική ακτίνα εκθετικά.
Μου φαίνεται "λογικό" αλλά και αυθαίρετο…
Είναι κάτι που δεν καταλαβαίνω;
Καλημέρα Διονύση.
Κατέληξα στην σχέση (18) καθαρά φαινομενολογικά. Από την μία ήθελα το σώμα να καταλήγει σε μία τροχιά σταθερής ακτίνας για να είναι το έργο της δύναμης ελάχιστο. Άρα η δύναμη πρέπει να εκκινεί και να καταλήγει στην μορφή της κεντρομόλου. Επίσης ήθελα να προσεγγίσω την τροχιά ως μία επαλληλία κυκλικών τροχιών για να ισχύει το αποτέλεσμα 1.5 m ω^2 R^2. Από την άλλη είχα την διαφορική της κίνησης για την ακτινική συνιστώσα (εξίσωση (10)).
Έχεις δίκιο, αυθαίρετα, κατέληξα στην σχέση (18), προσπαθώντας να βρω μία συνάρτηση με την κατάλληλη μονοτονία.
Ούτως ή άλλως για να βρει κάποιος τις εξισώσεις κίνησης, πρέπει να ξέρει το είδος της δύναμης. Σκέφτηκα να πάω ανάποδα. Από το είδος της κίνησης (σπειροειδή τροχιά με πολύ μικρό βήμα) να υπολογίσω το είδος της δύναμης και στάθηκα τυχερός.
Καλημέρα Στάθη και σε ευχαριστώ για την απάντηση.
Πολύ λογική σκέψη μου ακούγεται, αφού πλησιάζοντας την τελική ακτίνα, το βήμα της έλικας τείνει στο μηδέν…
Αλλά και πολύ ευφυές
Καλημέρα.
Καλημέρα Στάθη και ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ για την εμπεριστατωμένη δουλειά σου!!!!!! Δεν σου κρύβω ότι σε ..ζηλεύω , για την άνεση που έχεις να διαχειρίζεσαι όλα αυτά που εγώ ξέχασα, απέχοντας .. δεκαετίες από τα Πανεπιστημιακά!!
Τωρα ας έρθουμε στο θέμα: Παραπάνω ο Γιάννης (ΚΥΡ..) αναφέρει ότι θα μπορούσαμε να ασκήσουμε οποιαδήποτε δύναμη, και το παραπανήσιο έργο να γίνει θερμότητα λόγω τάνυσης του νήματος. Διαφωνώ, γιατί αυτό αντιβαίνει με την εκφώνηση, μια και το νήμα είναι μη εκτατό … Άλλωστε, εμμέσως πλην σαφώς, ζητάμε το ελάχιστο έργο για την σπειροειδή κίνηση που θα κάνει το σωματίδιο με πολύ μικρό βήμα. Γιάννη αν εφαρμόσουμε οποιαδήποτε δύναμη αρχικά, η τροχιά του σωματιδίου θα ήταν μάλλον έλλειψη, και άντε να το επαναφέρεις σε κυκλική!!! Εφοσον επεμβαινεις στο σύστημα ασκώντας κατακορυφη δύναμη μέσω του νήματος, δεν έχεις μετά τη δυνατότητα να την ξανακάνεις κυκλική, νομίζω. Η λύση που έδωσε ο Στάθης, με ο,τι παραδοχές ασήμαντες κι αν έκανε, συνάδουν με την εκφώνηση, που απαιτεί κυκλική τροχιά με διαρκώς μειούμενη ακτινα, δηλαδή σπειροειδής τροχιά με αμελητέο βήμα, κι ας κάνει έναν..αιώνα να πάει στην τελική του θέση.
Εγώ έκανα κάτι πολύ πιο απλό, παίρνοντας τη στροφορμή L σταθερή, έκφρασα την ταχύτητα σε συνάρτηση αυτής, κατόπιν τη δυναμη που ασκούμε ίση με την τάση του νήματος, που παίζει το ρόλο της κεντρομόλος καθε στιγμή, το στοιχειώδες έργο της για μια στοιχειώδη μετατόπιση dr, ίσο με dw=F.dr, και ολοκληρωσα από R έως R/2.
ΕΥΓΕ Στάθη και πάλι!!!
Καλημέρα Πρόδρομε και ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια.
Αυτό που έκανες εσύ είναι το λογικό να κάνει κάποιος για να λύσει το πρόβλημα, εφ' όσον τον ενδιαφέρει μόνον το ελάχιστο δυνατό έργο της δύναμης. Δεν χρειάζεται να βρει κάποιος τις εξισώσεις κίνησης και την χρονική εξάρτηση της δύναμης για να υπολογίσει το έργο.
Το βασικό είναι, θεωρώ, να τονιστεί (όπως και έγινε από πολλούς συναδέλφους) κατά πρώτον ότι αν και το έργο φαίνεται να εξαρτάται μόνον από την αρχική και τελική ακτίνα της τροχιάς (αρχική και τελική κατάσταση της κίνησης), η δύναμη δεν είναι συντηρητική, ως χρόνο -εξαρτώμενη. Κατά δεύτερον η δύναμη δεν είναι κεντρομόλος γιατί τότε η τροχιά θα παρέμενε σταθερή. Την υιοθετούμε ως κεντρομόλο γιατί αυτή είναι μία πολύ καλή προσέγγιση για τον υπολογισμό του έργου.
Δημήτρη καλημέρα.
Άργησα να σου απαντήσω γιατί σκεφτόμουν αυτό που είπες.
Τελικά αν στην εξίσωση (18) αντικαταστήσεις τον εκθέτη από -at σε -at^2, τότε η ακτινική ταχύτητα προκύπτει μηδέν για t = 0. Οι υπόλοιπες αρχικές και τελικές συνθήκες για την ακτινική συνιστώσα, την γωνιακή ταχύτητα και την δύναμη παραμένουν ως έχουν. Η κίνηση παραμένει σπειροειδής με εκθετικά μειούμενο βήμα και το έργο προκύπτει και πάλι το ίδιο.
Το πρόβλημα σε αυτή την περίπτωση είναι καθαρά θέμα υπολογισμού. Δεν μπορώ να επιλύσω το ολοκλήρωμα της γωνιακής ταχύτητας για να βρω την αναλυτική έκφραση της γωνίας που διαγράφει το σώμα με τον χρόνο. Μπορεί πάντα βέβαια να υπολογιστεί η γωνία αριθμητικά.
Οι διαφορές των δύο περιπτώσεων είναι όμως τόσο μικρές που δεν νομίζω ότι είναι αναγκαία η αλλαγή της σχέσης (18).
Καλημέρα παιδιά.
Πρόδρομε κα΄κως διαφωνείς. Οι προσομοιώσεις που έκανα νήμα μη εκτατό χρησιμοποιούν.
Είπα χτες ότι μου είναι λίγο δύσκολο το να ασκήσω σταθερή δύναμη. Λάθος έκανα. Είναι πολύ εύκολο τελικά.
Απλώς το βρήκα το βράδυ. Μπορούμε να ασκήσουμε οιανδήποτε δύναμη θέλουμε και θα το φτιάξω.
Για παράδειγμα το πρώτο διάγραμμα προηγουμένου σχολίου μου.
Θα συμφωνήσω σ' αυτό που λες ότι η τροχιά δεν θα είναι σπειροειδής τότε. Για τον λόγο αυτόν πρέπει να αναφέρεται κάτι στην εκφώνηση.
Κάτι που θα μας δώσει να καταλάβουμε ότι η τροχιά είναι σπειροειδής.
Γιάννη με το πρώτο διάγραμμα (αυτό με τις σταθερές δυνάμεις) πού καταλήγει το σώμα; Εννοώ ότι λογικά περνά κάτω από την τροχιά R/2 (σε μικρότερες ακτίνες). Μετά πώς "μαζεύεται";
Παιδιά αποφάσισα η δύναμη να είναι 15 Ν. Έγινε τόση.
Έργο σταθερής δύναμης 30J.
Μπορώ να κάνω ότι θέλω.
Ο μόνος περιορισμός που μπορεί να σταματήσει τις αυθαιρεσίες μου είναι μια αναφορά περί σπειροειδούς τροχιάς συνεχώς.
Διαφορετικά μπορώ να ασκώ όποια δύναμη θέλετε, σχετικά εύκολα.
Στάθη μαζεύεται όπως φαίνεται στην προσομοίωση.
Ο ενεργοποιητής μήκους είναι το χέρι μου.
Δηλαδή σε απλά Ελληνικά:
1. Ασκώντας δύναμη 4Ν το κρατάω ώστε να κάνει κύκλο.
2. Ασκώ δύναμη 15 Ν μέχρι να κατέβει το χέρι μου 2m.
3. Ακινητοποιώ το χέρι μου.
Δυνάμεις τέτοιες διαθέτει οιοσδήποτε.
Αφου υλοποιήθηκε στο i.p. υπάρχει.
Θα μπορούσα να κάνω τα ίδια ασκώντας 22,5 Ν αντί 15 Ν.
Ή όποια δύναμη θέλετε. Είναι σχετικά εύκολο.
Αν δεν αναφερθεί περιορισμός τροχιάς, αλλά μόνο η αρχική και η τελική τροχιά, κάνω ότι θέλω παράγοντας όποιο έργο θέλω.
Γιάννη καλημέρα και πάλι.
Αυτό που δεν καταλαβαίνω είναι το εξής: Όταν ακινητοποιείς το χέρι σου στα 15Ν, λογικά το σώμα έχει αποκτήσει, εκτός από την επιτρόχιο, και μία ακτινική ταχύτητα. Πώς λοιπόν ερμηνεύεται το ότι συνεχίζει σε κυκλική τροχιά;